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安徽省六安市第一中学2016-2017学年高一上学期周末作业(五)数学试题Word版含解析

安徽省六安市第一中学 2016-2017 学年高一上学期周末作业(五) 数学试题 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? x ? e x D. y ? 1 ? x 2 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得,函数 y ? x ? B. y ? x ? ) C. y ? 2 ?
x

1 x

1 2x

1 1 x 和 y ? 2 ? x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,所以函数都是 x 2

奇函数,函数 y ? 1 ? x 2 满足 f (? x) ? f ( x) ,所以函数都是偶函数,故选 A. 考点:函数的奇偶性. 2.已知函数 f ? x ? ? x ? x ? c ,若 f ? 0? ? 0, f ? p ? ? 0 ,则必有(
2



A. f ? p ? 1? ? 0 C. f ? p ? 1? ? 0 【答案】A

B. f ? p ? 1? ? 0 D. f ? p ? 1? 的符号不能确定

考点:二次函数的性质. 3.定义在 R 上的函数 f ? x ? ,对 ?x1 , x2 ? R 都有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?1 ,则下列命 题正 确的是( )

A. f ? x ? 是偶函数 C. f ? x ? ? 1是偶函数 【答案】D 【解析】

B. f ? x ? 是奇函数 D. f ? x ? ? 1是奇函数

试题分析:对 ?x1 , x2 ? R 都有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x 1 ,所以令 x1 ? x2 ? 0 ,所以 1? ? f ? x 2? ?

f ? 0? ? 1,
令 x1 ? x, x2 ? ? x , 得 f ? 0? ? f ? 所以 f ? x ? ?1 ? ? f (?x) ?1 ? ?[ f ( x) ?1] , x ??f ( ? x )? 1 , 所以 f ? x ? ? 1是奇函数,故选 D. 考点:抽象函数的性质及其应用. 【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质及其应用,其中解答中涉及到函数的赋值法求 解函数值、函数的奇偶性的判定等知识点综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的 能力,同时解答时要认真审题、合理赋值,灵活应用函数的奇偶性的判定方法和定义是解答 的关键,属于基础题. 4.设函数 f ? x ? ? e A. ? ,1?
?1? x ?

?

1 ,则使得 f ? x ? ? f ? 2x ?1? 成立的 x 的取值范围是( 1 ? x2
B. ? ??, ?



?1 ? ?3 ?

? ?

1? 3?

?1, ?? ?

C. ? ? , ? 【答案】A

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

1? ?1 ? ? , ?? ? 3? ? 3 ?

考点:函数的单调性的应用. 5.已知函数 y ? f ? x ? ? x 是偶函数,且 f ? 2? ? 1 ,则 f ? ?2? ? ( A. ?1 D. 5 B. 1 ) C. ?5

【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得,函数 y ? f ? x ? ? x 是偶函数,且 f ? 2? ? 1 ,令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,所 以 g ? x ? 为 偶 函 数 , 令 x ? 2 , 则 g ? 2? ? f ? 2? ? 2? 3, 令 x ? ?2 , 则 g ? ?2? ? 3 , 即

f ? ?2? ? 2 ? 3,所以 f ? ?2? ? 5 ,故选 D.
考点:函数奇偶性的应用. 6.若函数 f ? x ? ? A. ? ??, ?1? D. ?1, ?? ? 【答案】C

2x ? 1 是奇函数,则使 f ? x ? ? 3 成立的 x 的取值范围为( 2x ? a
B. ? ?1,0? C. ? 0,1?



考点:函数的奇偶性与单调性的应用.

? 1 ? 3, ?1 ? x ? 0 ? 7.已知函数 g ? x ? ? ? x ? 1 , 若方程 g ? x ? ? mx ? m ? 0 有且仅有两个不等式的 ? x 2 ? 3x ? 2,0 ? x ? 1 ?
实根, 则实数 m 的取值范围是( A. ? ? , ?2 ? ) B. ? ?

? 9 ? 4

? ?

?0, 2? ?0, 2 ?

? 11 ? , ?2? ? 4 ? ? 11 ? , ?2? ? 4 ?

?0, 2? ?0, 2?

C. ? ?

? 9 ? , ?2? ? 4 ?

D. ? ?

【答案】C 【解析】 试题分析:由 g ? x ? ? mx ? m ? 0 得 g ? x ? ? mx ? m ,原方程有两个相异的实数根等价于函数 当 m ? 0 时, 易得临界位置为 y ? m( x ? 1) y ? g ? x ? 与 y ? mx ? m 的图象有两个不同的交点, 过点 (0, 2) 和 (1, 0) 点, 分别求出这两个位置的斜率 k1 ? 2 和 k2 ? 0 , 可得 m ?[0, 2) , 当m ? 0 时,设过点 (?1, 0) 函数 g ? x ? ?

