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高一新生入学数学摸底试题[1]


高一新生入学数学摸底试题(150 分钟)
一、填空题(本大题共 22 小题,每小题 4 分,共 88 分) 1.二次函数 y=2x +4x+3 的顶点坐标、对称轴分别是
2

。 。 。

2.设 x 为正整数,若 x ? 1 是完全平方数,则它前面的一个完全平方数是 3.关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根为 2 和 3,则方程 ax2-bx-c=0 的根为 4.函数 y ?

x ?1 的定义域是 x?2



5.已知 x 为实数,且 x2+

1 1 =3,则 x3+ 3 的值是 2 x x
= 。



6.化简:

23 ? 6 6 ? 4 2 3? 2

7.直径为 1 的球内放一个正方体,那么这个正方体的棱长的最大值为
2



8. x 为任意实数时, 若 二次三项式 x ? 6x ? c 的值都不小于 0, 则常数 c 满足的条件是 9.如图 ,在△ABC 中,已知∠C=90°,AC=60 cm,AB=100 cm, a、b、c?是在△ABC 内部的矩形,它们的一个顶点在 AB 上,一 组对边分别在 AC 上或与 AC 平行,另一组对边分别在 BC 上或与 BC 平行. 若各矩形在 AC 上的边长相等, 矩形 a 的一边长是 72 cm, 则这样的矩形 a、b、c?的个数是 。 10. 如图 ,MN 是⊙O 的直径,MN ? 2 , A 在⊙O 上, AMN ? 30 , 点 ∠
?



A B O P N

B 为弧 AN 的中点, P 是直径 MN 上一动点,则 PA ? PB 的最小值 为 。 M 11.如图,是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成 这个几何体的小正方体的个数是 个。

主视图

左视图

俯视图


? 12.等腰△ABC 的一个内角为 30 ,一条边长为 2 3 ,则△ABC 的周长为

13.设实数 a、b、c 满足 a<b<c (ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x-a|+|x-b|+|x+c|的最小值 是 。

14.一个三角形的三条边长分别是 a, b, c(a, b, c 都是质数),且 a+b+c=16,则这个三角形 的形状是 。 15. 从-2, -1, 2 这四个数中, 1, 任取两个不同的数作为一次函数 y ? kx ? b 的系数 k ,b , 则一次函数 y ? kx ? b 的图象不经过第四象限的概率是________. 16.一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为 500°,那么这个多边形的边数
1


2



17.已知多项式 2x +3xy-2y2-x+8y-6 可以分解为(x+2y+m)(2x-y+n)的形式,那么。

m3 ? 1 的值是 n2 ?1



18.钝角三角形的三边长分别为 4,6,8,则其面积为_______ __ 。 19.把正奇数依次排列成 5 列,如右图, 则 2001 排在从左数第

列。

2 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 33 35 37 39 ???????????

C

H
A B O D

20.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD ? AB 于 H,AC=10,CD=12,那么 sin ?ABD 的 值是 .
2

21.如图,二次函数 y=ax +bx+c(a>0).图象的顶点为 D, 其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为–1、3,与 y 轴负半轴交于点 C.下面四个结论:①2a+b=0; ②a+b+c>0;③当 x ? 1 时,y 随 x 值的增大而增大; ④当 ? 1 ? x ? 3时,ax ? bx ? c ? 0
2

⑤只有当 a=

1 时, ABD 是等腰直角三角形;那么, △ 其中正确的结论是 2

________

.

(只填你认为正确结论的序号) 22.数学拓展课上,老师定义了一种运算“*” ,对于 n∈N*,满足以下运算性质:(1).2*2= 1,(2).(2n+2)*2=3(2n*2),则 2n*2 用含 n 的代数式表示为___________. 二、解答题:

?x ?3 ? 3 ≥ x ? 1, ? 23. (12 分) (1)解不等式组 ? 2 ,并把解集在数轴上表示出来. ?1 ? 3( x ? 1) ? 8 ? x, ?
(2)先化简,再求代数式

a? b ? 2 a b 2b? ? ? ??a ? ? 1 ? 的值,其中 a ?3 tan 30 , a a ? ?

