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最新2019-《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第2章 2.2.3-PPT课_图文

2.2.3

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

【学习要求】

本 1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.



时 栏

2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向

目 开

量运算.



3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用

这些知识处理有关共线向量问题.

2.2.3

【学法指导】

1.实数 λ 与向量 a 可作数乘,但实数 λ 不能与向量 a 进行加、减

运算,如 λ+a,λ-a 都是无意义的.还必须明确 λa 是一个向



课 时

量,λ 的符号与 λa 的方向相关,|λ|的大小与 λa 的模长有关.

栏 目

2.利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及



关 性质定理,一定要注意,向量的共线(平行)与直线共线(或平行)

的区别;常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共

线”问题.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.3

1.向量数乘运算

本 课

实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ,这种运算叫做向量的 数乘 ,



栏 记作 λa ,其长度与方向规定如下:


开 关

(1)|λa|= |λ||a| .

(2)λa(a≠0)的方向?????当当

λ>0 λ<0

时,与a方向相同 时,与a方向相反



特别地,当 λ=0 或 a=0 时,0a= 0 或 λ0=0 .

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.3

2.向量数乘的运算律

(1)λ(μa)= (λμ)a .

(2)(λ+μ)a= λa+μa .

(3)λ(a+b)= λa+λb .

本 特别地,有(-λ)a= -(λa) = λ(-a) ;

课 时

λ(a-b)= λa-λb .

栏 目

3.共线向量定理

开 关

向量 a (a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使

_b_=__λ_a_.

4.向量的线性运算

向量的 加 、 减 、 数乘 运算统称为向量的线性运算,对于

任意向量 a、b,以及任意实数 λ、μ1、μ2,恒有

λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b

.

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2.2.3

探究点一 向量数乘运算的物理背景

本 (1)一物体作匀速直线运动,一秒钟的位移对应向量 v,那么

课 时

在同方向上 3 秒钟的位移对应的向量用 3v 表示,试在直线 l



目 开

上画出 3v 向量,看看向量 3v 与 v 的关系如何?

关答

3v=O→C=O→A+A→B+B→C=v+v+v. ∴3v 与 v 的方向相同,|3v|=3|v|.

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2.2.3

(2)已知非零向量 a,作出 a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),你 能说明它们与向量 a 之间的关系吗?

本答







目 开 关

O→C=O→A+A→B+B→C=a+a+a=3a;

O→′C′=O→′A′+A→′B′+B→′C′=(-a)+(-a)+(-a)=-3a.

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2.2.3

(3)已知非零向量 a,你能说明实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 的几何 意义吗?

本 答 λa 仍然是一个向量.



时 栏

当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;

目 开

当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;



当 λ=0 时,λa=0,方向任意.

|λa|=|λ|·|a|.

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2.2.3

探究点二 向量数乘的运算律

根据实数与向量积的定义,可以验证下面的运算律:设 λ,

μ∈R,则有

本 课

①λ(μa)=(λμ)a;



栏 ②(λ+μ)a=λa+μa;



开 关

③λ(a+b)=λa+λb.

向量等式的证明依据是相等向量的定义,既要证明等式两边

的模相等,又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的

第①条运算律吗?

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2.2.3

答 ①λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R) 如果 λ=0 或 μ=0 或 a=0,则①式显然成立; 如果 λ≠0,μ≠0,a≠0,则由向量数乘的定义有

本 |λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,



时 栏

|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|,



开 故|λ(μa)|=|(λμ)a|.



如果 λ、μ 同号,则①式两边向量的方向都与 a 同向;如果 λ、

μ 异号,则①式两边向量的方向都与 a 反向. 因此,向量 λ(μa)与(λμ)a 有相等的模和相同的方向,所以 λ(μa)

=(λμ)a.

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2.2.3

探究点三 共线向量定理及应用

由向量数乘的含义,我们容易得到向量共线的等价条件:如

果 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当存在一个实数 λ,使 b=λa.



课 时

判断两个向量是否共线可转化为存在性问题.解决存在性问



目 题通常是假设存在,再根据已知条件找等量关系列方程(组)



关 求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在,反之不存在.

例如,已知 e1,e2 是不共线的向量,a=3e1+4e2,b=6e1- 8e2,则 a 与 b 是否共线?

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2.2.3

解 若 a 与 b 共线,则存在 λ∈R,使 a=λb,

即 3e1+4e2=λ(6e1-8e2),

本 课

所以(3-6λ)e1+(4+8λ)e2=0,



栏 目 开 关

因为 e1 与 e2 不共线,所以?????34-+68λλ==00,,

所以 λ 不存在,

所以 a 与 b 不共线.

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2.2.3

探究点四 三点共线的判定
由共线向量定理可得,A,B,C 三点共线?存在 λ∈R,使A→C =λA→B.请你根据该结论证明下列常用推论:

本 推论 1:已知 O 为平面 ABC 内任一点,若 A、B、C 三点共

课 时

线,则存在 α、β∈R,使O→C=αO→A+βO→B,其中 α+β=1.

栏 目 开

证明 若 A、B、C 三点共线,则存在 λ∈R,使A→C=λA→B.

关 ∴O→C-O→A=λ(O→B-O→A),

∴O→C=(1-λ)O→A+λO→B.

令 1-λ=α,λ=β,则 O→C=αO→A+βO→B,且 α+β=1.

