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必修三:概率-历年真题

必修三:概率-历年真题
一.选择题(共 19 小题) 1.一次抛掷两枚骰子,向上点数之和不小于 10 的概率为( A. B. C. D. )

2.如图圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB= ,若在扇形 AOB 内任取一点,则该点在 圆 C 内的概率为( )

A.

B.

C.

D.

3.甲、乙等 4 人在微信群中每人抢到一个红包,金额为三个 1 元,一个 5 元, 则甲、乙的红包金额不相等的概率为( A. B. C. D. )

4.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单 位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本 数据分组为[96,98) ,[98,100) ,[100,102) ,[102,104) ,[104,106],已 知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是( )

A.90 B.75 C.60 D.45 5.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面朝
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上的概率是( A. B.

) C. D. )

6.如下四个游戏盘,现在投镖,投中阴影部分概率最大的是(

A.

B.

C.

D.

7.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得 红牌”是( A.对立事件 ) B.互斥但不对立事件

C.不可能事件 D.必然事件 8.甲,乙两人随意入住两间空房,则甲乙两人各住一间房的概率是( A. B. C. D.无法确定 )

9. 统计某校 1000 名学生的数学水平测试成绩, 得到样本频率分布直方图如图所 示,若满分为 100 分,规定不低于 60 分为及格,则及格率是( )

A.20% B.25% C.6% D.80% 10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚 才所想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a ﹣b|≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们 “心有灵犀” 的概率为( A. B. ) C. D.

11.在 1,2,3,…,10 这 10 个数字中,任取 3 个不同的数字,那么“这三个数
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字的和大于 5”这一事件是( A.必然事件 C.随机事件 B.不可能事件



D.以上选项均有可能 )

12.把三枚硬币一起抛出,出现 2 枚正面向上,一枚反面向上的概率是( A. B. C. D. )

13.给出如下四对事件:其中属于互斥事件的有( ①某人射击一次,“射中 7 环”与“射中 8 环”;

②甲、乙两人各射击一次,“甲射中 7 环”与“乙射中 8 环”; ③甲、乙两人各射击一次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”; ④甲、乙两人各射击一次,“至少有一人射中目标”与“至多有一人射中目标”. A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 14.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形 图 . 以 下 结 论 不 正 确 的 是 ( )

A.2007 年我国治理二氧化硫排放显现 B.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 C.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 15. 袋中装有白球 3 个, 黑球 4 个, 从中任取 3 个, 下列事件是对立事件的为 ( A.恰好一个白球和全是白球 B.至少有一个白球和全是黑球 C.至少有一个白球和至少有 2 个白球 D.至少有一个白球和至少有一个黑球
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16.从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球,若摸出的球是红球的概率是 0.4, 摸出的球是黑球的概率是 0.25, 那么摸出的球是白球或黑球的概率是 ( A.0.35 B.0.65 C.0.1 D.0.6 17.已知矩形 ABCD,AB=5,BC=7,在矩形 ABCD 中随机取一点 P,则∠APB>90° 出现的概率为( A. B. C. ) D. ) )

18.同时掷两个骰子,“向上的点数之和大于 8”的概率是( A. B. C. D. )

19.掷两颗骰子,事件“点数之和为 6”的概率是( A. B. C. D.

二.填空题(共 14 小题) 20.矩形区域 ABCD 中,AB 长为 2 千米,BC 长为 1 千米,在 A 点和 C 点 处各有一个通信基站,其覆盖范围均为方圆 1 千米,若在该矩形区域内随意选 取一地点,则该地点无信号的概率为 .

21.下面是被严重破坏的频率分布表和频率分布直方图,根据残表和残图,则 p= ,q= 分数段 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] . 频数 p 90 60 20 q

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22.为了了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查, 已知该校高一、高二、高三分别有学生 800 名、600 名、500 名,若高三学生共 抽取 25 名,则高一年级每一位学生被抽到的概率是 .

23.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一 个球,则至少有一个红球的概率为 .

24.假设你家订了一份牛奶,奶哥在早上 6:00﹣﹣﹣7:00 之间随机地把牛奶 送到你家,而你在早上 6:30﹣﹣﹣7:30 之间随机地离家上学,则你在离开家 前能收到牛奶的概率是 .

25.从写上 0,1,2,…,9 十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽两次,则 两张卡片数字各不相同的概率是 .

26.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边为 6 的正方形将其包含在内,并向 正方形内随即投掷 800 个点,已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此,可估计 阴影部分的面积是 .

27.某高校在 2009 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组,得到的频率分布表如图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率 分布直方图;
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(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用 分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生 进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进 行面试,求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率? 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) 合计 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

28.从{ ,

, , }中随机抽取一个数记为 a,从{﹣1,1,﹣2,2}中随机抽


取一个数记为 b,则函数 y=ax+b 的图象经过第三象限的概率是

29.质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6,每次抛掷 这样两个相同的骰子, 规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数,则每次 抛掷时点数被 4 除余 2 的概率是 . .

30.从三男三女 6 名学生中任选 2 名,则 2 名都是女学生的概率等于 31.任取 θ∈[0, ],则“sinθ>0”的概率是
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32.一个容量为 20 的样本数据,分组后组距与频数如下表: 组距 [10, 20) 频数 2 [20, 30) 3 [30, 40) 4 [40, 50) 5 [50, 60) 4 . [60, 70) 2

则样本在区间(﹣∞,50)上的频率为

33. 在区间[0, 3]上任取实数 a, 在区间[0, 2]上任取实数 b, 则使方程 x2+2ax+b2=0 有实数根的概率是 .