b ? 2 cos 45? .
24. (12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k2

1 )=0.⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程 2

2

总有实数根;⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、 恰好是这个方程的两个根, c 求三角形 ABC 的周长. 25. (12 分)开运动会时,高一某班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛,有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同时参 加游泳比赛和球类比赛的有 3 人, 没有人同时参加三项比赛, 问同时参加田径比赛和球类比 赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 26. (14 分)某校九年级三班为开展“迎 2008 年北京奥运会”的主题班会活动,派了小林 和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品.已知该超市的锦江牌钢笔每支 8 元, 红梅牌钢每支 4.8 元,他们要购买这两种笔共 40 支. (1)如果他们两人一共带了 240 元,全部用于购买奖品,那么能买这两种笔各多少支? (2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况,决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红

1 1 ,但又不少于红梅牌钢笔的数量的 .如果他们买了锦江牌钢笔 x 支, 2 4 买这两种笔共花了 y 元. ①请写出 y (元)关于 x (支)的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围;
梅牌钢笔的数量的 ②请帮他们计算一下,这两种笔各购买多少支时,所花的钱最少,此时花了多少元? 27. (14 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D,过 点 D 作⊙O 的切线,交 BC 于点 E. (1)求证:点 E 是边 BC 的中点; (2)若 EC=3,BD= 2 6 ,求⊙O 的直径 AC 的长度; (3)若以点 O,D,E,C 为顶点的四边形是正方形,试判 断△ABC 的形状,并说明理由. 28. (16 分)在芦淞服装批发市场,某种品牌的时装当季 节将来临时,价格呈上升趋势,设这种时装开始时定价为 20 元/件(第 1 周价格) ,并且每 周价格上涨,如图示,从第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售;从第 12 周开 始,当季节即将过去时,每周下跌,直到第 16 周周末,该服装不再销售。 ⑴求 销售价格 y (元/件)与周次 x 之间的函数关系式; ⑵若这种时装每件进价 Z(元/件)与周次 x 次之间的关系为 Z= ? 0.125?x ? 8? ? 12 (1≤
2

,且 x ≤16) x 为整数,试问该服装第几周出售时,每件销售利润最大?最大利润为多少?
价格

30

20

0

11 1 2 4 6 8 10 12
2

14 16

周次

29. (16 分)设抛物线 y ? ax ? bx ? 2 与 x 轴交于两个不同的点 A(一 1,0)、B(m,0),与 y 轴交于点 C.且∠ACB=90° .(1)求 m 的值和抛物线的解析式;(2)已知点 D(1,n )在抛物线
3

上,过点 A 的直线 y ? x ? 1交抛物线于另一点 E.若点 P 在 x 轴上,以点 P、B、D 为顶点 的三角形与△AEB 相似,求点 P 的坐标. (3)在(2)的条件下,求△BDP 的外接圆半径. 30. 16 分)设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0}, 若B ? A ,求实数 a 的取 (
2 2 2

值范围。

高一新生入学数学摸底试题答案
一、填空题(本大题共 22 小题,每小题 4 分,共 88 分) 1.二次函数 y=2x +4x+3 的顶点坐标、对称轴分别是(-1,1),x=-1
2

.

2.设 x 为正整数,若 x ? 1 是完全平方数,则它前面的一个完全平方数是 x ? 2 x ? 1 ? 2 。 3.关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根为 2 和 3,则方程 ax2-bx-c=0 的根为 1,-6 。 4.函数 y ?

x ?1 的定义域是 x?2

{x| x ? 1且x ? 2 } ±2 5



5.已知 x 为实数,且 x2+

1 1 =3,则 x3+ 3 的值是 2 x x
= 1



6.化简:

23 ? 6 6 ? 4 2 3? 2



7. 直径为 1 的球内放一个正方体, 那么这个正方体的棱长的最大值为

3 3



8.若 x 为任意实数时,二次三项式 x2 ? 6x ? c 的值都不小于 0,则常数 c 满足的条件是 c≥9 9.如图 ,在△ABC 中,已知∠C=90°,AC=60 cm,AB=100 cm, a、b、c?是在△ABC 内部的矩形,它们的一个顶点在 AB 上,一 组对边分别在 AC 上或与 AC 平行,另一组对边分别在 BC 上或与 BC 平行. 若各矩形在 AC 上的边长相等, 矩形 a 的一边长是 72 cm, 则这样的矩形 a、b、c?的个数是 9 。 10. 如图 ,MN 是⊙O 的直径,MN ? 2 , A 在⊙O 上, AMN ? 30 , 点 ∠
?

A B O P N

B 为弧 AN 的中点, P 是直径 MN 上一动点,则 PA ? PB 的最小值


2



M

11.如图,是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成 这个几何体的小正方体的个数是 5 个。

主视图

左视图

俯视图

4

12 . 等 腰 △ ABC 的 一 个 内 角 为 30

?

