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2.5等比数列前n项和的性质(2)_图文

数 列 等比数列的前n项和的性质 复习回顾 引入新课 1、等比数列前n项和公式: q ?1 , ?na1 ?na1 ? S n ? ? a1 ? a1 q n 或 Sn ? ? a1 ? a n q ? q ? 1。 ? 1-q ? 1-q ? ? q ?1 , q ? 1。 注: a1为首项,n为项数,q为公比 性质1.等比数列前n项和的函数特征 数列{an}前n项和公式 学以 致用 ? 数列{an}是等比数列 n- 1 Sn ? Aq ? A n 1.已知数列{an}的前n项 S n = 3 + 2a 若数列{an}为等比数列,求实数a的值. 性质2.Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …也是等比数 列,(q≠-1),公比为qk q=-1呢? 1、等比数列{an }的前n项和为Sn,若Sm ? 10,S2 m ? 30, 求S3m的值。 解:? S m,S 2m - S m,S3m - S 2m 成等比数列 ? (S 2m - S m ) ? S m ? (S3m - S 2m ) 2 即: (30 - 10) ? 10? (S3m - 30) 2 解得:S3m ? 70 S10 31 2、等比数列{an }的前n项和为Sn,a1 ? ?1, 若 ? , S5 32 S15 求 的值。 S10 S10 31 ? ? 解: S 5 32 ? 设S10 ? 31k , S5 ? 32k (k ? 0) ? S5,S10 - S5,S15 - S10 成等比数列 ?(S10 - S5 ) 2 ? S5 ? (S15 - S10 ) 993 2 k 即: (31k - 32k ) ? 32k ? (S15 - 31k ) 解得: S15 ? 32 S15 993 ? ? S10 992 等比数列前n项和的性质三: 若等比数列?a n ?共有2n项,则: S偶 S奇 ?q 等比数列前n项和的性质四: 如果?an ? 为公比为q的等比数列,对任意m、n ? N ?有: Sm?n ? Sm ? q Sn ? Sn ? q Sm m n 例题讲解 1 3、若等比数列{an }的公比为 ,且a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60, 3 则{an }的前100项和为 80 。 解 : 令X ? a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60 Y ? a 2 ? a 4 ? ? ? a100 则S100 ? X ? Y Y 1 由等比数列前n项和性质知: ? q ? X 3 ? Y ? 20 即:S100 ? X ? Y ? 80 变式训练 4、已知一个等比数列其首项是1,项数是偶数,所有奇 数项和是85,所有偶数项和是170,求此数列的项数? 提示: q? S偶 S奇 170 ? ?2 85 S n ? S 偶 ? S 奇 ? 170 ? 85 ? 255 由等比数列前n项和公式得: 1? 2 255 ? 1-2 n ?n?8 5.各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 30 Sn=2, S3n=14,则 S4n 等于 . (Ⅰ)令n ? 1 ? a1 ? 2 a1 (1 ? q ? q ) ? 14 2 ?q ?q?6? 0 ? q ? 2 2 ? S4 ? a1 (1 ? q ? q ? q ) ? 30. 2 3 2018/5/9 5.各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2, S3n=14,则 S4n 等于 30 . ( Ⅱ)设S2n ? x, 则 2, x ? 2,14 ? x成等比数列 ? x ? 2 x ? 24 ? 0 ? x ? 6 ? 2,4,8,16 2 ? S4n ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 30. 2018/5/9 5.各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 30 Sn=2, S3n=14,则 S4n 等于 . S3 n S( n 1? q ? q ) (Ⅲ) ? ? 1 ? qn ? q2n ? 7 Sn Sn n 2n ?q ?2 3 3n S4n ? S3n ? q Sn ? 14 ? 2 ? 2 ? 30. n 2n 3n 或S4 n ? S( ?q ) n 1? q ? q n 2018/5/9 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ) ? 30 2 3 6、已知等比数列{a n }前n项和为S n,若a 2 a3 ? 2a1, 5 且a 4 与2a 7的等差中项为 ,求S 5。 4 S 5 ? 31 S 3 ? 7,求S 5。 7、已知正项等比数列{a n }前n项和为S n,若a 2 a 4 ? 1 , 31 S5 ? 4 8、已知数列{a n }的前n项和S n 满足:S n ? 4a n ? 2, 求数列{a n }的通项公式。 2 4 n ?1 an ? ? ? ( ) 3 3

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