三.解答题(共 17 小题) 34.四名选手 A、B、C、D 参加射击、抛球、走独木桥三项比赛,每个选手在 各项比赛中获得合格、不合格机会相等,比赛结束,评委们会根据选手表现给每 位选手评定比赛成绩,根据比赛成绩,对前两名进行奖励. (1)选手 D 至少获得两个合格的概率; (2)选手 C、D 只有一人得到奖励的概率. 35.先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b (Ⅰ)求满足 a2+b2=25 的概率; (Ⅱ)设三条线段的长分别为 a,b 和 5,求这三条线段能围成等腰三角形(含 等边三角形)的概率. 36.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两 个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率. (Ⅲ) 若规定: 两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜 (若数字相同则为平局) , 这样规定公平吗?请说明理由. 37. (1)在长 16cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则 这个正方形的面积介于 25cm2 与 81cm2 之间的概率. (2) 如图所示, 在一个边长为 5cm 的正方形内部画一个边长为 3cm 的小正方形, 现在向大正方形随机投点, 假设所投的点都落在大正方形内,求所投的点落入大 正方形内小正方形外的概率.
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38.某校数学兴趣班将 10 名成员平均分为甲、乙两组进行参赛选拔,在单位时 间内每个同学做竞赛题目若干,其中做对题目的个数如下表: 1号 同学 个数 组别 甲组 乙组 4 5 5 6 7 7 9 8 10 9 2号 3 号[ 4号 5号

(Ⅰ)分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差,并 由此分析这两组的数学水平; (Ⅱ)学校教务部门从该兴趣班的甲、乙两组中各随机抽取 1 名学生,对其进行 考查,若两人做对题目的个数之和超过 12 个,则称该兴趣班为“优秀兴趣班”, 求该兴趣班获“优秀兴趣班”的概率. 39.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回 收物和其他垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投 放情况, 先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾, 数据统计如下 (单 位:吨) ; “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a,b,c,其中 a>0,a+b+c=600.当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,
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b,c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s2 的值. (求:S2= [ 均数) 40.从某企业生产的某中产品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值.由测 量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65) ,[65, 75) ,[75,85]内的频率之比为 4:2:1. (Ⅰ)求这些产品质量指标落在区间[75,85]内的概率; (Ⅱ)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为 6 的样本,将该样 本看成一个总体,从中任意抽取 2 件产品,求这 2 件产品都在区间[45,65)内 的概率. + +…+ ],其中 为数据 x1,x2,…,xn 的平

41.在一次数学测验后,数学老师将某班全体学生(50 人)的数学成绩进行初 步统计后交给其班主任(如表) . 分数 人数 50~60 2 60~70 6 70~80 10 80~90 20 90~100 12

请你帮助这位班主任完成下面的统计分析工作: (1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图及频率分布折线图; (3)从频率分布直方图估计出该班同学成绩的众数、中位数和平均数. 42.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1、2、3、4、5、6) 先后抛两次,将得到的点数分别记为 a,b. (1)求满足条件 a+b≥9 的概率; (2)求直线 ax+by+5=0 与 x2+y2=1 相切的概率
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(3)将 a,b,5 的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形 的概率. 43.在区间[﹣1,1]上任取两个数 a,b,在下列条件时,分别求不等式 x2+2ax+b2 ≥0 恒成立时的概率: (1)当 a,b 均为整数时; (2)当 a,b 均为实数时. 44.某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A,种植了 25 亩,所得亩产数据 (单位:千克)如下: 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400, 401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430. 分组 [360,370) [370,380) [380,390) [390,400) [400,410) [410,420) [420,430] 合计 (1)求这二十五个数据的中位数; (2)以组距为 10 进行分组,完成答题卡上的品种 A 亩产量的频率分布表; (3)完成如图上的品种 A 亩产量的频率分布直方图. 频数 频率

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45.已知二次函数 f(x)=ax2﹣bx+1,A={x|1≤x≤3},B={x|1≤x≤4}.若 a 是 从集合 A 中随机取的一个实数,b 是从集合 B 中随机取的一个实数,求关于 x 的 方程 f(x)=0 一根在区间 , 内,另一根在 , 外的概率.

46.从全校参加期末考试的试卷中,抽取一个样本,考察成绩(均为整数)的分 布,将样本分成 5 组,绘成频率分布直方图,如图所示.图中从左到右各小组的 小矩形的高之比为 2:3:6:4:1,最右边的一组频数是 5. (1)求样本容量; (2)求样本 90.5~105.5 这一组的频数及频率; (3) 如果成绩大于 120 分为优秀, 估计这次考试成绩的优秀率 (用百分数表示, 精确到 1) .

47.某位老师对两个班 100 名同学进行了是否经常做家务的调查,数据如下表: 班别 一班 二班 列总数 经常做家务 20 25 45 不经常做家务 32 23 55 总数 52 48 100

如果随机地问这两个班中的一名学生,下面事件发生的概率是多少? (1)经常做家务; (2)是二班的同学且不经常做家务. 48.某学校 900 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,抽 取其中 50 个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14],第二组 [14, 15) , …, 第五组[17, 18], 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩小于 14 秒认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数; (2)请估计学校 900 名学生中,成绩属于第四组的人数; (3)请根据频率分布直方图,求样本数据的众数和中位数.
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49.某次游园的一项活动中,设置了两个中奖方案: 方案 1:在如图所示的游戏盘内转动一个小球,如果小球静止时停在正方形区域 内则中奖; 方案 2:从一个装有 2 个红球和 3 个白球的袋中无放回地取出 2 个球,当两个球 同色时则中奖. 两个方案中,哪个方案中奖率更高?请说明理由.

50.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整 数)分成六段(即六组)[40,50) ,[50,60) ,…[90,100]后,画出如图部分 频率分布直方图.请根据图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率并在图中将频率直方图补充完整; (2)估计这次考试成绩的中位数和及格率(60 分及以上为及格) ; (3)用分层抽样的方法从成绩在[40,50)和[70,80]的学生中共抽取 4 人,在 抽出的 4 人中任取 2 人,求成绩在[40,50)和[70,80]中各有 1 人的概率.