, 一 条 边 长 为 2 3 , 则 △ ABC 的 周 长 为

6 ? 4 3或4 ? 2 3 。
13. 设实数 a、 c 满足 a<b<c (ac<0), b、 且|c|<|b|<|a|, 则|x-a|+|x-b|+|x+c|的最小值是 c―a 。 ―

14.一个三角形的三条边长分别是 a, b, c(a, b, c 都是质数),且 a+b+c=16,则这个三角形 的形状是 等腰三角形 。 15. 从-2, -1, 2 这四个数中, 1, 任取两个不同的数作为一次函数 y ? kx ? b 的系数 k ,b , 则一次函数 y ? kx ? b 的图象不经过第四象限的概率是__

1 ______. 6

16.一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为 500°,那么这个多边形的边数 是 4或5 。 17.已知多项式 2x2+3xy-2y2-x+8y-6 可以分解为(x+2y+m)(2x-y+n)的形式,那么。

m3 ? 1 的值是 n2 ?1



7 8



18.钝角三角形的三边长分别为 4,6,8,则其面积为_____ 3 15 ________ 19.把正奇数依次排列成 5 列,如右图, 则 2001 排在从左数第 2 列。 1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 33 35 37 39 ???????????

20.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD ? AB 于 H, AC=10,CD=12,那么 sin ?ABD 的值是

C

4 5

H

2

A

B O D

21.如图,二次函数 y=ax +bx+c(a>0).图象的顶点为 D, 其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为–1、3,与 y 轴负半轴交于点 C.下面四个结论:①2a+b=0; ②a+b+c>0;③当 x ? 1 时,y 随 x 值的增大而增大; ④当 ? 1 ? x ? 3时,ax ? bx ? c ? 0
2

5

⑤只有当 a=

1 时,△ABD 是等腰直角三角形; 2 ①⑤ .(只填你认为正确结论的序号)

那么,其中正确的结论是

22.数学拓展课上,老师定义了一种运算“*” ,对于 n∈N*,满足以下运算性质:(1).2*2= 1,(2).(2n+2)*2=3(2n*2),则 2n*2 用含 n 的代数式表示为______ 3 二、解答题:
n ?1

_______.

?x ?3 ? 3 ≥ x ? 1, ? 23. (12 分) (1)解不等式组 ? 2 ,并把解集在数轴上表示出来. ?1 ? 3( x ? 1) ? 8 ? x, ?
解:解第一个不等式得: x ? 1 解第二个不等式得: x ? ?2 所以不等式组的解集为: ? 2 ? x ? 1

-5

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

5

x

(2)先化简,再求代数式

a? b ? 2 a b 2b? ? ? ??a ? ? 1 ? 的值,其中 a ?3 tan 30 , a a ? ?

b ? 2 cos 45? .
解:原式=

a ? b a 2 ? 2ab ? b 2 a ? b a 1 ? ? ? ? 2 a a a a?b (a ? b) 1 3 ? 3 3
1 )=0. 2

a ? 3 ? 1, b ? 1 代入上式得:原式=
2

24. (12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k-

⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根; ⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根,求三角 形 ABC 的周长. 解: (1) ? ? (2k ? 1) ? 16(k ? ) ? 4k ? 12k ? 9 ? (2k ? 3) ,恒大于等于0
2 2 2

1 2

所以:无论 k 取何值,这个方程总有实数根。 (2)三角形 ABC 为等腰三角形,可能有两种情况: 1)b 或 c 中至少有一个等于 a= 4,即:方程 x -(2k+1)x+4(k可得 k=
2

1 )=0 有一根为 4, 2

5 2 ,方程为 x -6x+8=0.另一根为 2,此时三角形 ABC 周长为 10; 2 1 2 2)b=c 时, ? ? (2k ? 1) ? 16(k ? ) ? 0 2
6

得 k=

3 2 ,方程为 x - 4x+4=0.得 b=c=2, 此时 ABC 不能构成三角形; 2

综上,三角形 ABC 周长为 10。 25. (12 分)开运动会时,高一某班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛,有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同 时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人, 没有人同时参加三项比赛, 问同时参加田径比赛 和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 解:设 A={参加游泳比赛的同学},B={参加田径比赛的同学},C={参加球类比赛的同 学}

