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偏微分方程数值解期末试题及参考答案


A卷

2005— 2005—2006 学年第 2 学期 《偏微分方程数值解》试卷 偏微分方程数值解》

参考答案与评分标准
专业班级 开课系室 考试日期 命题教师 2006.4.14 王子亭 信息与计算科学





















总分





阅卷人

偏微分方程数值解试题(06A) 偏微分方程数值解试题(06A)

参考答案与评分标准
信息与计算科学专业 1 一(10 分) 设矩阵 A 对称正定,定义 J ( x) = ( Ax, x) ? (b, x) ( x ∈ R n ) ,证明下 、设矩阵 对称正定, 2 列两个问题等价: (1)求 列两个问题等价 : (1) 求 x0 ∈ R n 使 J ( x0 ) = min J ( x) ;(2) 求下列方程组的解 : 2 求下列方程组的解: n
x∈R

Ax = b

的最小值点,对于任意的 解: 设 x0 ∈ R n 是 J (x) 的最小值点 对于任意的 x ∈ R n ,令 令

? (λ ) = J ( x0 + λx) = J ( x0 ) + λ ( Ax0 ? b, x) +

λ2
2

( Ax, x) ,

(3 分)

的极小值点, 因此 λ = 0 是 ? (λ ) 的极小值点 ? ' (0) = 0 ,即对于任意的 x ∈ R n , ( Ax0 ? b, x) = 0 ,特 即对于任意的 特 别取 x = Ax0 ? b ,则有 ( Ax0 ? b, Ax0 ? b) =|| Ax0 ? b || 2 = 0 ,得到 Ax0 = b . 则有 得到 反 之 , 若 x0 ∈ R n 满 足 Ax0 = b , 则 对 于 (3 分) 任 意 的

1 x , J ( x0 + x) = ? (1) = ? (0) + ( Ax, x) > J ( x0 ) ,因此 x0 是 J ( x) 的最小值点 (4 分) 的最小值点. 因此 2

评分标准: 评分标准 ? (λ ) 的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分 推理逻辑性 d du ? ? Lu = ? ( p ) + qu = f x ∈ (a, b) 二(10 分) 对于两点边值问题: ? 、 对于两点边值问题: dx dx ? u (a ) = 0, u (b) = 0 ? 其中 p ∈ C 1 ([a, b]), p ( x) ≥ min p ( x) = p min > 0, q ∈ C ([a, b]), q ≥ 0, f ∈ H 0 ([a, b])
x∈[ a ,b ]

建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式: 求泛函极小的 Ritz 形式和 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式: Galerkin 形式的变分方程。 形式的变分方程。
1 为求解函数空间,检验函数空间 检验函数空间.取 解 : 设 H 0 = {u | u ∈ H 1 (a, b), u (a ) = u (b) = 0} 为求解函数空间 检验函数空间 取 1 v ∈ H 0 (a, b) ,乘方程两端 积分应用分部积分得到 乘方程两端,积分应用分部积分得到 乘方程两端

(3 分)

b du dv 1 . + quv)dx = ∫ fvdx = f (v) , ? v ∈ H 0 (a, b) a a dx dx 形式. (3 分) 即变分问题的 Galerkin 形式 1 1 b du 令 J (u ) = a (u , u ) ? ( f , u ) = ∫ [ p ( ) 2 + qu 2 ? fu ]dx ,则变分问题的 Ritz 形式 则变分问题的 2 2 a dx

a (u , v) = ∫ ( p

b

1 使 为求 u * ∈ H 0 (a, b) ,使 J (u * ) = min J (u ) 1
u∈H 0

(4 分)

评分标准:空间描述与积分步骤 评分标准 空间描述与积分步骤 3 分,变分方程 3 分,极小函数及其变分问题 4 分, 变分方程 极小函数及其变分问题 、对于边值问题 三(20 分) 对于边值问题 、
? ? 2u ? 2u ? 2 + 2 = ?1 , ( x, y ) ∈ G = (0,1) × (0,1) ? ?x ?y ? u | ?G = 0 ?

