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编号33学案2.3.1平面向量基本定理和2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算


长子实验中学数学(必修 4)导学案

适用年级:高一

主备人:李小燕

审核人:田鹏真

2.3.1 平面向量基本定理及坐标运算
学时:1 学时 姓名: 班级:

【学习目标】 1.了解平面向量基本定理,理解平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示. 2.能在具体问题中适当选取基底,使其它向量都能用基底表示. 3.明确基底以及两向量的夹角、垂直等概念. 4.理解平面向量的正交分解及其坐标表示,掌握平面向量的坐标运算. 【问题导学】 阅读课本第 93 页至 98 页的内容,完成下列问题: 问题 1 .如何将给定向量 a 分解成与 e1 , e2 平行的两个向量? 问题 2.结合课本写出平面向量基本定理.
e1

? a

? e2

思考:设 e1 , e2 是平面向量的一组基底,则 e1 , e2 中可能有零向量吗?平面向量的基底唯一吗? 说明: 1.由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下进行分解; 2.基底给定时,分解形式唯一; 3.一个平面向量用一组基底 e1 , e2 表示成 a ? ?1 e1 ? ? 2 e2 的形式,我们称它为向量的分解. 当 e1 , e2 互相垂直时,就称为向量的正交分解. 问题 3. 什么是两向量夹角?向量夹角的范围是什么?什么是两向量垂直?

问题 4.向量的坐标表示 我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么 对直角坐标系内的每一个向量,如何表示呢?

思考 1. 若向量 AB ? CD ,则两向量的坐标相等吗? 思考 2. 与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 思考 3. 点的坐标与向量坐标的表示区别是什么? 问题 4.平面向量的坐标运算 若 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则 a ? b = .

,a ? b=



?a =

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长子实验中学数学(必修 4)导学案

适用年级:高一

主备人:李小燕

审核人:田鹏真

【达标检测】 基础巩固 1. 已知向量 a, b 的坐标,求 a ? b, a ? b 的坐标. (1) a ? ?4,3?, b ? ?? 3,8? ; (2) a ? ?3,0?, b ? ?0,4? .

2.已知点 A, B 的坐标,求 AB, BA 的坐标. (1) A?? 3,4? , B?6,3? ;

(2) A?3,0? , B?8,0?

3.设 e1 , e2 是同一平面内的两个向量,则有( A. e1 , e2 一定平行

)

B. e1 , e2 的模相等

C. 同一平面内的任一向量 a 都有 a ? ?e1 ? ?e2 (?, ? ? R) D. 若 e1 , e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a ? ?e1 ? ?e2 (?, ? ? R) 能力提升 4.已知向量 e1 , e2 不共线,实数 x, y 满足 ?3x ? 4 y ?e1 ? ?2 x ? 3 y ?e2 ? 6e1 ? 3e2 ,则 x ? y 等 于( ) A.3 B. ? 3 C. 0 D. 2

5. 已知 a ? b ? (?1,5),3a ? 4b ? (?6,19) ,求 a, b .

6. 已知点 A(?2,4), B(3,?1), C (?3,?4) ,且 CM ? 3CA, CN ? 2CB ,求点 M , N 和 MN 的坐标.

7. 已知点 A(2,3), B(5,4), C (7,10) ,点 P 满足 AP ? AB ? ? AC?? ? R? . (1) ? 为何值时,点 P 在正比例函数 y ? x 的图象上? (2)设点 P 在第三象限,求 ? 的取值范围.

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