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河北省衡水中学2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题


第Ⅰ卷
一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若

x, y ? R , A ? ? x y ? 2 x ? x 2
A. (2, ??)

? ,B ? ? y

y ? 3x , x ? 0

? ,则 A *B=(

) .

B. ? 0,1? ? (2, ??)
?? ?

C. ? 0,1? ? (2, ??)

D. ? 0,1? ? [2, ??)

2. 如右图,在△ ABC 中, AN ? 为( A. )

? ?? ? ?? ? 2 ?? ? 1 ?? NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 的值 3 9

1 9

B

1 3

C. 1

D.

3

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 3.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是( ) x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
A. ?1,5? B. ? 2, 6? C. ?3,10? D. ?3,11?
f ?( x )

4. 定义 在 R 上的 可导函 数 f ( x) , 已 知 y ? e

的 图象 如 图所 示 ,则

y ? f ( x) 的增区间是( )
A. (??,1) B. (??, 2)
2

C. (0,1)

D. (1, 2)

5.如右图过抛物线 y ? 4 x 焦点的直线依次交抛物线与圆

? x ? 1?
A .4

2

? y 2 ? 1 于 A、B、C、D,则 AB ? CD ? (
B. 2 C. 1 D.

)

1 2

6.如图所示是一几何体的三视图, 正视图是一等腰直角三角形, 且斜边 BD 长为 2, 侧视图是一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且 AB=BC=1,则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切值是( )

A.1

B. 2

C.

2 2

D.

1 2

2 2 7.已知 F1、F2分别是椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 是椭圆上位于第一象限内的一点, a b

点 B 也在椭圆 上,且满足 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点) AF2 ? F1 F2 ? 0 ,若椭圆的离心率等 , 于

2 , 则直线 AB 的方程是 ( ) . 2
2

A. y ? 2 x
2

B. y ? ? 2 x
2

C. y ? ? 3 x
2

D. y ? 3 x
2

8. 函数 f ( x) ? ?2 x ? 7 x ? 6 与 g ( x) ? ? x 的图象所围成封闭图形的面积为( A.



2 3

B.

4 3

C.2

D.

8 3

9.已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 P ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点, 为双曲线上除顶点外的任意一 a 2 b2


点,且△ F1 PF2 的内切圆交实轴于点 M,则 F1M ? MF2 的值为(

A. b

2

B. a

2

C. c

2

a 2 ? b2 D. a

10.已知正方形 AP P2 P3 的边长为 4,点 B, C 位边 P P2 , P2 P3 的中点,沿 AB, BC , CA 折叠成一个 1 1 三棱锥 P ? ABC (使 P , P2 , P3 重合于点 P ) ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球表面积为( 1 A. 24? B. 12? C. 8? D. 4? )

11. 已知 y ? f (x) 是偶函数, x ? R ,若将 y ? f (x) 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函 数,又 f (2) ? ?1, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2011) ? A.-1003 B.1003 C.1 D.-1 ( )

12.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出以下四个命题:①当 c=0 时,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立;②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x) ? 0, 只有一个实数根;③函数 y ? f (x) 的图象关于点(0,c)对称 ④当 x>0 时;函数 f ( x) ? x x ? bx ? c , f ( x) 有最小值是 c ? A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③

b2 。其中正确的命题的序号是( ) 2

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置)

?2 x ? 1, x?0 ? 2 13.已知定义在 (?1, ??) 上的函数 f ( x) ? ? 3 x ? 1 ,若 f (3 ? a ) ? f (2a) ,则实数 a , ?1 ? x ? 0 ? ? x ?1
取值范围为 14.椭圆 为 .

x2 y2 ? ? 1 (a > b > 0) 且满足 a ≤ a 2 b2


3b ,若离心率为 e,则 e

2

+

1 的最小值 e2

15.设函数 f ( x) ? 2sin( 的最小值为

?

x ? ) ,若对任意 x ? R ,都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 x1 ? x2 2 5

?

16.设 X n ? {1, 2,3? n}( n ? N * ) ,对 X n 的任意非空子集 A,定义 f ( A) 为 A 中的最大元素,当 A 取遍 X n 的所有非空子集时,对应的 f ( A) 的和为 S,则 S 2 = , Sn = 。

三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17、 (本小题 10 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量 m =(1,cosA -1), n =(cosA,1)且满足 m ⊥ n . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a= 3 ,b+c=3 求 b、c 的值.

