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高一数学第四章(第15课时)两角和差的正弦余弦正切(4)


高中数学教案

第四章三角函数(第 15 课时)



题:4 6
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两角和与差的正弦、余弦、正切( 两角和与差的正弦、余弦、正切(4)

教学目的: 教学目的: 通过例题的讲解,使学生对两角和差公式的掌握更加牢固,并能逐渐熟悉 一些解题的技巧
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教学重点: 教学重点: 进行角的变换,灵活应用基本公式 教学难点: 教学难点: 进行角的变换,灵活应用基本公式 授课类型: 授课类型:新授课 课时安排: 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 教学过程 一、复习引入: 复习引入: 1.两角和与差的正、余弦公式

cos( + β ) = cosα cosβ ? sinα sin β α sin(α + β ) = sinα cos β + sinα cosβ

cos( ? β ) = cosα cosβ + sinα sinβ α sin(α ? β ) = sinα cos β ? sinα cos β

tan(α + β ) =

tan α + tan β 1 ? tan α tan β

tan(α ? β ) =

tan α ? tan β 1 + tan α tan β

二、讲解范例: 讲解范例: 范例 例1 化简 3 cos x ? sin x
3 1 π π π cos x ? sin x) = 2(sin cos x ? cos sin x) = 2 sin( ? x) 2 2 3 3 3

解:原式= 2(

或解: 或解:原式= 2(cos

π
6

cos x ? sin

π
6

sin x) = 2 cos(

π
6

+ x)

π 5π ? π? 例 2 已知 x ∈ ?0, ? ,求函数 y = cos( ? x) ? cos( + x) 的值域 2 12 12
? ?

解: y = cos(

π
12

? x) ? cos(

5π π + x) = 2 cos( ? x) 12 3

? π? ∵ x ∈ ?0, ? 2 ? ?

∴?

π
6



π
3

?x≤

π
3

π ?1 ? ∴ cos( ? x) ∈ ? ,1?
3 ?2 ?

∴函数 y 的值域是 ?

? 2 ? , 2? ? 2 ? ? ?

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第四章三角函数(第 15 课时)

例3

π 5 已知 sin( ? x) =
4

13

,0 < x <

π
4



cos 2 x cos(

π
4

的值

+ x)

π 5 解:∵ sin( ? x) =
4

13

5 π π ?π ? cos ? ? ( ? x )? = sin( ? x) = 4 4 13 ?2 ?

π 5 即: cos( + x) =
4

13

∵0 < x <

π
4 13



π
4

< x+

π
4

<

π
2

π 12 从而 si ( + x) =
4

π ?π ? 12 5 12 5 120 而 cos 2 x = cos ?( + x) ? cos( ? x)? = × + × = 4 4 13 13 13 13 169
? ?

120 cos 2 x 24 ∴ = 169 = π 5 13 cos( + x) 4 13
例 4 已知 sin( 2α + β ) + 2 sin β = 0 求证 tanα=3tan(α+β) 证:由题设: sin[(α + β ) + α ] = 2 sin[α ? (α + β )] 即 sin(α + β ) cos α + cos(α + β ) sin α = 2 sin α cos(α + β ) ? 2 cos α sin(α + β ) ∴ 3 sin(α + β ) cos α = sin α cos(α + β ) ∴tanα=3tan(α+β) 例 5 已知
π
2 < β <α < 3π 12 3 , cos(α ? β ) = , sin(α + β ) = ? , 4 13 5

求 sin2α的值 解:∵ cos(α ? β ) = ∴0 <α ? β < ∴π < α + β < 又 sin(α + β ) = ?
3 5 12 >0 13

π
2

< β <α <

3π 4 5 13

π
4 3π 2

∴ sin(α ? β ) =

∴ cos(α + β ) = ?

4 5

∴sin2α= sin[(α + β ) + (α ? β )] = sin(α + β ) cos(α ? β ) + c0 s (α + β ) sin(α ? β ) =?

3 12 4 5 56 × ? × =? 5 13 5 13 65
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第四章三角函数(第 15 课时)

例 6 证明 A+B+ C =n π (n ∈Z )的充要条件是 tanA+tanB +tan C = Z tanA·tanB·tanC 选题意图:考查两角和与差的正切公式的应用和求角的方法 证明:(先证充分性)
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tan( A + B + C ) =

tan( A + B) + tan C 1 ? tan( A + B) tan C

tan A + tan B + tan C 1 ? tan A tan B = 1 ? tan( A + B) tan C tan A + tan B + tan C ? tan A tan B tan C = =0 (1 ? tan A tan B)[1 ? tan( A + B) tan C ]
∴ A + B + C = nπ (n∈Z)
(再证必要性) 由 A+B+C=nπ即 A+B=nπ-C 得 tan(A+B)=-tanC (1-tanAtanB)+tanC tanA+tanB+tanC=tan(A+B) =-tanC(1-tanAtanB)+tanC =tanAtanBtanC 说明:本题可考虑证明 A+B=nπ-C(n∈Z)的充要条件是 tanA+tanB Z +tanC=tanA·tanB·tanC较为简单 例 7 求证:tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1 选题意图:考查两角和与差的正切变形公式的应用
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证明:左端=