,推导截 (1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式) 推导截 )建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式) , 断误差的阶。 断误差的阶。 求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解) (2)取 h = 1 / 3 ,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解) ) 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表示) (3)就取 h = 1 / N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表示) ) 。 解: (1) 区域离散 x j = jh, y k = kh ,差分格式为 差分格式为 u j +1,k ? 2u jk + u j ?1,k h
2

+

u j ,k ?1 ? 2u jk + u j , k +1 h2

= ?1

(5 分)

h 2 ? 4u ? 4u 展开得到,截断误差为 应用 Tayloy 展开得到 截断误差为 [ 4 + 4 ] jk + O (h 4 ) ,其阶为 O (h 2 ) (3 分) 其阶为 12 ?x ?y

(2) 未知量为 U = (u11 , u12 , u 21 , u 22 ) T ,矩阵形式为 AU = F ,其中 矩阵形式为 其中 ? 4 ?1 ?1 0 ? ? 1? ? ? ? ? 1 ? 1? ? ? 1 4 0 ? 1? ,F = ? ? A=? ?1 0 4 ? 1? 9 1 ? ? ? ? ? 0 ?1 ?1 4 ? ? 1? ? ? ? ? 解为 u =
1 (1,1,1,1) T 18

(4 分)

(3 分)

? B ?I ? ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ?? I B ? I ? ??1 4 ?1 ? (3) 矩阵为 ? (5 分) ?,B = ? ? O O O O ? ? ? ? ? ? ? I B? ?1 4? ? ? ? ? 评分标准:第 评分标准 第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形 格式 截断误差 方程 解 式 3 分,B 的形式 2 分

? ?u ? 2u ? = a 2 , 0 < x < 1,0 < t ≤ T ?x ? ?t 、对于初边值问题 四(20 分) 对于初边值问题 ? u ( x,0) = ? ( x), 0 < x < 1 、 ? u (0, t ) = u (1, t ) = 0,0 ≤ t ≤ T ? ?
,推导截断误差的主项 (1)建立向前差分格式(最简显格式) 推导截断误差的主项,指出误差阶 )建立向前差分格式(最简显格式) 推导截断误差的主项,指出误差阶; , 的形式) ,用矩阵方法分析 (2)写出差分格式的矩阵形式(即 AU k +1 = BU k + τF 的形式) 用矩阵方法分析 )写出差分格式的矩阵形式( , 格式的稳定性 方法(分离变量法) (3)建立六点加权格式,写出计算形式,应用 Fourier 方法(分离变量法)分析 )建立六点加权格式,写出计算形式, 格式的稳定性。 格式的稳定性。

区域离散, 解:(1) 区域离散,格式为

u k +1 ? u k j j

τ

=a

1 2 k δxuj h2

,

(5 分)

应 用 Taylor 展 开 得 到 , 误 差 主 项 为 O(τ + h 2 ) (2) A = E , B = diag{r ,1 ? 2r , r} , 稳定条件为 r ≤ 1 / 2

1 ? 2u k ah 2 ? 4 u k ( 2 ) jτ ? ( ) j + O(τ 2 + h 4 ) , 阶 为 2 ?t 12 ?x 4 (3 分)

(4 分) (3 分)

(3) 格式为

u k +1 ? u k j j

τ

=

a 2 δ x (θu kj +1 + (1 ? θ )u kj ) , 2 h

(3 分)

当θ ≥

1 1 1 格式恒稳定, 格式恒稳定,当 θ < ,稳定条件为 r ≤ 2 2 1 ? 2θ

(2 分)

u n+1 ? u n?1 u n+1 ? u n?1 ?u ?u j j j 、逼近 +a = 0 的三层差分格式 +a j =0 五(10 分) 逼近 、 2τ 2h ?t ?x

分析格式的稳定性 解:计算形式为 u n+1 = ? ar (u n+1 ? u n?1 ) + u n?1 j j j j 此为三层格式,化为两层格式. 此为三层格式,化为两层格式.令 v n+1 = u n ,则有 j j
? u n+1 = ?ar (u n+1 ? u n?1 ) + v n ? j j j j ? n+1 n = uj ?v j ?
n 代入格式,消去公因子, 令 u n = w1n eiαjh , v n = w2 eiαjh ,代入格式,消去公因子,得到 j j

(2 分)

(4 分)

? w1n+1 ? ? ? 2iar sin αh 1 ?? w1n ? ? n+1 ? = ? ?? n ? ?w ? ? 1 0 ?? w2 ? ?? ? ? 2 ? ?