19. (本小题满分 12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入

成本为 C ( x) 当年产量不足 80 千件时, C ( x) ?

1 2 ;当年产量不小于 80 千件时 x ? 10 x (万元) 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ,每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生产的商 ? 1450 (万元) x

品能全部售完。 (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

20、 (本小题满分 12 分)已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B 两点. a2 b2

(Ⅰ)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3 1 2 2 ] 时, 2

(Ⅱ) 若向量 OA 与向量 OB 互相垂直 (其中 O 为坐标原点) 当椭圆的离心率 e ? [ , , 求椭圆的长轴长的最大值.

2012~2013 学年度第一次模拟考试 高三年级数学(理科)答案

18 、

19. (本小题满分 12 分)

6分

20、解: (Ⅰ)? e ?

3 c 3 ,2c ? 2, 即 ? 3 2 3

? a ? 3 , 则b ? a 2 ? c 2 ? 2
x2 y2 ∴椭圆的方程为 ? ?1 3 2
……… 2 分

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 3 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 2 ? y ? ?x ? 1 ?
6 3 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 5 5

?| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
…………………… 6 分 (II) 设A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

6 12 8 3 ? 2 ( )2 ? ? 5 5 5

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ? 0, 即x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x2 y 2 ?1 ? ? 由? a 2 b2 消去y得(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 3 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? y ? ?x ?1 ?
由? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0
a2 ? b2 ? 1
2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x1 x2 ? 2 a ?b a 2 ? b2 ? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 又x1 ? x2 ?
2

整理得

整 理 得 :

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0得 : 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ?

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? 2 ?1 ? 0 a 2 ? b2 a ? b2

a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 代入上式得

2a 2 ? 1 ?

1 1 ? e2

?a2 ?

1 1 (1 ? ) 2 1 ? e2

1 2 ? ?e? 2 2 1 1 1 3 ? ? e2 ? ? ? 1 ? e2 ? 4 2 2 4 4 1 ? ? ?2 3 1 ? e2 7 1 7 3 ? ? 1? ? 3? ? a 2 ? 2 3 1? e 6 2 2 2 适合条件a ? b ? 1
由此得

42 6 ?a? 6 2

?

42 ? 2a ? 6 , 3

故长轴长的最大值为 6 .… 12 分

21 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , D ( x1 , ? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) . (Ⅰ)将 x ? my ? 1 代人 y ? 4 x 并整理得
2

y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,从而
直线 BD 的方程为

y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? 4.

y ? y2 ?

y2 ? y1 ? ( x ? x2 ) , x2 ? x1



y ? y2 ?

y2 4 ? (x ? 2 ) y2 ? y1 4
y1 y2 ? 1. 4
所以点 F (1, 0) 在直线 BD 上。4 分

令 y ? 0, 得x ?

(Ⅱ)由①知 x1 ? x2 ? (my1 ? 1) ? (my2 ? 1) ? 4m 2 ? 2

x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? 1.
因为

uur uur FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) ,
8 ? 4m 2 ? 8 , 解 9

uur uur FA ? FB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m 2 故


m??

4 3 6分

所以 l 的方程为 3 x ? 4 y ? 3 ? 0,3 x ? 4 y ? 3 ? 0 又由①知

y2 ? y1 ? ? (4m) 2 ? 4 ? 4 ? ?

4 7 3

故直线 BD 的斜率

4 3 , ?? y2 ? y1 7

因而直线 BD 的方程为 3 x ? 7 y ? 3 ? 0,3 x ? 7 y ? 3 ? 0. 因为 KF 为 ?BKD 的平分线,故可设圆心 M (t , 0)( ?1 ? t ? 1) , M (t , 0) 到 l 及 BD 的距离分别为

3 t ?1 3 t ?1 . , 5 4


3 t ? 1 3 t ?1 1 得 t ? ,或 t ? 9 (舍去) , ? 5 4 9 3 t ?1 2 ? . 5 3
1 9 4 . 9
12 分

故圆 M 的半径 r ?

所以圆 M 的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?


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