则 card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∪B∪C)=28

且 card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A∩B∩C)=0

由公式②得 28=15+8+14-3-3-card(B∩C)+0

即 card(B∩C)=3 所以同时参加田径和球类比赛的共有 3 人,而只参加游泳比赛的人有 15-3-3=9(人) 26. (14 分)某校九年级三班为开展“迎 2008 年北京奥运会”的主题班会活动,派了小林 和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品.已知该超市的锦江牌钢笔每支 8 元, 红梅牌钢每支 4.8 元,他们要购买这两种笔共 40 支. (1)如果他们两人一共带了 240 元,全部用于购买奖品,那么能买这两种笔各多少支? (2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况,决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红

1 1 ,但又不少于红梅牌钢笔的数量的 .如果他们买了锦江牌钢笔 x 支, 2 4 买这两种笔共花了 y 元. ①请写出 y (元)关于 x (支)的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围;
梅牌钢笔的数量的 ②请帮他们计算一下,这两种笔各购买多少支时,所花的钱最少,此时花了多少元? 解: (1)设能买锦江牌钢笔 x 支,则能买红梅牌钢笔 (40 ? x) 支.依题意, 得 8x ? 4.8(40 ? x) ? 240 .解得 x ? 15 .∴40 ? x ? 40 ?15 ? 25 . 答:能买锦江牌钢笔 15 支,红梅牌钢笔 25 支. (2)①依题意,得 y ? 8x ? 4.8(40 ? x) ? 3.2 x ? 192 .

7

1 ? ? x ? 2 (40 ? x), 40 ? 又由题意,有 ? 解得 8 ≤ x ? . 3 ? x ≥ 1 (40 ? x). ? ? 4
∴ y 关于 x 的函数关系式为 y ? 3.2 x ? 192 ,自变量 x 的取值范围是 8 ≤ x ?
数. ②对一次函数 y ? 3.2 x ? 192 ,∵k ? 3.2 ? 0 ,∴ y 随 x 的增大而增大.

40 且 x 为整 3

∴ 对 8≤ x ?

40 , 当 x ?8 时 , y 值 最 小 . 此 时 4 0 x ? 4 0 8 , 2 ? ? ? 3 3

y最小 ? 3.2 ? 8 ? 192 ? 217.6
答:当买锦江牌钢笔 8 支,红梅牌钢笔 32 支时,所花钱最少,为 217.6 元. 27. (14 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D,过 点 D 作⊙O 的切线,交 BC 于点 E. (1)求证:点 E 是边 BC 的中点; (2)若 EC=3,BD= 2 6 ,求⊙O 的直径 AC 的长度; (3)若以点 O,D,E,C 为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC 的形状,并说明理由. (1)证明:连接 DO, ∵∠ACB=90°,AC 为直径, ∴EC 为⊙O 的切线, 又∵ED 也为⊙O 的切线, ∴EC=ED. 又∵∠EDO=90°, ∴∠BDE+∠ADO=90°, ∴∠BDE+∠A=90°, 又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B, ∴EB=ED. ∴EB=EC,即点 E 是边 BC 的中点. (2)∵BC,BA 分别是⊙O 的切线和割线,BC=2DE 2 ∴BC =BD?BA, ∴(2EC) = BD?BA,即 BA? 2 6 =36, ∴BA= 3 6 , 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得
2

AC= AB 2 ? BC 2 = (3 6 ) 2 ? 6 2 = 3 2 .
(3)△ABC 是等腰直角三角形. 理由:∵四边形 ODEC 为正方形,

8

∴∠DOC=∠ACB=90°,即 DO∥BC, 又∵点 E 是边 BC 的中点, ∴BC=2OD=AC, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 28. (16 分)在芦淞服装批发市场,某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升趋势,设 这种时装开始时定价为 20 元/件(第 1 周价格) ,并且每周价格上涨,如图示,从第 6 周开 始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售; 从第 12 周开始, 当季节即将过去时, 每周下跌, 直到第 16 周周末,该服装不再销售。 ⑴求 销售价格 y (元/件)与周次 x 之间的函数关系式; ⑵若这种时装每件进价 Z (元/件) 与周次 x 次之间的关系为 Z= ? 0.125?x ? 8? ? 12(1
2

≤ x ≤16) 且 x 为整数, , 试问该服装第几周出售时, 每件销售利润最大?最大利润为多少?
价格

30

20

0

11 1 2 4 6 8 10 12 14 16
周次

解:⑴依题意,可建立的函数关系式为:

?2 x ? 18 ? y ? ?30 ?? 2 x ? 52 ?