(2 分)

λ + 2ar sin αhi ? 1 ? ? 2ar sin αhi 1 ? ? ,特征方程为 | λE ? G |= 放大矩阵为 G = ? ? 1 0? ?1 λ ? ?
? 2ar sin αh ± 4 ? 4a 2 r 2 sin 2 αh i 2

= λ2 + 2ar sin αhiλ ? 1 = 0 , λ1, 2 =

λ1λ2 = 1 , max{| λ1 |, | λ2 |} ≤ 1 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,
? = 4 ? 4a 2 r 2 sin 2 αh ≥ 0 .考虑到 α 的变化,稳定条件为 | ar |≤ 1 的变化,

(2 分)

、建立波动方程 六(10 分) 建立波动方程 、

? 2u ? 2u = a 2 2 的初值问题的显格式,推导截断误差. 的初值问题的显格式,推导截断误差. ?t 2 ?x

解:差分格式为

u n +1 ? 2u n + u n ?1 j j j

τ

2

= a2

1 2 n δxuj , h2

(5 ( 5 分)

? ? 4u ? 1 ? ? 4u ? 截断误差为 ? 4 ? τ 2 ? a 2 ? 4 ? h 2 + O(τ 4 + h 4 ) ,阶为 O(τ 2 + h 2 ) ? ?x ? 12 ? ?t ? j ? ? ? ?j ( 七 10 分) 对于二维抛物型方程 、

n

n

(5 分)

?u ? 2u ? 2u = a ( 2 + 2 ) 建立向后差分格式 隐格式) (隐格式) , ?t ?x ?y

指出截断误差阶,分析格式的稳定性。 指出截断误差阶,分析格式的稳定性。 解: 差分格式为

u n +1 ? u n jk jk

τ

=

a 2 n +1 (δ x u jk + δ y2 u n +1 ) jk h2

(4 分)

误差阶为 O(τ + h 2 ) (3 分) 放大因子为 G (α , β ,τ ) =
1 恒稳定. ,恒稳定. 2 αh 2 βh 1 + 4r sin + 4r sin 2 2 、分析差分格式 八(10 分) 分析差分格式 、

(3 分)

u k +1 ? u k j j

τ

=a

u k+1 ? 2u k + u k?1 j j j h
2

+b

u k+1 ? u k?1 j j 2h

+ cu k (a > 0) j

的稳定性 写出计算形式, 解:写出计算形式,忽略低阶项 2 分,写出放大因子 3 分
| G |= λ2 sin 2 kh + 1 ? 4 ? (1 ? cos kh) + 4 ? 2 (1 ? cos kh) 2 = λ2 (1 ? cos kh)(1 + cos kh) + 1 ? 4 ? (1 ? cos kh) + 4 ? 2 (1 ? cos kh) 2 = 1 ? (1 ? cos kh)[4 ? ? 4 ? 2 (1 ? cos kh) ? λ2 (1 + cos kh)]

(2 分)

von Neumann 条件 | G |≤ 1 变为
4 ? ? 4 ? 2 (1 ? cos kh) ? λ2 (1 + cos kh) ≥ 0

即 只需

4 ? ? 2λ2 ? (4 ? 2 ? λ2 )(1 ? cos kh) ≥ 0

4 ? ? 2λ2 ≥ 0,2(λ2 ? 4 ? 2 ) + 4 ? ? 2λ2 ≥ 0

条件 4 ? ? 2λ ≥ 0 可以写成 定的条件是

a 2τ 2ντ ≤ 1 。第二个条件可化为 2 ≤ 1 ,因此差分格式稳 2ν h

a 2τ 2ντ ≤ 1, ≤1 2ν h2

(3 分)


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