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必修三:概率-历年真题
参考答案与试题解析

一.选择题(共 19 小题) 1.一次抛掷两枚骰子,向上点数之和不小于 10 的概率为( A. B. C. D. )

【解答】解:一次投掷两枚骰子,基本事件总数 n=6×6=36, 向上点数之和不小于 10,包含的基本事件有: (4,6) , (5,5) , (5,6) , (6,4) , (6,5) , (6,6) , 共有 6 个, ∴一次抛掷两枚骰子,向上点数之和不小于 10 的概率为: p= = .

故选:A.

2.如图圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB= ,若在扇形 AOB 内任取一点,则该点在 圆 C 内的概率为( )

A.

B.

C.

D.

【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,设圆 C 的半径为 r, 试验发生包含的事件对应的是扇形 AOB, 满足条件的事件是圆,其面积为⊙C 的面积=π?r2, 连接 OC,延长交扇形于 P. 由于 CE=r,∠BOP= ,OC=2r,OP=3r,

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则 S 扇形 AOB=

=



∴⊙C 的面积与扇形 OAB 的面积比是 . ∴概率 P= , 故选 C.

3.甲、乙等 4 人在微信群中每人抢到一个红包,金额为三个 1 元,一个 5 元, 则甲、乙的红包金额不相等的概率为( A. B. C. D. )

【解答】解:甲、乙等 4 人在微信群中每人抢到一个红包,金额为三个 1 元,设 为 a,b,c, 一个 5 元,设为 d, 基本事件有(a,b) , (a,c) , (a,d) , (b,a) , (b,c) , (b,d) , (c,a) , (c, b) , (c,d) , (d,a) , (d,b) , (d,c) ,共 12 个, 甲、乙的红包金额不相等包含的基本事件有: (a,d) , (b,d) , (c,d) , (d,a) , (d,b) , (d,c) ,共 6 个, ∴甲、乙的红包金额不相等的概率为 p= 故选:B. .

4.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单 位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本 数据分组为[96,98) ,[98,100) ,[100,102) ,[102,104) ,[104,106],已 知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是( )
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A.90 B.75 C.60 D.45 【解答】解:净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数设为 N2,产品 净 重 小 于 100 克 的 个 数 设 为 , N1=36 , 样 本 容 量 为 N , 则

故选 A.

5.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面朝 上的概率是( A. B. ) C. D.

【解答】解:抛掷一枚质地均匀的硬币,只考虑第 999 次,有两种结果:正面朝 上,反面朝上,每中结果等可能出现,故所求概率为 故选 D

6.如下四个游戏盘,现在投镖,投中阴影部分概率最大的是(



A.

B.

C.

D.

【解答】解:A 游戏盘的投中阴影部分概率为 , B 游戏盘的投中阴影部分概率为 , 设正方形的边长为 r,C 游戏盘的投中阴影部分概率为 ,

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设圆的半径为 r,D 游戏盘的投中阴影部分概率为 ∴A 游戏盘的投中阴影部分概率最大. 故选 A.



7.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得 红牌”是( A.对立事件 ) B.互斥但不对立事件

C.不可能事件 D.必然事件 【解答】解:根据题意,把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人, 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,则两者是互斥事件, 但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”,则两者不是对立 事件, 则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件; 故选 B.

8.甲,乙两人随意入住两间空房,则甲乙两人各住一间房的概率是( A. B. C. D.无法确定



【解答】解:由题意符合古典概型,其概率为 P= 故选 C

9. 统计某校 1000 名学生的数学水平测试成绩, 得到样本频率分布直方图如图所 示,若满分为 100 分,规定不低于 60 分为及格,则及格率是( )

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A.20% B.25% C.6% D.80% 【解答】解:及格的频率为 (0.025+0.035+0.01+0.01)×10=0.8=80% 故选 D

10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚 才所想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a ﹣b|≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们 “心有灵犀” 的概率为( A. B. ) C. D.

【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, ∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏,共有 6×6=36 种猜字结果, 其中满足|a﹣b|≤1 的有如下情形: ①若 a=1,则 b=1,2;②若 a=2,则 b=1,2,3; ③若 a=3,则 b=2,3,4;④若 a=4,则 b=3,4,5; ⑤若 a=5,则 b=4,5,6;⑥若 a=6,则 b=5,6, 总共 16 种, ∴他们“心有灵犀”的概率为 故选 D. .

11.在 1,2,3,…,10 这 10 个数字中,任取 3 个不同的数字,那么“这三个数
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字的和大于 5”这一事件是( A.必然事件 C.随机事件 B.不可能事件



D.以上选项均有可能

【解答】解:从 10 个数字中取 3 个数字,最小为 1+2+3=6, ∴事件“这三个数字的和大于 5”的概率为 1, ∴由必然事件的定义可以得知,该事件是必然事件, 故选:A.

12.把三枚硬币一起抛出,出现 2 枚正面向上,一枚反面向上的概率是( A. B. C. D.



【解答】解:把三枚硬币一起抛出,出现 2 枚正面向上,一枚反面向上的概率: p= 故选:B. = .