?1 ? x ? 6? ?6 ? x ? 11? ?12 ? x ? 16 ?
?1 ? x ? 6 ? ? 6 ? x ? 11? ?12 ? x ? 16 ?

⑵设销售利润为 W,则 W=售价-进价

1 2 ? ?2 x ? 18 ? 8 ? x ? 8 ? ? 12 ? 1 2 ? 故 W= ?30 ? ? x ? 8 ? ? 12 8 ? ?1 2 ? 8 ? x ? 8 ? ? 2 x ? 40 ?

?1 2 ?1 ? x ? 6? ? 8 x ? 14 ? ?1 2 化简得 W= ? x ? 2 x ? 26 ?6 ? x ? 11? ?8 ?1 2 ? 8 x ? 4 x ? 48 ?12 ? x ? 16 ? ?
①当 W=

1 2 x ? 14 时,∵ x ≥0,函数 y 随着 x 增大而增大,∵1≤ x ≤6 8
9

∴当 x ? 6 时,W 有最大值,最大值=18.5 ②当 W=

1 2 1 2 x ? 2 x ? 26 时,∵W= ?x ? 8? ? 18 ,当 x ≥8 时,函数 y 随 x 8 8

增大而增大

1 8 1 1 2 ③当 W= x 2 ? 4 x ? 48 时,∵W= ?x ? 16 ? ? 16 ,∵12≤ x ≤16,当 x ≤16 时,函 8 8 数 y 随 x 增大而减小, ∴在 x ? 12 时,函数有最大值为 18 1 综上所述,当 x ? 11 时,函数有最大值为 19 8
∴在 x ? 11 时,函数有最大值为 19 29. (16 分)设抛物线 y ? ax ? bx ? 2 与 x 轴交于两个不同的点 A(一 1,0)、B(m,0),与
2

y 轴交于点 C.且∠ACB=90°. (1)求 m 的值和抛物线的解析式; (2)已知点 D(1,n )在抛物线上,过点 A 的直线 y ? x ? 1 交抛物线于另一点 E.若点 P 在 x 轴上,以点 P、B、D 为顶点的三角形与△AEB 相似,求点 P 的坐标. (3)在(2)的条件下,求△BDP 的外接圆半径.

解: (1)易知 C(0,-2), 在 ?ABC中,由射影定理:OC ? OA ? OB
2

得 OB=4,所以:B(4,0)即:m=4 所以: ?

?a ? b ? 2 ? 0 ?16a ? 4b ? 2 ? 0

解得: a ?

1 3 , b?? 2 2 1 2 3 x ? x?2 2 2

抛物线解析式为: y ?

(2)易得:D(1,-3 ) E(6,7) 可求出 ?DBA ? ?EAB ? 45?

AB ? 5, AE ? 7 2 , BD ? 3 2
在线段 OB 上有点 P 使: ?PBD ∽ ?BAE ,

BP BD 15 13 ? , 可求出:BP ? ,此时P( ,0) AB AE 7 7 在 BA 延长线上有点 P 使: ?PBD ∽ ?EAB , BP BD 42 22 此时 ? , 可求出:BP ? ,此时P(? ,0) AE AB 5 5
此时

10

(3)可求出 ?ABE 外接圆半径为 相似比, 可得 ?PBD 外接圆半径为

106 , ?PBD 外接圆半径与 ?ABE 外接圆半径比等于 2

3 106 3 53 或 14 5
2 2

30.(16 分)设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0}, 若B ? A ,求实数 a 的
2

取值范围。

30.解:由 A ? {x x ? 4 x ? 0} ? {x x ? 0或x ? ?4} ? {0, ?4} .
2

∵ B ? A ,∴ B ? ?或B ? {0}或B ? {?4}或B ? {0, ?4} . 当 B ? ?时 ,即 x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 无实根,由 ? ? 0 ,
2 2

即 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 ,解得 a ? ?1 ;
2 2

0 当 B ? {0} 时,由根与系数的关系: 0 ? 0=-2(a ? 1),? 0=a ? 1 ? a ? ?1 ;
2

当 B ? {?4} 时,由根与系数的关系: ?4 ? 4=-2(a ? 1),(-4)? (?4)=a ? 1 ? a ?? ;
2

0 当 B ? {0, ?4} 时,由根与系数的关系: 0 ? 4=-2(a ? 1),? (?4)=a ? 1 ? a ? 1 ;
2

综上所得 a ? 1或a ? ?1 .

11


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