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高中数学必修2直线与圆的位置关系


高中数学必修 2

直线与圆的位置关系(典例) 直线与圆的位置关系(典例) (x- 2+(y- 2 2(r>0), 已知圆 C:(x-a) +(y-b) =r (r>0),直线 L:Ax+By+C=0 1.位置关系的判定: 位置关系的判定:
2 2 2

判定方法 1:联立方程组 (1)△>0 相交; (2)△=0 相切; (3)△<0 相离。 判定方法 2:若圆心(a,b)到直线 L 的距离为 d 相交; (1)d<r (2)d=r 相切; (3)d>r 相离。

得到关于 x(或 y)的方程

例 1、判断直线 L:(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0 与圆 O:x +y =9 的位置关系。

2

2

法一: 法一:直线 L:m(x-y+2)+x+y-1=0 恒过点 ∵点 P 在圆 O 内, ∴直线 L 与圆 O 相交。



法二: 法二:圆心 O 到直线 L 的距离为 当 d<3 时,(2m-1)2<9(2m2+2), ∴14m2+4m+17>0 ∴m∈R 所以直线 L 与直线 O 相交。
2 2 2 2 法三: 法三:联立方程,消去 y 得 2(1+m )x +(4m +2m-2)x-5m +14m-8=0 ∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17) 当 m≠1 时,△>0,直线与圆相交;

当 m=1 时,直线 L:

,此时直线 L 与圆 O 相交

综上得直线 L 与圆 O 恒相交。

[评]法二和法三是判断直线与圆位 置关系的方法,但计算量偏大;而法一 是先观察直线的特点再结合图,避免了 大量计算, 因此体现了数形结合的优点。
2 2 例 2、求圆 x +y =1 上的点到直线 3x+4y=25 的距离的最大最小值

法一: 法一:设 P(cosα,sinα)为圆上一点,则点 P 到直线的距离为 = ∴当 时,dmin=4. 法二: 法二:如图,直线 L 过圆心,且与直线 3x+4y=25 垂直于点 M, 此时,l 与圆有两个交点 A、B, ∵原点到直线 3x+4y=25 的距离|OM|=5, ∴圆上的点到直线 3x+4y=25 的距离的 最大值为:|AM|=|OM|+r=5+1=6 最小值为:|BM|=|OM|-r=5-1=4 [评]法二是几何做法,充分体现了它计算量小的优势。 2.切线问题: 切线问题: 例 3: (1)已知点 P(x0,y0)是圆 C:x2+y2=r2 上一点,求过点 P 的圆 C 的切线方程; (1) (x0x+y0y=r2) 法一: 法一: ∵点 P(x0,y0)是圆 C:x2+y2=r2 上一点,∴

当 x0≠0 且 y0≠0 时,

∴切线方程为 当 P 为(0,r)时,切线方程为 y=r,满足方程(1); 当 P 为(0,-r)时,切线方程为 t=-r,满足方程(1); 当 P 为(r,0)时,切线方程为 x=r,满足方程(1); 当 P 为(-r,0)时,切线方程为 x=-r,满足方程(1);

综上,所求切线方程为 x0x+y0y=r

2

法 二 : 设 M(x , y) 为 所 求 切 线 上 除 P 点 外 的 任 一 点 , 则 由 图 知 |OM| =|OP|2+|PM|2, 2 2 2 2 2 即 x +y =r +(x-x0) +(y-y0) ∴x0x+y0y=r2 且 P(x0,y0)满足上面的方程。 2 综上,所求切线方程为 x0x+y0y=r 。
2

(2)已知圆 O:x +y =16,求过点 P(4,6)的圆的切线 PT 的方程。 (2) 解:当 PT 方程为 x=4 时,为圆 O 的切线,满足题意: 设 PT 的方程为 y-6=k(x-4),即 kx-y-4k+6=0

2

2

则圆心 O 到 PT 的距离为

所以 PT 的方程为 综上,切线 PT 的方程为 x=4,5x-12y+52=0 [ 评] (1)判断直线与圆的位置关系有两种方法,但利用圆心到直线的距离与半径 的关系来判断在计算上更简洁。 (2)过圆外一点向圆引切线,应有两条;过圆上一点作圆的切线,只有一条。
2 2 例 4、求过下列各点的圆 C:x +y -2x+4y-4=0 的切线方程:

(1)



(2) B(4,5)

解: 2 2 (1)圆 (1) C:(x-1) +(y+2) =9,圆心 C(1,-2),r=3,且点 A 在圆 C 上,

法一: 法一:设切线方程为

,则圆心到切线的距离为



∴所求切线方程为 法二: 法二: ∵AC⊥l,









线







(2)点 (2) B 在圆外,所以过 B 点的切线有两条 设切线方程为 y=k(x-4)+5,则圆心 C 到切线的距离为

又直线 x=4 也是圆的切线方程, ∴所求切线方程为

例 5、设点 P(x,y)是圆 x +y =1 上任一点,求

2

2

的取值范围。

法一: 法一:u 表示过点(-1,2)且与圆有交点的直线 l 的斜率, 如图,当直线 l 与圆相切时,PA 的斜率不存在, 直线 PB 的方程为 ux-y+u+2=0, 圆心到直线 PB 的距离为



