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5.6.1正弦函数的图像和性质_图文

第5章 三角函数
5.6.1 正弦函数的图像和性质

创设情景

兴趣导入

观察钟表,如果当前的时 间是2点,那么时针走过12

个小时后,显示的时间是
多少呢?再经过12个小时 后,显示的时间是多少呢?

观察

每间隔12小时,当前时间2点重复出现.
类似这样的周期现象还有哪些?

动脑思考

探索新知



对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,
当x取定义域D内的每一个值时,都有x+T∈D, 并且等式f(x+T)=f(x)成立,那么,函数y=f(x)叫 做周期函数,常数T叫做这个函数的一个周期.

角 函 数

正弦函数y=sinx是否是周期函数?

动脑思考

探索新知

sin(? ? 2kπ)=sin? (k ? Z), 对于正弦函数有:

正弦函数是周期函数. 周期有:2 π, 4π, 6π, … 和 -2π, -4π,-6π, … 周期中最小的正数叫做最小正周期 今后研究的函数的周期,都是指最小正周期.

正弦函数的周期是2 π.

动脑思考

探索新知

用“描点法”作函数 y ? sin x 在 ?0,2?? 上的图像
1.列表 2.描点

演示

3.联结各点

x

0

?
6
0.5

?
3
0.87

?
2
1

2? 3
0.87

5? 6
0.5

?
0

7? 6
- 0.5

4? 3
- 0.87

3? 2
-1

5? 3
- 0.87

11? 6
- 0.5

2?
0

y=sinx

0

计算器

动脑思考

探索新知

用“描点法”作函数 y ? sin x 在 ?0,2?? 上的图像

向左或向右平移2π,4π,…

演示

y ? sin x, x ? R 的图像——正弦曲线.

动脑思考

探索新知



对任意的角 x ,都有 sin x ? 1 成立, 函数的这种性质叫做有界性.
y 1
y ? sin x, x ? R

角 函 数
-3π - 2π -π

O -1

π







x

正弦函数是R内的有界函数.

动脑思考

探索新知

三-3π

y 1

y ? sin x, x ? R

- 2π -π

O -1

π







x

角 函 数

定义域是实数集R
值域是[-1,1]
当x?

奇函数 具有单调性 周期函数

? 当 x ? ? ? 2k ?(k ? Z) 时, y min ? ?1 . ? ? ? 在 (? ? 2k ?, ? 2k ?? ( k ? Z )内是增函数; 2 2 ? 3? 在 ( ? 2k ?, ? 2k ?? ( k ? Z )内是减函数. 2 2 2π 周期为

图像关于原点对称

? ? 2k ?(k ? Z) 时, y max ? 1 ; 2

动脑思考
y
1 O -1
π 2

探索新知

最高点

y ? sin x, x ? ? 0, 2π ? 终点

中点

π

3π 2



x

起点 最低点 五个关键点: 五点法

?π ? 3π ? ? π ,0 , ,1 , ? ? (0, 0), ? , ? 1 , ? ? ? ?2 ? ? 2 ?

? 2π,0 ?.

巩固知识 典型例题



例 1 利用“五点法”作函数 y ? 1 ? sin x 在 ?0,2π? 上的图像

角 函 数

x
sin x
y ? 1 ? sin x

0
0 1
y 2 1? O

π 2
1 2

π
0 1

3π 2
-1 0


0 1

?

y ? 1 ? sin x, x ? ? 0, 2π ?

?
π 2

?
3π 2

π

?

2π x

巩固知识 典型例题



例 2 已知 sin x ? a ? 4 , 求 a 的取值范围.

角 函 数

解 因为∣sinx∣≤1, 所以∣a-4∣≤1, 即 解得 1≤a-4≤1 ≤a≤ .

故a的取值范围是



巩固知识 典型例题



例3 求使函数y=sin2x取得最大值的x的集合, 并指出最大值是多少.

角 函 数

解 设 u ? 2 x ,则使函数 y ? sin u 取得最大值 1 的集合是
? π ? u u ? ? 2 k π , k ? Z ? ?, 2 ? ?

由 得

2x ? u ?

π ? 2kπ , 2

变量替换

x?

π ? kπ . 4

? π ? 故所求集合为 ? x x ? ? kπ, k ? Z ? , 4 ? ?

函数 y ? sin 2 x 的最大值是1 .

应用知识 强化练习



练习5.6.1
1.利用“五点法”作函数 y ? ? sin x 在 ?0, 2π? 上的图像. 2.利用“五点法”作函数 y ? 2 sin x 在 ?0, 2π? 上的图像. 3.已知 sin ? ? 3 ? a , 求 a 的取值范围. 4.求使函数 y ? sin 4 x 取得最大值的 x 的集合,并指 出最大值是多少?

角 函 数

计算器

归纳小结 自我反思



角 函 数
本次课学习 哪些内容?

你会解决 哪些新问题?

体会到哪些 学习方法?

布置作业 继续探究



角 函 数

阅读

书面

实践

教材章节5.6

学习与训练5.6

了解其它作图方法

再 见


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