1 ? 3, x ? ( ?1, 0) 的图象作切线的切点为 ( x0 , y0 ) ,则有函 x ?1

y0 1 ? ? ? 2 ? ( x ? 1) x0 ? 1 1 3 1 ? 0 数的导数为 g ? ? x ? ? ? ,得 ,解得 x0 ? ? , y0 ? ? ,得切线的 ? 2 3 2 ( x ? 1) ?y ? 1 ?3 0 ? x0 ? 1 ?
斜率为 k1 ? ?

9 9 ,而过点 (?1, 0), (0, ?2) 的斜率为 k1 ? ?2 ,所以 m ? (? , ?2) ,故选 C. 4 4

考点:方程根的个数的判定与应用. 8.函数 f ? x ? 的图象向右平移 1 个单位长度, 所得图象与曲线 y ? e x 关于 y 轴对称, 则 f ? x? ? ( ) A. e D. e
x ?1

B. e

x ?1

C. e

? x ?1

? x ?1

【答案】D

考点:函数的图象变换. 9.若存在正数 x 使 2 A. ? ??, ??? D. ? ?1, ?? ?
x

? x ? a? ? 1 成立,则 a 的取值范围是(
B. ? ?2, ?? ?

) C. ? 0, ???

【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 由 2x ? x ? a ? ? 1 , 得 x ? 2 ? a ? 2 ?
x x

1 , 所 以 a ? x?

1 , 设 2x

f ? x? ? x ?

1 1 ? x ? ( ) x , 则 函 数 f ? x ? 在 [0, ??) 上 单 调 递 增 , 所 以 当 x ? 0 时 , x 2 2

f ? x? ? f( 0 )? ? ,所以若存在正数 1 x ,使得 2x ? x ? a ? ? 1 成立,则 a ? ?1 .
考点:函数的最值及其性质的应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的最值及其性质的应用,其中解答中涉及到函数的单调性、 函数的最值、不等式的恒成立问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问 题的能力、以及推理与运算能力,试题有一定的综合性,属于中档试题,本题的解答中构造 新函数 f ? x ? ? x ?

1 ,利用新函数的单调性是解答的关键. 2x

10.设函数 f ? x ? ? ?

?3x ? 1, x ? 1 ?2 , x ? 1
x

,则满足 f

? f ? a ?? ? 2 ? ? 的 a 的取值范围是(
f a



A. ? ,1? D. ?1, ?? ? 【答案】C

?2 ? ?3 ?

B. ?0,1?

C. ? , ?? ?

?2 ?3

? ?

考点:分段函数的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用,其中解答中涉及到函数的单调性、利用 导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查,注重考查了分类讨论思想和转化 与化归思想,以及学生分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于难题,本题的 解答中构造新的函数 g ? t ? ? 3t ?1 ? 2 ,利用新函数的性质是解答的关键.
t

第Ⅱ卷(非选择题共 70 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,满分 20 分. ) 11.设函数 f ? x ? ? 是 .

4x 在区间 ? m, 2m ? 1? 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围 x ?1
2

【答案】 ?1 ? m ? 0 【解析】 试题分析:由题意得, f ? ? x ? ?

4(1 ? x 2 ) ,所以 ?1 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即区间 ??1,1? 是 ( x 2 ? 1)2

?m ? ?1 ,解 得 f ? x ? 的单 调递增函 数,又 f ? x ? 在区间 ? m, 2m ? 1 ? 是 增函数 ,所以 ? ? 2m ? 1 ? 1
?1 ? m ? 0 .
考点:函数单调性的应用. 12. y ? 2
1? x 1? x

的值域是



【答案】 ? y | y ? 0且y ? 【解析】

? ?

1? ? 2?

试题分析:由题意得,令 g ? x ? ? 域是

1? x 1? x 2 ? ? 1 ,所以 g ? x ? ? ?1 ,所以函数 y ? 21? x 的值 1? x 1? x

1? ? ? y | y ? 0且y ? ? . 2? ?
考点:函数的值域.

?1? 13.函数 y ? ? ? ?2?
【答案】 ? , 2 ? 2

? x2 ? x ? 2

的单调递增区间是



?1 ?

? ?