法二: 法二:设 x=cosα,y=sinα,则

[评]法一利用数形结合的思想,是解决这类问题的基本方法。 法二把这个几何问题转化为求三角函数 值域的问题,但此三角

函数问题计算量偏大,难以解决,反过来,我们可以把求

值域的问

题转化为本题去解决,就显得更好用的多。 要善于处理代数问题和几何问题之间转化的 问题。 例 6、从直线 L:2x-y+10=0 上一点做圆 O:x +y2=4 的切线,切点为 A、B,求四边形 PAOB 面积的最小值。
2

解: ∵ ∴当|OP|最小时,SPAOB 最小, 又∵当 OP⊥L 时|OP|最小,此时

2 2 2 例 7、(切点弦)过圆外一点 P(a,b)做圆 O:x +y =r 的切线,切点为 A、B, 求直线 AB 的方程。

法一: 法一:如图,

,由射影定理

|OA|2=|OD||OP|知,

∴O 分



当 a=0 或 b=0 时,切线方程满足上式, ∴所求切线的方程为 ax+by=r2
2 法二: 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则过 A 点的切线为 x1x+y1y=r , 又∵过点 P(a,b) ∴ax1+by1=r2, 同理有 ax2+by2=r2 2 由以上两式可以看出 A、B 的坐标都满足方程 ax+by=r ,它是一条直线的方

程, 又∵过两点的直线有且仅有一条, 2 ∴直线 AB 的方程为 ax+by=r 。 [评]法一先求得直线 AB 的斜率及其上一点的坐标,再由点斜式写出直线的 方程,做起来运算量比较大;而法二巧妙的避免了求 A、B 的坐标;设而不求 A、 B 两点的坐标,体现了对曲线与方程概念的深刻理解。 3、弦长问题 例 8、 2 2 (1)若点 P(2,-1)为圆(x-1) +y =25 的弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程。 (1) 解:圆心 C(1,0),kPC=-1, ∵AB⊥PC, ∴kAB=1,且 AB 过点 P, ∴直线 AB 的方程为 y+1=x-2 即 y=x-3 (2)若直线 y=2x+b 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹。 (2) 解:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,且 A(x1,y1),B(x2,y2)



,消去 y 得 5x2+4bx+b2-4=0

由韦达定理得,





由①②消去 b 得

,又因 M 在圆内,

∴所求轨迹为直线

在圆内的部分。

(3)经过原点作圆 x2+y2+2x-4y+4=0 的割线 l,交圆于 A、B 两点,求弦 AB 的 (3) 中点 M 的轨迹。 法一: 法一:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,直线 l 的方程为 y=kx,A(x1,y1), B(x2,y2)



消去 y 得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0



又∵x≠0

代入①得 x +y +x-2y=0

2

2

∵M 点在圆内, 2 2 2 2 ∴所求轨迹为圆 x +y +x-2y=0 在圆 x +y +2x-4y+4=0 内的部分。 法二: 法二:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,圆心 C(-1,2) ∵CM⊥OM ∴

当 x≠0 且 x≠-1 时,有 当 x=0 时,点 M 不存在;当 x=-1 时,点 M 与 C 重合,符合方程① ∵M 点在圆内, ∴所求轨迹为圆 x2+y2+x-2y=0 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。 法三: 法三:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,圆心 C(-1,2) ∵CM⊥OM ∴M 点在以 OC 为直径的圆上,即 ∵M 点在圆内, ∴所求轨迹为圆 ,

①,

在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。

习题 1.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是____ A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能 2.直线 l 过点 A(0,2)且与半圆 C:(x-1)2+y2=1(y≥0)有两个不同的交点, 则直线 l 的斜率的范围是____ 3.若圆 x2+y2-4x-5=0 上的点到直线 3x-4y+k=0 距离的最大值是 4,求 k 4.一个圆经过点 P(2,-1)和直线 x-y=1 相切,且圆心在 y=-2x 上,求它的 方程。 5.设 a+b+1=0,试求:a2+b2-2a-2b+2 的最小值

6.已知实数满足:x +y -4y+1=0 (1)求 y-2x 的取值范围;(2)求 围。

2

2

的取值范

7.自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在 2 2 直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在的直线的方程。 8.求圆 x +y -2axsinα-2bycosα-a cos α=0(a∈R 且 a≠0)在 x 轴上截得的 弦长。 9.已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点,定点 Q(4,0),求线段 PQ 中点的轨迹方 程。 答案: 答案: 1.B;
2 2 2 2

2、



3、-1 或-11 4、(x-1)2+(y+2)2=2 或(x-9)2+(y+18)2=338;

5、

6、(1) (2) 7、4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0; 8、2|a| 9、


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