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高中数学必修4第一章第三章知识点经典题型


第三章三角恒等变换
★ 1 、角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

★2、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. ★3、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ ⑶

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

;⑵ ;⑷

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

; ;





★4、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
2 2 2 ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? )
2 2 2 2 ⑵ cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ?1 ? 1 ? 2sin ?

?升幂公式 ?降幂公式
tan 2? ?
★ 5.

1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?
2

cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 2 , .

2 tan ? 1 ? tan 2 ?
把 两 个 三 角 函 数 的 和 或 差 化 为 “ 一 个 三 角 函 数 ”

a cos ? ? b sin ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ),tan ? ?

b . a

例题: 1.sin105° cos105° 的值为( 1 A.4 3 C. 4 ) 1 B.-4 3 D.- 4 )

1 π π 2.若 sin2α=4,4<α<2,则 cosα-sinα 的值是( 3 A. 2 3 C.4 3.sin15° sin30° sin75° 的值等于( 1 A.4 1 C.8 4.在△ABC 中,∠A=15° ,则 A. 2 3 C. 2 3 B.- 2 3 D.-4 ) 3 B. 4 3 D. 8

3sinA-cos(B+C)的值为( 2 B. 2 D. 2 )

)

1 1 5.已知 tanθ=3,则 cos2θ+2sin2θ 等于( 6 A.-5 4 C.5 答案 D 4 B.-5 6 D.5

6.在△ABC 中,已知 sinAcosA=sinBcosB,则△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形

)

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7. sin 2 A.C.
1 2

?
12

? cos 2

?
12

的值





B. D .-

1 2

3 2

3 2

8.三角形 ABC 中,若∠C>90° ,则 tanA· tanB 与 1 的大小关系为( A.tanA· tanB>1 C.tanA· tanB=1 B. tanA· tanB<1 D.不能确定 )

)

9.函数 f(x)=sin2x-cos2x 的最小正周期是( A.
? 2

B.π D .4π 1 1 1 原式=2sin210° =-2sin30° =-4.

C.2π

1. 解析 答案 B 2. 解析

1 3 (cosα-sinα)2=1-sin2α=1-4=4.

π π 又4<α<2, ∴cosα<sinα,cosα-sinα=- 答案 B 3.解析 sin15° sin30° sin75° = sin15° sin30° sin(90° -75° ) =sin15° cos15° sin30° 1 1 1 1 1 =2sin30° sin30° =2×2×2=8. 答案 C 3 3 =- 4 2.

4. 解析

在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=π,

3sinA-cos(B+C) = 3sinA+cosA 3 1 =2( 2 sinA+2cosA) =2cos(60° -A)=2cos45° = 2. 答案 A 5. 解析 6. 解析 答案 D 7. 解析 答案 D 8. 解析 在三角形 ABC 中,∵∠C>90° ,∴∠A,∠B 分别都为锐角.
(cos 2 原式= ?

cos2θ+sinθcosθ 1+tanθ 6 原式= = = . cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 5 π ∵sin2A=sin2B,∴∠A=∠B,或∠A+∠B=2.

?
12

- sin 2

?
12

) =-cos

? 3 =6 2

则有 tanA>0,tanB>0,tanC<0. 又∵∠C=π-(∠A+∠B), tanA+tanB ∴tanC=-tan(A+B)=- <0, 1-tanA· tanB 易知 1-tanA· tanB>0, 即 tanA· tanB<1. 答案 B 9.解析 答案 B f(x)=sin2x-cos2x= 2 sin(2x- )
? 4


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