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2017_2018学年高中数学第二章参数方程2.1参数方程的概念练习北师大版选修4_420171106245

内部文件,版权追溯

§1 参数方程的概念
课后篇巩固探究 A组

1.参数方程

(t 为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为(

)

A.(1,0),(0,-2) B.(0,1),(-1,0) C.(0,-1),(1,0) D.(0,3),(-3,0) 解析: 当 x=t-1=0 时,t=1,y=t+2=3;当 y=t+2=0 时,t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为 (0,3),(-3,0). 答案:D

2.下列各点在方程

(θ 为参数)所表示的曲线上的是(

)

A.(2,-7)

B.

C.

D.(1,0)

解析: 由题意得 x=sin θ ∈[-1,1],y=cos 2θ ∈[-1,1],故排除 A. 由 y=cos 2θ =1-2sin θ =1-2x ,验证知 C 项正确. 答案:C 3.若 t>0,则下列参数方程的曲线不过第二象限的是 ( )
2 2

A.

B.

C.

D.

解析: 由 答案:B

(t>0),得该参数方程表示射线,且只在第一象限内,其余方程的曲线都过第二象限.

1

4.已知点 O 为原点,当 θ =- 时,参数方程 ( A. ) B.

(θ 为参数)上的点为 A,则直线 OA 的倾斜角为

C.

D.

解析: 当 θ =- 时,参数方程

(θ 为参数)上的点 A 的坐标为 ,0≤α <π ,

,

kOA=tan α =

=-

故直线 OA 的倾斜角 α = 答案:C

.

5.在方程 A.(1, ) B.(2,

(θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是( )

)

C.

D.

解析: 由题意知 x=sin 2θ ∈[-1,1],

y=sin θ +cos θ =

sin

∈[-

],故排除 A,B,C.

令 y=sin θ +cos θ =

,

两边平方得 1+2sin θ cos θ =

,

故 x=sin 2θ =-

.

2

答案:D

6.若点(-3,-3

)在参数方程

(θ 为参数)的曲线上,则 θ =

.

解析: 将点(-3,-3

)的坐标代入参数方程

(θ 为参数),



解得 θ =

+2kπ ,k∈Z.

答案: +2kπ ,k∈Z

7.已知曲线 C 的参数方程为 线上,求出点 A,B 对应的参数的值.

(t 为参数),判断点 A(3,0),B(-2,2)是否在曲线 C 上?若在曲

解将点 A(3,0)的坐标代入



解得 t=2,

所以点 A(3,0)在曲线 C 上,对应参数 t=2.

将点 B(-2,2)的坐标代入

得 此方程组无解,所以点 B(-2,2)不在曲线 C 上.

3

8.已知曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数,0≤θ <2π ),判断点 A(2,0),B

是否在曲

线 C 上?若在曲线上,求出点 A,B 对应的参数的值.

解将点 A(2,0)的坐标代入 因为 0≤θ <2π ,所以 θ =0, 所以点 A(2,0)在曲线 C 上,对应 θ =0.

将点 B

的坐标代入



因为 0≤θ <2π ,所以 θ =

,

所以点 B
2

在曲线 C 上,对应 θ =
2

.

9.经过原点作圆 x -2ax+y =0(a>0)的弦,求这些弦的中点的轨迹的参数方程. 解如图,设 OQ 是经过原点的任意一条弦,OQ 的中点是 M(x,y),设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ ,取 θ 作 为参数,已知圆的圆心是 O'(a,0),连接 O'M,则 O'M⊥OQ,过点 M 作 MM'⊥OO',则|OM|=acos θ .

所以 这就是所求轨迹的参数方程.

θ 为参数,-

<θ <

.

10.

导学号 73144022 求椭圆

=1 中斜率是 m 的平行弦的中点的轨迹的参数方程.

4

解如图,设 P1P2 是斜率为 m 的平行弦中的任意一条弦,它所在直线的方程是 y=mx+k,这里 k 是参数, 把上式代入椭圆方程,得 b x +a (mx+k) =a b ,
2 2 2 2 2 2

整理得,(a m +b )x +2a mkx+a k -a b =0, ① 这个方程的两个根就是 P1 和 P2 的横坐标 x1 和 x2,设 P1P2 的中点是点 P'(x',y'),则

2 2

2

2

2

2 2

2 2

x'=

.

∵由①得 x1+x2=

,

∴x'=-

.②

∵点 P'在 P1P2 上,∴y'=mx'+k,

即 y'=

.③

方程②③是用参数 k 表示所求轨迹上任意一点 P'的坐标 x'和 y',把(x',y')换成(x,y),就得到

所求轨迹的参数方程:

(k 为参数). B组

1.参数方程 A.直线 C.椭圆 B.圆

(θ 为参数)表示的曲线是(

)

D.双曲线

解析: ∵

∴x2+y2=4cos2θ +4sin2θ =4.

故表示的曲线是圆. 答案:B

5

2.在参数方程

(θ 为参数)所表示的曲线上的点是(

)

A.

B.

C. 答案:D

D.

3.动点 M 做匀速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 3 m/s 和 4 m/s,直角坐标系的长度 单位是 1 m,点 M 的起始位置在点 M0(2,1)处,则点 M 的轨迹的参数方程是( )

A.

(t 为参数,t≥0)

B.

(t 为参数,t≥0)

C.

(t 为参数,t≥0)

D.

(t 为参数,t≥0)

解析: 设在时刻 t 时,点 M 的坐标为 M(x,y),则 答案:B

(t 为参数,t≥0).

4.

导学号 73144023 若点 E(x,y)在曲线

(θ 为参数)上,则 x +y 的最

2

2

大值与最小值分别为
2 2 2 2

.
sin(θ +α ),其中 tan

解析: x +y =(1+5cos θ ) +(2+5sin θ ) =30+(10cos θ +20sin θ )=30+10

α = ,α 为锐角,故 x +y 的最大值与最小值分别为 30+10

2

2

,30-10

.

6

答案:30+10

,30-10

5.设飞机以匀速 v=150 m/s 做水平飞行,若在飞行高度 h=588 m 处投弹(设炸弹的初速度等于飞机 的速度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程. (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标? 分析这是物理学中的平抛运动,选择合适的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动 表示出来. 解 (1)如图,A 为投弹点,坐标为(0,588),B 为目标,坐标为(x0,0).

记炸弹飞行的时间为 t,在 A 点 t=0. 设 M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻 t,炸弹初速度 v0=150 m/s,用物理学知识,分别

计算水平、竖直方向上的路程,得



这是炸弹飞行曲线的参数方程. (2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方程 y=0,即 588-4.9t =0,解得 t0=2 由此得 x0=150×2
2

.

=300

≈1 643(m).

即飞机在离目标 1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.

6.已知动点 P,Q 都在曲线 C: 点 M 为 PQ 的中点. (1)求点 M 的轨迹的参数方程;

(t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ),

(2)将点 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断点 M 的轨迹是否过坐标原点. 解 (1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).

7

M 的轨迹的参数方程为
(2)点 M 到坐标原点的距离

(α 为参数,0<α <2π ).

d=

(0<α <2π ).

当 α =π 时,d=0,故点 M 的轨迹过坐标原点. 7.边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴两正半轴上移动,顶点 C 和原点 O 分别在 AB 两侧,记∠CAx=α ,求顶点 C 的轨迹的参数方程.

解如图,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,设点 C 的坐标为(x,y).

则由



(α 为参数),即为顶点 C 的轨迹方程.

8


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