考点:复合函数的单调性. 14.函数 f ? x ? ? a 上的 最小值是 【答案】 ? 【解析】
x x 试题分析:由题意得,令 t ? a ? 0 ,因为 x ?? ?1,1? ,当 a ? 1 时,则 t ? a ? [ , a ] ,则

2x

? 3a x ? 2 ? a ? 0且a ? 1? 在区间 ??1,1? 上的最大值为 8 ,则它在这个区间



1 4 1 a

3 17 f ? x ? ? t 2 ? 3t ? 2 ? (t ? ) 2 ? ,所以当 t ? a 时,函数取得最大值,此时最大值为 2 4 1 1 1 1 f ? a ? ? a2 ? 3a ? 2 ? 8 ,解得 a ? 2 ,所以函数的最小值为 f ( ) ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 2 4 1 3 2 17 1 x 2 当 0 ? a ? 1 时,则 t ? a ? [ a, ] ,则 f ? x ? ? t ? 3t ? 2 ? (t ? ) ? ,所以当 t ? 时, a 2 4 a 1 1 2 1 1 函数取得最大值,此时最大值为 f ( ) ? ( ) ? 3 ? ? 2 ? 8 ,解得 a ? ,所以函数的最小 a a a 2 1 1 2 1 1 1 值为 f ( ) ? ( ) ? 3 ? ? 2 ? ? ,所以函数的最小值为 ? . 2 2 2 4 4
考点:函数的最值问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题,其中解答中涉及到函数的单调性的应用、一 元二次函数的图象与性质的应用、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查,着重考查了 学生分析问题和解答问题的能力,同时考查了换元法和转化与化归思想的考查,属于中档试 题,本题的解答中换元后,灵活应用二次函数的图象与性质是解答问题的关键. 15.如图所示,函数 y ? f ? x ? 的图象有两条射线和三条线段组成,若

?x ? R, f ? x ? ? f ? x ?1? ,
则正实数 a 的取值范围是 .(注释:“ ? ” 表示任意的)

【答案】 ? 0, ?

? ?

1? 6?

考点:函数图象的应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的图象及其应用,其中解答中涉及函数的图象及其简答的 性质,全称命题、函数的恒成立问题等知识点的综合考查,其中解答中根据已知条件和函数 的图象,列出相应的不等式组是解答本题的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能 力,以及转化与化归思想的应用,属于中档试题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 8 分)
0 ?2 ? 1 ?2 ? 3 ?3 (1) ? 2 ? ? ? 9.6 ? ? ? 3 ? ? ?1.5 ? ; ? 4? ? 8? 1 2

4

(2) log3 【答案】 (1)

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2 . 3
1 15 ; (2) . 2 4

考点:指数幂与对数的运算. 17.(本小题满分 10 分)已知 f ? x ? 是定义在 ? ?1,1? 上的奇函数, 当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ?

2x . 4x ? 1

(1)求 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上的解析式; (2)求 f ? x ? 的值域.

? 2x ? 4 x ? 1 , x ? ? 0,1? ? ? ?2 1? 【答案】 (1) f ? x ? ? ?0, x ? 0 ; (2) ? , ? ?5 2? ? 2x ?? x , x ? ? ?1, 0 ? ? 4 ?1 ?
【解析】

?0?

? 1 2? ?? ,? ? . ? 2 5?

试题分析: (1)当 x ? ? ?1,0? 时, ? x ? ? 0,1? ,根据函数为奇函数,则 f ? x ? ? ? f ? ? x ? 即可求 解函数的解析式; (2)由 f ? x ? ?

2x 在 ? 0,1? 上递减,从而由奇函数的对称性知 f ? x ? 在 1 ? 4x

? ?1,0? 上递减,即可求解函数的值域.
试题解析: (1)当 x ? ? ?1,0 ? 时, ? x ? ? 0,1? ,

2? x 2x ?? 因为函数 f ? x ? 为奇函数,? f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? ? x , 4 ?1 1 ? 4x
又 f ? 0? ? f ? ?0? ? ? f ? 0? ,?2 f ? 0? ? 0, f ? 0? ? 0 .

? 2x ? 4 x ? 1 , x ? ? 0,1? ? ? 故当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? ?0, x ? 0 . ? 2x ?? x , x ? ? ?1, 0 ? ? 4 ?1 ?

考点:函数的解析式;函数的性质的应用. 18.(本小题满分 10 分) 已知 a 是实数, 关于 x 的方程 2ax ? 2 x ? 3 ? a ? 0 在区间 ??1,1? 上有实根, 求 a 的取值范
2

围. 【答案】 ? ??, 【解析】 试 题 分 析 : 当 a ? 0 时 , f ? x ? ? 2x ? 3 , 可 得 函 数 没 有 根 ; 当 a ? 0 时 , , 根据二次函数的性质, 列出不等式组, 求得 a ??1, ?? ? ; 当a ? 0, f? x x3 ? a ? ? 2 a2 x? 2 ? 根据二次函数的性质, 列出不等式组, 求得 a ? ? ??,

? ? ?