13.给出如下四对事件:其中属于互斥事件的有( ①某人射击一次,“射中 7 环”与“射中 8 环”;



②甲、乙两人各射击一次,“甲射中 7 环”与“乙射中 8 环”; ③甲、乙两人各射击一次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”; ④甲、乙两人各射击一次,“至少有一人射中目标”与“至多有一人射中目标”. A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 【解答】解:在①中,某人射击一次,“射中 7 环”与“射中 8 环”不能同时发生, 是互斥事件; 在②中,甲、乙两人各射击一次,“甲射中 7 环”与“乙射中 8 环”能同时发生,不 是互斥事件; 在③中,甲、乙两人各射击一次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”不 能同时发生,是互斥事件; 在④中,甲、乙两人各射击一次,“至少有一人射中目标”与“至多有一人射中目 标”能同时发生,不是互斥事件. 故选:B.
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14.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形 图 . 以 下 结 论 不 正 确 的 是 ( )

A.2007 年我国治理二氧化硫排放显现 B.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 C.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【解答】解:A 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 A 正确; B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多, 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少, 故 B 正确; C 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少, 且减少的最多,故 C 正确; D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少, 而不是与年份正相关, 故 D 错误. 故选:D

15. 袋中装有白球 3 个, 黑球 4 个, 从中任取 3 个, 下列事件是对立事件的为 ( A.恰好一个白球和全是白球 B.至少有一个白球和全是黑球 C.至少有一个白球和至少有 2 个白球 D.至少有一个白球和至少有一个黑球 【解答】解:袋中装有白球 3 个,黑球 4 个,从中任取 3 个, ∵恰好一个白球和全是白球不能同时发生,但能同时不发生,
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∴恰好一个白球和全是白球是互斥但不对立事件,故 A 错误; ∵至少有一个白球和全是黑球不能同时发生,也不能同时不发生, ∴至少有一个白球和全是黑球是对立事件,故 B 正确; ∵至少有一个白球和至少有 2 个白球能同时发生, ∴至少有一个白球和至少有 2 个白球不是互斥事件,故 C 错误; ∵至少有一个白球和至少有一个黑球能同时发生, ∴至少有一个白球和至少有一个黑球不是互斥事件,故 D 错误. 故选:B.

16.从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球,若摸出的球是红球的概率是 0.4, 摸出的球是黑球的概率是 0.25, 那么摸出的球是白球或黑球的概率是 ( A.0.35 B.0.65 C.0.1 D.0.6 【解答】解:摸出的球是白球或黑球与摸出的球是红球是对立互斥事件, ∵摸出的球是红球的概率是 0.4, ∴摸出的球是白球或黑球的概率是 1﹣0.4=0.6. 故选:D. )

17.已知矩形 ABCD,AB=5,BC=7,在矩形 ABCD 中随机取一点 P,则∠APB>90° 出现的概率为( A. B. C. ) D.

【解答】解:由题意,矩形的面积为 5×7=35,满足∠APB>90°的是以 AB 为直 径的半圆部分,面积为 = ,

由几何概型公式得到∠APB>90°出现的概率为: 故选 A.



18.同时掷两个骰子,“向上的点数之和大于 8”的概率是( A. B. C. D.
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【解答】解:每一枚筛子都有 6 种结果,故所有的结果共有 6×6=36 种, 满足向上的点数之和大于 8 的基本事件有: (3,6) 、 (4,5) 、 (4,6) 、 (5,4) 、 (5,5) 、 (5,6) 、 (6,3) 、 (6,4) 、 (6,5) 、 (6,6) ,共计 10 种, 由此求得向上的点数之和大于 8 的概率为 故选:D = .

19.掷两颗骰子,事件“点数之和为 6”的概率是( A. B. C. D.



【解答】解:掷两颗骰子,点数记为(a,b) ,则共有 6×6=36 种不同的等可能 结果 其中点数之和为 6,包含其中的(1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1)共 5 种不同结果 ∴掷两颗骰子,事件“点数之和为 6”的概率是 P= 故选 C

二.填空题(共 14 小题) 20.矩形区域 ABCD 中,AB 长为 2 千米,BC 长为 1 千米,在 A 点和 C 点 处各有一个通信基站,其覆盖范围均为方圆 1 千米,若在该矩形区域内随意选 取一地点,则该地点无信号的概率为 1﹣ .

【解答】解:∵如图,扇形 ADE 的半径为 1,圆心角等于 90°, ∴扇形 ADE 的面积为 S1= ×π×12= , 同理可得,扇形 CBF 的在,面积 S2= , 又∵长方形 ABCD 的面积 S=2×1=2, ∴在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是 P= 故答案为:1﹣ .
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=1﹣ ,

21. 下面是被严重破坏的频率分布表和频率分布直方图, 根据残表和残图, 则 p= 30 ,q= 0.1 分数段 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] . 频数 p 90 60 20 q

【解答】解:由频率分布表得到[70,80)内的频数为 90, 由频率分布直方图得到[70,80)内的频率为 0.45, ∴样本单元数 n= =200.

∴p=200﹣90﹣60﹣20=30. q= =0.1.

故答案为:30,0.1.

22.为了了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查, 已知该校高一、高二、高三分别有学生 800 名、600 名、500 名,若高三学生共
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抽取 25 名,则高一年级每一位学生被抽到的概率是 【解答】解:根据题意和分层抽样的定义知, ∴高三每一位学生被抽到的概率是 高一年级每一位学生被抽到的概率是 故答案为: . .



23.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一 个球,则至少有一个红球的概率为 .

【解答】解:∵甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球, 现从两个箱子中随机各取一个球, 至少有一个红球的对立事件为取到两个白球, ∴至少有一个红球的概率为: p=1﹣ = .

故答案为: .

24.假设你家订了一份牛奶,奶哥在早上 6:00﹣﹣﹣7:00 之间随机地把牛奶 送到你家,而你在早上 6:30﹣﹣﹣7:30 之间随机地离家上学,则你在离开家 前能收到牛奶的概率是 .

【解答】解:设送奶人到达的时间为 x,此人离家的时间为 y, 以横坐标表示奶送到时间,以纵坐标表示此人离家时间, 建立平面直角坐标系(如图) 则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示 ∴所求概率 P=1﹣ 故答案为 . = .

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25.从写上 0,1,2,…,9 十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽两次,则 两张卡片数字各不相同的概率是 .

【解答】解:从写上 0,1,2,…,9 十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽 两次, 基本事件总数 n=10×10=100, 两张卡片数字相同包含的基本事件个数 m=10, ∴两张卡片数字各不相同的概率 p=1﹣ = 故答案为: . .