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2.2.3

推论 2:已知 O 为平面 ABC 内任一点,若存在 α,β∈R,使O→C

=αO→A+βO→B,α+β=1,则 A、B、C 三点共线.

证明 因为存在 α、β∈R,使O→C=αO→A+βO→B,且 α+β=1.

本 课 时

∴β=1-α,∴O→C=αO→A+(1-α)O→B,

栏 目 开

∴O→C=αO→A+O→B-αO→B

关 ∴O→C-O→B=α(O→A-O→B)

∴B→C=αB→A,

∴A、B、C 三点共线.

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2.2.3

【典型例题】

例 1 计算:

(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;

(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

本 课

解 (1)原式=(-3×4)a=-12a;



栏 (2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;



开 关

(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.

小结 向量的线性运算类似于代数多项式的运算,主要是

“合并同类项”、“提取公因式”,但这里的“同类项”、

“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.

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2.2.3

跟踪训练 1 计算:

(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);

(2)12????3a+2b?-23a-b???-76????12a+37???b+76a???????;

本 (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).

课 时



(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.

栏 目 开

(2)原式=12???3a-23a+2b-b???-76???12a+12a+37b???



=12???73a+b???-76???a+37b???=76a+12b-76a-12b=0.

(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c

=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b.

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2.2.3

例 2 已知任意两个非零向量 a,b,作O→A=a+b, O→B=a+2b,O→C=a+3b.试判断 A、B、C 三点之

间的位置关系,并说明理由.

本 解 因为A→B=O→B-O→A=(a+2b)-(a+b)=b,

课 时

A→C=O→C-O→A=(a+3b)-(a+b)=2b,



目 开

故有A→C=2A→B.因为A→C∥A→B,且有公共点 A,

关 所以 A、B、C 三点共线.

小结 本题给出了证明三点共线方法,利用

向量共线定理,关键是找到唯一实数 λ,使 a

=λb,先证向量共线,再证三点共线.

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2.2.3

跟踪训练 2 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线,如果A→B=2e1 +3e2,B→C=6e1+23e2,C→D=4e1-8e2,求证:A、B、D 三点

共线.



课 时

证明

∵B→C=6e1+23e2,C→D=4e1-8e2,

栏 目 开

∴B→D=B→C+C→D=(6e1+23e2)+(4e1-8e2)=10e1+15e2.



又∵A→B=2e1+3e2,∴B→D=5A→B,

∴A→B、B→D共线,且有公共点 B.∴A、B、D 三点共线.

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2.2.3

例 3 如图,?ABCD 的两条对角线相交于点 M,且A→B=a,A→D=b,你能用 a、b 表示M→A、

M→B、M→C和M→D吗?

本 课

解 在?ABCD 中,

时 栏

∵A→C=A→B+A→D=a+b,D→B=A→B-A→D=a-b,



开 又∵平行四边形的两条对角线互相平分,



∴M→A=-12A→C=-12(a+b)=-12a-12b,

M→B=12D→B=12(a-b)=12a-12b,

M→C=12A→C=12a+12b,M→D=-M→B=-12D→B=-12a+12b.

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2.2.3

小结 结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,



课 时

将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.









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2.2.3

跟踪训练 3 如图,D、E 分别是边 AB、AC 的中

点,求证:D→E=12B→C.

本 证明 D→E=A→E-A→D,



时 栏

∵D、E 分别为边 AB、AC 的中点,



开 关

∴A→E=12A→C,A→D=12A→B,

∴D→E=12(A→C-A→B)=12B→C.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.2.3

1.化简:

本 (1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);

课 时 栏

(2)13???12?2a+8b?-?4a-2b????.



开 解 (1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c



=(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c=6a+4b.

(2)原式=13[(a+4b)-(4a-2b)]

=13(-3a+6b)=2b-a.

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2.2.3

2.如图,A→M=13A→B,A→N=13A→C. 求证:M→N=13B→C.

本 课

证明 ∵A→M=13A→B,A→N=13A→C,



栏 目

∴M→N=A→N-A→M





=13A→C-13A→B

=13(A→C-A→B)

=13B→C.

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2.2.3

3.已知 e1 与 e2 不共线,A→B=e1+e2,B→C=2e1+8e2,C→D=3(e1 -e2),求证:A、B、D 三点共线.

本 课

证明 ∵A→B=e1+e2,

时 栏 目

B→D=B→C+C→D=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)

开 关

=5e1+5e2=5(e1+e2)=5A→B.

∴A→B,B→D共线.

又A→B与B→D有公共点 B,∴A、B、D 三点共线.

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2.2.3

4.若非零向量 a 与 b 不共线,ka+b 与 a+kb 共线,试求实

数 k 的值.

解 ∵ka+b 与 a+kb 共线,



课 时

∴存在实数 λ 使 ka+b=λ(a+kb),



目 开

∴(k-λ)a+(1-λk)b=0,



∴(k-λ)a=(λk-1)b.

∵a 与 b 不共线,∴?????kλk--λ= 1=00 ,∴k=±1.

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2.2.3

1.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如 λ

本 +a,λ-a 是没有意义的.



时 栏

2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小

目 开 关

为原来的|λ|倍.向量|aa|表示与向量 a 同向的单位向量.

3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通

常转化为向量共线问题.