?3 ? 7 ? ? ? 2 ?

?1, ?? ? .

? ?

?3 ? 7 ? 即可求解实数 a 的取值范围. ? ?, 2 ?

试题解析: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? 3 , 令 2 x ? 3 ? 0 得 x ?

3 ? ? ?1,1? , 2

? f ? x ? 在 ??1,1? 上无零点, 故 a ? 0 .
(2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a 的对称轴为 x ? ? ① 当?

1 . 2a

? ?a ? 5 1 1 ? f ? ?1? ? 0 ? ?1 ,即 0 ? a ? 时,须使 ? ,即 ? ,? a 的解集为 ? . 2a 2 a ? 1 f 1 ? 0 ? ? ? ? ?
? 1 ? ? 1 ?? ? ? 0 ?? ? 3 ? a ? 0 ,即 ? 2a ,解得 a ? 1 , ? 2a ? ? ?1? ? 0 ?a ? 1

? 1 1 ?f ? 0 ,即 a ? 时,须使 ? ②当 ?1 ? ? 2a 2 ?f ?

? a 的取值范围是 ?1, ?? ? .

考点:一元二次函数的图象与性质的应用. 19.(本小题满分 10 分) 函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? 1, a ? R, x ? R ,求 f ? x ? 的最小值.
2

【答案】 f ? x ? min

1 ?3 ? 4 ? a, a ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?a 2 ? 1, ? ? a ? . 2 2 ? 3 1 ? ?a ? 4 , a ? 2 ?

考点:分段函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题,其中解答中涉及到分段函数的解析式与分段 函数的性质的应用、二次函数的图象与性质等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题 和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中根据绝对值的意义,合理去掉绝对 值转化为分段函数是解答的关键,属于中档试题. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? ? , x ? ? ?1,1? ,函数 g ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ? 2af ? x ? ? 3 的最小值为 h ? a ? .
2

?1? ? 3?

x

(1)求 h ? a ? ; (2)是否存在实数 m, n 同时满足下列条件: ①m ? n ?3;
2 2 ②当 h ? a ? 的定义域为 ?n, m? 时, 值域为 ? 若不存在, 说 ?n , m ? ? ?若存在, 求出 m, n 的值;

明理由.

? 28 2a ? 1? ? 9 ? 3 ?a ? 3? ? ? ? ? ? 2?1 【答案】 (1) h ? a ? ? ?3 ? a ? ? a ? 3 ? ; (2) m, n 不存在,理由见解析. ?3 ? ? ?12 ? 6a ? a ? 3? ? ?
【解析】 试题分析: (1)设 t ? ? ? ? ? ,3? ,利用换元法,可将已知函数转化为一个二次函数,根 ? 3 ? ?3 ?

?1?

x

?1 ?

据二次函数在定区间上的最值问题,即可得到 h ? a ? 的解析式; (2)由(1)中 h ? a ? 的解析式,
2 2 易得在 h ? a ? 在 ? 3, ??? 上是减函数,进而函数 h ? a ? 的定义域为 ?n, m? 时, 值域为 ? ?n , m ? ?,

构造关于 m, n 的不等式组,如果不等式组有解,则存在满足条件的 m, n 的值;若无解,则不 存在满足条件的 m, n 的值.

? 1 ? ?1 ? ? 1 ? ?1 ? 试题解析: (1)因为 x ?? ?1,1? ,所以 ? ? ? ,3 ,设 t ? ? ? ? ,3 ,则 ? ? ?3 ? ? ? 3 ? ?3 ? ? 3? ?
y ? t 2 ? 2at ? 3 ? ? t ? a ? ? 3 ? a 2 ,当 a ?
2

x

x

1 ? 1 ? 28 2a 时, ymin ? h ? a ? ? ? ? ? ? ? ; 3 3 ? 3? 9



1 ? a ? 3 时, ymin ? h ? a ? ? ? ? a ? ? 3 ? a2 ; 当 a ? 3 时, ymin ? h ? a ? ? ? ?3? ? 12 ? 6a , 3 ? 28 2a ? 1? ? 9 ? 3 ?a ? 3? ? ? ? ? ?1 ? h ? a ? ? ?3 ? a 2 ? ? a ? 3 ? . ?3 ? ? ?12 ? 6a ? a ? 3? ? ?

考点:对数函数的图象与性质. 【方法点晴】本题主要考查了对数函数的性质的综合应用问题,其中解答中涉及到对数函数 的图象与性质、二次函数的图象与性质、函数的单调性的应用等知识点综合考查,本题的解 答中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的 能力、以及转化与化归思想的应用,试题有一定的难度,属于中档试题.