26.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边为 6 的正方形将其包含在内,并向 正方形内随即投掷 800 个点,已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此,可估计 阴影部分的面积是 9 .

【解答】解:本题中向正方形内随机投掷 800 个点,相当于 800 个点均匀分布在 正方形内, 而有 200 个点落在阴影部分,可知阴影部分的面= 故答案为:9. .

27.某高校在 2009 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,
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按成绩分组,得到的频率分布表如图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率 分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用 分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生 进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进 行面试,求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率? 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) 合计 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

【解答】解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35×100=35 人, 第 3 组的频率为 =0.300,频率分布直方图如图所示;

(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为:

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第 3 组: 第 5 组:

×6=3 人;第 4 组: ×6=1 人.

×6=2 人;

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人. (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1、A2、A3, 第 4 组的 2 位同学为 B1、B2,第 5 组的 1 位同学为 C, 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能,具体如下: A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3, A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C; 其中第 4 组的 2 位同学 B1,B2 至少有一位同学入选的有: A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,B1C,B2C 共 9 种可能; 所以其中第 4 组的 2 位同学 B1、B2 至少有一位同学入选的概率为 P= = .

28.从{ ,

, , }中随机抽取一个数记为 a,从{﹣1,1,﹣2,2}中随机抽


取一个数记为 b,则函数 y=ax+b 的图象经过第三象限的概率是 【解答】解:根据题意,从集合{ , 种情况.

, , }中随机抽取一个数记为 a,有 4

从{﹣1,1,﹣2,2}中随机抽取一个数记为 b,有 4 种情况,则 f(x)=ax+b 的
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情况有 4×4=16. 函数 f(x)=ax+b 的图象经过第三象限,有①当 a=3、b=﹣1 时,②当 a=3、b=﹣ 2 时,③当 a=2、b=﹣1 时, ④当 a=2、b=﹣2 时,⑤当 a= ,b=﹣2 时,⑥当 a= ,b=﹣2 时,共 6 种情况, 则函数的图象经过第三象限的概率为 故答案为 . = ,

29.质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6,每次抛掷 这样两个相同的骰子, 规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数,则每次 抛掷时点数被 4 除余 2 的概率是 .

【解答】解:质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6, 每次抛掷这样两个相同的骰子, 规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数, 基本事件总数 n=6×6=36, 每次抛掷时点数被 4 除余 2 包含的基本事件有: (1 ,1 ) , (1 ,5 ) , (5, 1 ) , (2 ,4) , ( 4 ,2 ) , (3 ,3 ) , (4 ,6 ) , (6, 4 ) , (5, 5) , 共 9 个, ∴每次抛掷时点数被 4 除余 2 的概率是 p= 故答案为: . .

30.从三男三女 6 名学生中任选 2 名,则 2 名都是女学生的概率等于 【解答】解:从三男三女 6 名学生中任选 2 名学生有 C62=15 种选法; 其中选出的 2 名都是女同学的有 C32=3 种选法, ∴2 名都是女同学的概率为 故答案为: .
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= .

31.任取 θ∈[0,

],则“sinθ>0”的概率是 ],区间长度为 ;



【解答】解:θ∈[0,

sinθ>0,对应的区间长度为 π, 根据几何概型计算公式可得“sinθ>0”的概率是 故答案为: . = .

32.一个容量为 20 的样本数据,分组后组距与频数如下表: 组距 [10, 20) 频数 2 [20, 30) 3 [30, 40) 4 [40, 50) 5 [50, 60) 4 0.7 . [60, 70) 2

则样本在区间(﹣∞,50)上的频率为

【解答】解:∵(﹣∞,50)包括四部分的数据, ∴在这四部分上数据的频数是 2+3+4+5=14 ∵容量为 20 的样本数据 ∴样本在区间(﹣∞,50)上的频率为 故答案为:0.7

33. 在区间[0, 3]上任取实数 a, 在区间[0, 2]上任取实数 b, 则使方程 x2+2ax+b2=0 有实数根的概率是 .

【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, ∵试验发生包含的事件是在区间[0,3]和[0,2]上任取两个数 a 和 b, 事件对应的集合是 Ω={(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 对应的面积是 sΩ=6. 满足条件的事件是关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0 有实数根, 即 4a2﹣4b2≥0, ∴a≥b, 事件对应的集合是 A={(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}
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对应的图形的面积是 sA=4 ∴根据等可能事件的概率得到 P= = , 故答案为:

三.解答题(共 17 小题) 34.四名选手 A、B、C、D 参加射击、抛球、走独木桥三项比赛,每个选手在 各项比赛中获得合格、不合格机会相等,比赛结束,评委们会根据选手表现给每 位选手评定比赛成绩,根据比赛成绩,对前两名进行奖励. (1)选手 D 至少获得两个合格的概率; (2)选手 C、D 只有一人得到奖励的概率. 【解答】解: (1)∵四名选手 A、B、C、D 参加射击、抛球、走独木桥三项比 赛, 每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等, ∴选手 D 至少获得两个合格的概率: p= = .

(2)所有获得奖励的可能结果有: (AB) , (AC) , (AD) , (BC) , (BD) , (CD) ,共 6 种, 选手 C、D 只有一人得到奖励包含的情况有: (AC) , (AD) , (BC) , (BD) ,有 4 种, ∴选手 C、D 只有一人得到奖励的概率 p= .