3 (tan 20° + tan 40°) + tan 40° ? tan 20° 3

=

3 tan 60°(1 ? tan 20° tan 40°) + tan 40° tan 20° 3 = 1 ? tan 20° tan 40° + tan 40° tan 20° = 1 = 右端
A

说明:可在△ABC 中证明 tan

2

tan

B

2

+ tan

B

2

tan

C

2

+ tan

C

2

tan

A

2

=1

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B 证明 A + B = 例 8 已知 A、 为锐角, =2
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π
4

的充要条件是 (1+tanA) (1+tanB)

选题意图:考查两角和与差的正切公式的变换应用和求角的方法 证明:(先证充分性)

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第四章三角函数(第 15 课时)

由(1+tanA) (1+tanB)=2 即 1+(tanA+tanB)+tanA·tanB=2 得 tan(A+B) [1-tanAtanB]=1-tanA·tanB ∴tan(A+B)=1 又 0<A+B<π ∴A+B= (再证必要性) 由 A+ B =

π
4

π
4



tan A + tan B = 1. 1 ? tan A tan B
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整理得(1+tanA) (1+tanB)=2 说明:可类似地证明以下命题: (1)若α+β=

3π ,则(1-tanα) (1-tanβ)=2; 4 5π ,则(1+tanα) (1+tanβ)=2; (2)若α+β= 4 7π (3)若α+β= ,则(1-tanα) (1-tanβ)=2 4
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三、课堂练习: 课堂练习 1 已知 tan(α + β ) = 3, tan(α ? β ) = 2, 求 tan 2α , tan 2 β 的值.

分析:若用公式( Tα ± β )将已知等式展开,只能得到 tan α ± tan β 与

tan α tan β 的等量关系, 要得到探求结论十分困难. 我们来观察一下角的特征, 2α = (α + β ) + (α ? β ),2 β = (α + β ) ? (α ? β ) ,
于是就可以正确的解法. 归纳:将角作适当的变换,配出有关角,便于沟通条件与结论之间的联系, 这是三角恒等变换中常用的方法之一,这种变换角的方法通常叫配角法.例如

2α + β 配成 (α + β ) + α , 又如 α 配成 (α + β ) - β 或者 (α ? β ) + β .
2 已知 tan(α + β ) = 1, tan β = 2, 求 tan α 的值. 3 不查表求值: tan 15 + tan 30 + tan 15 tan 30 .
o o o o

分析: 要善于把公式变形后使用, 从公式 tan(α ± β ) =

tan α ± tan β 中 1 m tan α tan β

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第四章三角函数(第 15 课时)

可得变形公式:

tan α ± tan β = tan(α ± β )(1 m tan α tan β ) ,这会使解题更具灵活性.

tan 15 o + tan 30 o = tan 45 o (1 ? tan 15 o tan 30 o ) = 1 ? tan 15 o tan 30 o .
∴原式=1. 四、小结 两角和与差的正切及余切公式, 解题时要多观察,勤思考,善于联 想,由例及类归纳解题方法,如适当进行角的变换,灵活应用基本公式,特殊 角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能. 课后作业: 五、课后作业 1 已知函数 y = 2 x ? x ? 2 的图象与 x 轴交点为 (tan α ,0) 、 (tan β ,0) ,
2
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求证: cos(α + β ) = 4 sin(α + β ) . 证明:∵函数 y = 2 x 2 ? x ? 2 的图象与 x 轴交点为 (tan α ,0) 、 (tan β ,0) ∴ tan α + tan β = ∴ tan(α + β ) =

1 2

tan α tan β =-1

tan α + tan β 1 = 1 ? tan α tan β 4

∴ cos(α + β ) = 4 sin(α + β ) . 2 求证: tan 10 + tan 50 + 3 tan 10 tan 50 =
o o o o
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3

证明:∵ tan 10 o + tan 50 o = tan 60 o (1 ? tan 10 o tan 50 o )

= 3 ? 3 tan 10 o tan 50 o
∴ tan 10 + tan 50 + 3 tan 10 tan 50 =
o o o o

3

3 求证: tg 70 o ? tg 25 o ? tg 70 o tg 25 o = 1
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证明:∵ tan 70 o ? tan 25 o = tan 45 o (1 + tan 70 o tan 25 o )

= 1 + tan 70 o tan 25 o
∴ tg 70 o ? tg 25 o ? tg 70 o tg 25 o = 1
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第四章三角函数(第 15 课时)

