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用放缩法证明与数列和有关的不等式

用放缩法证明与数列和有关的不等式

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中,是历年高考命题的热点,这类问 题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有 关的不等式问题,解决这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条:一是先求和再放 缩,二是先放缩再求和. 一.先求和后放缩

例 1.正数数列?an ?的前 n 项的和 Sn ,满足 2 Sn ? an ?1,试求: (1)数列?an ?的通项公式;

(2)设 bn

?

1 an an?1

,数列 ?bn ?的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn

?

1 2

二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和
例 2.已知各项均为正数的数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 an2 ? an ? 2Sn .

(1)

求证: Sn

?

an 2

?

a2 n?1

4



(2) 求证: Sn ? 2

S1 ?

S2 ? ??? ?

Sn

?

Sn?1 ?1 2

2.放缩后成等比数列,再求和

例 3.等比数列{an}中,a1

?

?

1 2

,前

n

项的和为

An,且

A7,A9,A8

成等差数列.设

bn

?

an 2 1? an



数列{bn}前

n

项的和为

Bn,证明:Bn<

1 3



3.放缩后为差比数列,再求和



4.已知数列{an}满足: a1

? 1 , an?1

?

(1 ?

n 2n

)an (n

? 1,2,3?) .求证:

a n?1

?

an

? 3?

n ?1 2 n ?1

在解题时朝着什么方向进行放缩,是解题的关键,一般要看证明的结果是什么形式.如

例2要证明的结论 n 2 ? 3n 、n(n ? 1) 为等差数列求和结果的类型,则把通项放缩为等差数 22 22

列,再求和即可;如例

3

要证明的结论

1 3

(1

?

1 2n

)

?

1 3

为等比数列求和结果的类型,则把通

项放缩为等比数列,再求和即可;如例

4

要证明的结论 3 ?

n ? 1 为差比数列求和结果的类 2 n?1

型,则把通项放缩为差比数列,再求和即可;如例 5 要证明的结论 2n ? 3 ? 2 ? 2 为 n?1 n ? 2

裂项相消求和结果的类型,则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差,再求和即可.

虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题,但是我们通过仔细

分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系,先确定能不能直接求和,若不能直接求和则

要考虑把通项朝什么方向进行放缩.如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之

间的关系,则仍然容易找到解决这类问题的突破口.