35.先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b (Ⅰ)求满足 a2+b2=25 的概率; (Ⅱ)设三条线段的长分别为 a,b 和 5,求这三条线段能围成等腰三角形(含 等边三角形)的概率. 【解答】解: (Ⅰ)∵a,b∈{1,2,3,4,5,6}, ∴基本事件总数 n=6×6=36, 满足条件 a2+b2=25 的情况只有 a=3,b=4,或 a=4,b=3 两种情况. …(4 分)
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∴满足 a2+b2=25 的概率为 p1=

. …(5 分)

(Ⅱ)∵三角形的一边长为 5,三条线段围成等腰三角形, ∴当 a=1 时,b=5,共 1 个基本事件; 当 a=2 时,b=5,共 1 个基本事件; 当 a=3 时,b∈{3,5},共 2 个基本事件; 当 a=4 时,b∈{4,5},共 2 个基本事件; 当 a=5 时,b∈{1,2,3,4,5,6},共 6 个基本事件; 当 a=6 时,b∈{5,6},共 2 个基本事件; ∴满足条件的基本事件共有 1+1+2+2+6+2=14 个.…(11 分) ∴三条线段能围成等腰三角形的概率为 p2= = .…(12 分)

36.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两 个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率. (Ⅲ) 若规定: 两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜 (若数字相同则为平局) , 这样规定公平吗?请说明理由. 【解答】解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x、y, 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种, 即(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) . (Ⅰ)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则 A={(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4)}. 事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 答:取出的两个球上的标号为相同数字的概率为 . (Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3) , (3,1) , (2,3) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,3)}. 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率
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答:取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率为 (Ⅲ)设“甲获胜”为事件 C,



则 C={(2,1) , (3,1) , (3,2) , (4,1) , (4,2) , (4,3)}, 故甲获胜的概率 ,

因为甲获胜的概率是 ,乙获胜的概率也是 ,所以这样规定公平.

37. (1)在长 16cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则 这个正方形的面积介于 25cm2 与 81cm2 之间的概率. (2) 如图所示, 在一个边长为 5cm 的正方形内部画一个边长为 3cm 的小正方形, 现在向大正方形随机投点, 假设所投的点都落在大正方形内,求所投的点落入大 正方形内小正方形外的概率.

【解答】解: (1)由题意可知,以线段 AM 为边长的正方形面积要介于 25cm2 与 81cm2 之间, 即要求 AM 介于 5cm 与 9cm 之间, 记“以线段 AM 为边长的正方形面积介于 25cm2 与 81cm2 之间”为事件 A, 则由几何概型的求概率的公式得 P(A)= (2)记“所投的点落入大正方形内小正方形外”为事件 A, 则“所投的点落入小正方形内”为事件 A 的对立事件 , 所以 .

38.某校数学兴趣班将 10 名成员平均分为甲、乙两组进行参赛选拔,在单位时 间内每个同学做竞赛题目若干,其中做对题目的个数如下表: 1号 2号 3 号[ 4号 5号

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同学 个数 组别 甲组 乙组 4 5 5 6 7 7 9 8 10 9

(Ⅰ)分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差,并 由此分析这两组的数学水平; (Ⅱ)学校教务部门从该兴趣班的甲、乙两组中各随机抽取 1 名学生,对其进行 考查,若两人做对题目的个数之和超过 12 个,则称该兴趣班为“优秀兴趣班”, 求该兴趣班获“优秀兴趣班”的概率. 【解答】解: (I)依题中的数据可得:



甲 乙





















∴两组学生的总体水平相同,甲组中学生的数学水平差异比乙组大. (II)设事件 A 表示:该兴趣班获“优秀”, 则从甲、乙两组中各抽取 1 名学生做对题目个数的基本事件为: (4,5) , (4,6) , (4,7) , (4,8) , (4,9) (5,5) , (5,6) , (5,7) , (5,8) , (5,9) (7,5) , (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) (9,5) , (9,6) , (9,7) , (9,8) , (9,9) (10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 25 种, 事件 A 包含的基本事件为: (4,9) (5,8) , (5,9) (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) (9,5) , (9,6) , (9,7) , (9,8) , (9,9)
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(10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 17 种, ∴ . .

答:即该兴趣班获“优秀”的概率为

39.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回 收物和其他垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投 放情况, 先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾, 数据统计如下 (单 位:吨) ; “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a,b,c,其中 a>0,a+b+c=600.当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a, b,c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s2 的值. (求:S2= [ 均数) 【解答】解: (1)由题意可知:厨余垃圾 600 吨,投放到“厨余垃圾”箱 400 吨, 故厨余垃圾投放正确的概率为 ; + +…+ ],其中 为数据 x1,x2,…,xn 的平

(2)由题意可知:生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错 误的概率为 ;

(3)由题意可知:∵a+b+c=600,∴a,b,c 的平均数为 200 ∴ = ,

∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2,因此有当 a=600,b=0,c=0 时, 有 s2=80000.
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40.从某企业生产的某中产品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值.由测 量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65) ,[65, 75) ,[75,85]内的频率之比为 4:2:1. (Ⅰ)求这些产品质量指标落在区间[75,85]内的概率; (Ⅱ)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为 6 的样本,将该样 本看成一个总体,从中任意抽取 2 件产品,求这 2 件产品都在区间[45,65)内 的概率.

【解答】解: (I)由题意,质量指标值落在区间[55,65) ,[65,75) ,[75,85] 内的频率之和为 1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35, ∵质量指标值落在区间[55,65) ,[65,75) ,[75,85]内的频率之比为 4:2:1, ∴这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为 0.35× =0.05, (Ⅱ)由频率分布直方图得:这些产品质量指标值落在区间[55,65)内的频率 为 0.35× =0.2, 这些产品质量指标值落在区间[65,75)内的频率为 0.35× =0.1, 这些产品质量指标值落在区间[45,55)内的频率为 0.03×10=0.30, 所以这些产品质量指标值落在区间[45,65)内的频率为 0.3+0.2=0.5, ∵ =

∴从[45,65)的产品数中抽取 6× =5 件,记为 A,B,C,D,E,从[65,75) 的产品数中抽取 6× =1 件,记为 a, 从中任取两件,所有可能的取法有: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,a) , ( B, C) , ( B, D ) , (B,E) , ( B, a ) , ( C ,D ) , ( D ( C , E) , ( C , a) , (D,E) ,
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(D,a) , (E,a) ,共 15 种, 这 2 件产品都在区间[45,65)内的取法有 10 种, ∴从中任意抽取 2 件产品,求这 2 件产品都在区间[45,65)内的概率 = .