六、板书设计(略) 板书设计 七、课后记: 课后记: 1 求值: (1)

2 cos 10° ? sin 20° sin 75° + cos 75° ; ( 2) . sin 70° sin 75° ? cos 75° 2 cos 10° ? sin 20° cos 20°

选题意图:考查两角和与差三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形 能力
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解:(1)原式 =

=

2 cos(30° ? 20°) ? sin 20° cos 20° 3 cos 20° + sin 20° ? sin 20° = = 3 cos 20°

tan 75° + 1 tan 75° + tan 45° = (2)原式 tan 75° ? 1 tan 75° ? tan 45° ? 1 = ? tan 120° = tan 60° = 3 =
说明:在三角函数关系式的变形过程中,要注意统一角、统一函数,要注 意角与角之间的和、差、倍、半关系和特殊角之间的关系等 2 已知 3sinβ=sin(2α+β)且 tanα=1,求 tan(α+β) ? 选题意图:考查两角和与差的三角函数公式的应用和三角函数关系式的变 形能力 ( 解:由 3sinβ=sin(2α+β)即 3sin[ α+β)-α]=[sin(α+β) +α] 得:3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα ∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα ∴tan(α+β)=2tanα 又 tanα=1 ∴tan(α+β)=2 说明:本题解法的关键是要注意到β=(α+β)-α,2α+β=(α+ β)+α 3 已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tanα,tanβ且α, β∈
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(-
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π π

, ),求 sin2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+2cos2(α+β) 2 2
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的值 选题意图:考查两角和三角函数公式和平方关系的应用

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第四章三角函数(第 15 课时)

解:根据韦达定理 ?

?tan α + tan β = ?4a ?tan α ? tan β = 3a + 1

∴ tan(α + β ) =

tan α + tan β ? 4a 4 = = 1 ? tan α ? tan β ? 3a 3

sin 2 (α + β ) + sin(α + β ) cos(α + β ) + 2 cos 2 (α + β ) sin 2 (α + β ) + sin(α + β ) cos(α + β ) + 2 cos 2 (α + β ) sin 2 (α + β ) + cos 2 (α + β ) 16 4 + +2 2 tan (α + β ) + tan(α + β ) + 2 9 3 46 = = = . 2 16 25 tan (α + β ) + 1 +1 9 = ∴ tan(α + β ) = tan α + tan β ? 4a 4 = = 1 ? tan α ? tan β ? 3a 3

sin 2 (α + β ) + sin(α + β ) cos(α + β ) + 2 cos 2 (α + β ) sin 2 (α + β ) + sin(α + β ) cos(α + β ) + 2 cos 2 (α + β ) sin 2 (α + β ) + cos 2 (α + β ) 16 4 + +2 2 46 tan (α + β ) + tan(α + β ) + 2 9 3 = = = . 2 16 25 tan (α + β ) + 1 +1 9 = ∴ tan(α + β ) = ? 4a 4 tan α + tan β = = 1 ? tan α ? tan β ? 3a 3

sin 2 (α + β ) + sin(α + β ) cos(α + β ) + 2 cos 2 (α + β ) sin 2 (α + β ) + sin(α + β ) cos(α + β ) + 2 cos 2 (α + β ) sin 2 (α + β ) + cos 2 (α + β ) 16 4 + +2 2 tan (α + β ) + tan(α + β ) + 2 9 3 46 = = = . 2 16 25 tan (α + β ) + 1 +1 9 =
∴ tan(α + β ) = tan α + tan β ? 4a 4 = = 1 ? tan α ? tan β ? 3a 3

sin 2 (α + β ) + sin(α + β ) cos(α + β ) + 2 cos 2 (α + β )

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第四章三角函数(第 15 课时)

=

sin 2 (α + β ) + sin(α + β ) cos(α + β ) + 2 cos 2 (α + β ) sin 2 (α + β ) + cos 2 (α + β )

16 4 + +2 tan (α + β ) + tan(α + β ) + 2 9 3 46 = = = . 2 16 25 tan (α + β ) + 1 +1 9
2

说明:解题的整个过程就是统一角,统一函数的过程 4 求 sin18°和 cos36°的值 解:∵sin36°=cos54° 即 sin(2×18°)=cos(3×18°) 2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18° ∵cos18°≠0 ∴2sin18°=4cos218°-3 整理得 4sin218°+2sin18°-1=0
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∴ sin 18° =

5 ?1 ? 5 ?1 (sin 18° = < 0舍去) 4 4 5 +1 cos 36° = cos(2 × 18°) = 1 ? 2 sin 2 18° = 4

说明:本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于 sin18°的方程求解,但利 用 sin54°=cos36°很难解出 sin18° 在解决三角函数问题的过程中也要适当注 意一些代数方法的使用
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