41.在一次数学测验后,数学老师将某班全体学生(50 人)的数学成绩进行初 步统计后交给其班主任(如表) . 分数 人数 50~60 2 60~70 6 70~80 10 80~90 20 90~100 12

请你帮助这位班主任完成下面的统计分析工作: (1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图及频率分布折线图; (3)从频率分布直方图估计出该班同学成绩的众数、中位数和平均数. 【解答】解: (1)计算对应的频率,列出频率分布表,如下;…(2 分) 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合 计 频数 2 6 10 20 12 50 频率 0.04 0.12 0.20 0.40 0.24 1.00

(2) 根据频率分布表, 画出频率分布直方图及频率分布折线图, 如下; … (6 分)

(3)根据频率分布直方图知,最高的一组数据[80,90) , 所以众数为: =85;

又 0.04+0.12+0.20=0.36<0.5, 0.36+0.4=0.76>0.5, 所以中位数在[80,90)内,设为 x, 则 0.36+(x﹣80)×0.040=0.5, 解得 x=83.5,
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即中位数为 83.5; 平均数为 55×0.04+65×0.12+75×0.20+85×0.40+95×0.24=81.8.…(12 分)

42.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1、2、3、4、5、6) 先后抛两次,将得到的点数分别记为 a,b. (1)求满足条件 a+b≥9 的概率; (2)求直线 ax+by+5=0 与 x2+y2=1 相切的概率 (3)将 a,b,5 的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形 的概率. 【解答】解: (Ⅰ) 先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,

事件总数为 6×6=36. 满足条件 a+b≥9 的基本事件有 10 种: 3+6,4+5,4+6,5+4,5+5,5+6,6+3,6+4,6+5,6+6,…(2 分) ∴满足条件 a+b≥9 的概率是 p1= = .…(4 分)

(Ⅱ)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b, 事件总数为 6×6=36. ∵直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切, ∴ ,即:a2+b2=25,…(6 分)

由于 a,b∈{1,2,3,4,5,6},∴满足条件的情况只有 a=3,b=4 或 a=4,b=3 两种情况.
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∴直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切的概率是

.…(8 分)

(Ⅲ)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b, 事件总数为 6×6=36,∵三角形的一边长为 5, 当 a=1 时,b=5, (1,5,5) ,1 种 当 a 时,b=5, (2,5,5) ,1 种 当 a=3 时,b=3 或 5, (2,3,5) (3,5,5) ,2 种,…(11 分) 当 a=4 时,b=4 或 5, (4,4,5) (4,5,5) ,2 种, 当 a=5 时,b=1,2,3,4,5,6, (5,1,5) (5,2,5) , (5,3,5) , (5,4, 5) , (5,5,5) , (5,6,5) ,6 种, 当 a=6 时,b=5,6, (6,5,5) (6,6,5) ,2 种 故满足条件的不同情况共有 14 种. ∴三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为 p3= . … (14 分)

43.在区间[﹣1,1]上任取两个数 a,b,在下列条件时,分别求不等式 x2+2ax+b2 ≥0 恒成立时的概率: (1)当 a,b 均为整数时; (2)当 a,b 均为实数时. 【解答】解:设事件 A 为“x2+2ax+b2≥0 恒成立”. x2+2ax+b2≥0 恒成立的充要条件为 4a2﹣4b2≤0,即 a2≤b2. (1)基本事件共 9 个: (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (0,﹣1) , (0,0) , (0,1) , (1,﹣1) , (1,0) , (1,1) .其中第一个数表示 a 的取值,第二个数 表示 b 的取值. 事件 A 中包含 7 个基本事件: (﹣1,﹣1) , (﹣1,1) , (0,﹣1) , (0,0) , (0, 1) , (1,﹣1) , ( (1,1) . 事件 A 发生的概率为 P(A)= ; (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1}. 构成事件 A 的区域为{(a,b)|﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1,a2≤b2}. 如图
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∴当 a,b 均为实数时,不等式 x2+2ax+b2≥0 恒成立的概率为 .

44.某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A,种植了 25 亩,所得亩产数据 (单位:千克)如下: 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400, 401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430. 分组 [360,370) [370,380) [380,390) [390,400) [400,410) [410,420) [420,430] 合计 (1)求这二十五个数据的中位数; (2)以组距为 10 进行分组,完成答题卡上的品种 A 亩产量的频率分布表; (3)完成如图上的品种 A 亩产量的频率分布直方图. 频数 频率

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【解答】解: (1)这二十五个数据的中位数是 397. (2)品种 A 亩产量的频率分布表如下: 分组 [360,370) [370,380) [380,390) [390,400) [400,410) [410,420) [420,430) 合计 频数 1 2 3 7 6 4 2 25 频率 0.04 0.08 0.12 0.28 0.24 0.16 0.08 1.00

(3)品种 A 亩产量的频率分布直方图如下:



45.已知二次函数 f(x)=ax2﹣bx+1,A={x|1≤x≤3},B={x|1≤x≤4}.若 a 是 从集合 A 中随机取的一个实数,b 是从集合 B 中随机取的一个实数,求关于 x 的
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方程 f(x)=0 一根在区间 ,

内,另一根在 ,

外的概率. 内,另一根

【解答】解:设事件 A 为“关于 x 的方程 f(x)=0 一根在区间 , 在 , 外”.…1 分

试验的全部结果所构成的区域为 Ω={(a,b)|1≤a≤3,1≤b≤4}.…2 分 ∵f(0)=1>0…3 分∴若满足事件 A,须 即

< …6 分
…7 分 …8 分

< 即 a﹣2b+4<0

∴构成事件 A 的区域为 表示的区域如图所示的阴影部分



其中 A(1,1) ,B)3,1) ,C(3,4) ,D(1,4) ,E(3,3.5) ,F(1,2.5) , 阴影部分的面积为 S= 区域 Ω 的面积为 2×3=6 ∴事件 A 的概率为 ∴关于 x 的方程 ( f x) =0 一根在区间 , 分 =2 …9 分 …10 分 …11 分 内, 另一根在 , 外的概率为 . …12

46.从全校参加期末考试的试卷中,抽取一个样本,考察成绩(均为整数)的分 布,将样本分成 5 组,绘成频率分布直方图,如图所示.图中从左到右各小组的
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小矩形的高之比为 2:3:6:4:1,最右边的一组频数是 5. (1)求样本容量; (2)求样本 90.5~105.5 这一组的频数及频率; (3) 如果成绩大于 120 分为优秀, 估计这次考试成绩的优秀率 (用百分数表示, 精确到 1) .

【解答】解: (1)解: (1)小矩形的高之比为频率之比, 所以从左到右的频率之比为 2:3:6:4:1. ∴最右边的一级所占的频率为 又∵最右边的一组频数是 5, ∴样本容量为: =80;…(3 分) , = ,

(2)90.5~105.5 这一组的频率为: 故:90.5~105.5 这一组的频数为:80× (3)样本的优秀率为:

=

=15,…(8 分)

×100%≈31%,

估计这次考试成绩的优秀率为 31%.…(10 分)

47.某位老师对两个班 100 名同学进行了是否经常做家务的调查,数据如下表: 班别 一班 二班 列总数 经常做家务 20 25 45 不经常做家务 32 23 55 总数 52 48 100

如果随机地问这两个班中的一名学生,下面事件发生的概率是多少? (1)经常做家务;
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(2)是二班的同学且不经常做家务. 【解答】解: (1)这是一个古典概型,因为试验的可能结果是有限的,而且等可 能性的:100 名同学,随机抽到任何一个同学都有相同的可能性,即基本事件总 数为 100; 记“抽到经常做家务的学生”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件数为 45; 根据古典概型的概率计算公式可得 P(A)= (2)与(1)相同,随机抽到两个班中任何一名同学都是等可能性的,基本事件 总数为 100; 记“抽到的同学是二班的同学且不经常做家务”为事件 B,则事件 B 包含的基本事 件数为 23; 根据古典概型的概率计算公式可得 P(B)=

48.某学校 900 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,抽 取其中 50 个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14],第二组 [14, 15) , …, 第五组[17, 18], 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩小于 14 秒认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数; (2)请估计学校 900 名学生中,成绩属于第四组的人数; (3)请根据频率分布直方图,求样本数据的众数和中位数.

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【解答】解: (1)样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=1×0.06×50=3(人)… (2 分) (2)学校 900 名学生中,成绩属于第四组的人数 1×0.32×900=288(人)…(2 分) (3)由图可知众数落在第三组[15,16) ,是 …(5 分)

因为数据落在第一、二组的频率=1×0.06+1×0.16=0.22<0.5 数据落在第一、二、三组的频率=1×0.06+1×0.16+1×0.38=0.6>0.5…(6 分) 所以中位数一定落在第三组[15,16)中.…(7 分) 假设中位数是 x,所以 1×0.06+1×0.16+(x﹣15)×0.38=0.5…(9 分) 解得中位数 …(10 分)

49.某次游园的一项活动中,设置了两个中奖方案: 方案 1:在如图所示的游戏盘内转动一个小球,如果小球静止时停在正方形区域 内则中奖; 方案 2:从一个装有 2 个红球和 3 个白球的袋中无放回地取出 2 个球,当两个球 同色时则中奖. 两个方案中,哪个方案中奖率更高?请说明理由.

【解答】解: ( 1 )设正方形边长为 2 ,则圆半径为

,中奖概率为

正方形 圆

. (2)从袋中 5 个球中摸出 2 个,试验的结果共有 4+3+2+1=10(种) , 中奖的情况分为两种: (i)2 个球都是红色,包含的基本事件数为 1; (ii)2 个球都是白色,包含的基本事件数为 2+1=3.
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所以,中奖这个事件包含的基本事件数为 1+3=4. 因此,中奖概率为 .

由于 > ,所以方案 1 的中奖率更高.

50.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整 数)分成六段(即六组)[40,50) ,[50,60) ,…[90,100]后,画出如图部分 频率分布直方图.请根据图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率并在图中将频率直方图补充完整; (2)估计这次考试成绩的中位数和及格率(60 分及以上为及格) ; (3)用分层抽样的方法从成绩在[40,50)和[70,80]的学生中共抽取 4 人,在 抽出的 4 人中任取 2 人,求成绩在[40,50)和[70,80]中各有 1 人的概率.

【解答】解: ( 1 ) 由 频 率 分 布 的 直 方 图 可 得 , 第 四 小 组 的 频 率 为 1 ﹣ 10 (0.01+0.015+0.015+0.025+0.05)=0.3. 故第四个小矩形的高为 =0.03.如图所示:

(2)由于这次考试的及格的频率为 10×(0.015+0.03+0.025+0.005)=0.75,故
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及格率为 0.75. 由前三组累积频率 0.4,前四组累积频率 0.7,故中位数在第四组, 设中位数为 70+x.则 解得 x= 故中位数估计为: (3)由频率分步直方图可得,成绩是 40~50 分的有 60×0.1=6 人,70~80 分的 学生有 60×0.3=18 人, 从成绩在[40,50)和[70,80]的学生中共抽取 4 人,则在[40,50)和[70,80] 分别抽取 1 人,3 人, 从中任取 2 人,共有 6 种情况, 其中成绩在[40,50)和[70,80]中各有 1 人有 3 种情况, 故成绩在[40,50)和[70,80]中各有 1 人的概率 P= = ,

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