当前位置:首页 >> 数学 >>

数列中不定方程问题的几种解题策略


数列中不定方程问题的几种解题策略
王海东 (江苏省丹阳市第五中学,212300) 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考 中占有极其重要的地位. 数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个 新的热点,在近年来的高考模拟卷中,这类问题屡见不鲜,本文中的 例题也都是近年来大市模考题的改编. 本文试图对与数列有关的不定 方程的整数解问题的解法作初步的探讨, 以期给同学们的学习带来帮 助。 题型一:二元不定方程 双变量的不定方程,在高中阶段主要是 求出此类不定方程的整数解, 方法较灵活, 下面介绍 3 种常用的方法。 方法 1. 因式分解法:先将不定方程两边的数分解为质因数的乘 积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解。 题 1(2014·浙江卷)已知等差数列 ?an ? 的公差 d>0.设 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , S 2 ? S3 ? 36 . (1)求 d 及 Sn; (2)求 m,k(m,k∈N*) 的值,使得 am ? am?1 ? am?2 ? ... ? am?k ? 65 . 解析(1)略 (2)由(1)得 an ? 2n ? 1, S n ? n 2 (n∈N*)

?2m ? 1 ? 2m ? 2k ? 1? ? (2m ? k ? 1)(k ? 1) (k ? 1) am ? am?1 ? am?2 ? ...? am?k ? 2
所以 (2m ? k ? 1)(k ? 1) ? 65 ,由 m,k∈N*知 2m ? k ? 1 ? k ? 1 ? 1
?2m ? k ? 1 ? 13 ?m ? 5 65 ? 13 ? 5 ? 1 ? 65 ,故 ? 所以 ? ?k ? 4 ?k ? 1 ? 5

点评 本题中将不定方程变形为 ?2m ? k ? 1? ? ?k ? 1? ? 5 ?13 ,因为分解方式

是唯一的,所以可以得到关于 m, k 的二元一次方程组求解。 方法 2. 利用整除性质 在二元不定方程中,当其中一个变量很好分

离时,可分离变量后利用整除性质解决. 题 2.设数列 {bn } 的通项公式为 得 b1,b2,bm
bn ? 2n ? 1 ,问:是否存在正整数 t,使 2n ? 1 ? t

(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出

t 和 m 的值;若不

存在,请说明理由. 解析:要使得 b1, b2 , bm 成等差数列,则 2b2 ? b1 ? bm 即: 2
3 1 2m ? 1 ? ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t

即: m ? 3 ?

4 t ?1

∵ m, t ? N ? ,∴ t 只能取 2,3,5 当 t ? 5 时, m ? 4 .

当 t ? 2 时, m ? 7 ;当 t ? 3 时, m ? 5 ;

点评 本题利用 t 表示 m 从而由 m ? 3 ?

4 4 得到 是整数, 于是 t ? 1 是 t ?1 t ?1

4 的约数,从而估计出可能的所有取值,再逐一检验即可,当然,本 题也可以利用 m 表示 t 来处理. 方法 3.不等式估计法: 利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范 围或等式一边的范围,再分别求解。如转化为 f ?m? ? g ?n? 型,利用 g ?n? 的上界或下界来估计 f ?m ? 的范围,通过解不等式得出 m 的范围,再一 一验证即可。 题 3 :已知 bn ?
n , 试问是否存在正整数 p, q ( 其中 1 ? p ? q ) ,使 3n

b1 , b p , bq 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不

存在,说明理由.
p 1 ? ? 解析:假设存在正整数数组(p,q),使成等比数列,则 2 p 3 3 q 3q



p ? 2 时,

2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p p ?1 3 3 3 3

}(

p ? 2 )为递减数列,

2p 1 q 1 2p ? ? q ? ,且数列{ p }( p ? 2 )为递减数列, p 3 3 3 3 3 p 4 1 2p 当 p ? 2 时, 2 p ? ? 成立;当 p ? 3 时, p ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 , 9 3 27 9 3 3 3 p 1 因此,由 2 p ? 得, p ? 2 ,此时 q ? 3 3 3

点评:本题利用等式右边 ?

q 1 2p 的上界 来估算左边 p 的范围 , 解 q 3 3 3 2p 2p 1 ? 时,我们是构造函数 f ? p ? ? p 再由其单调性得出整数解。 p 3 3 3

1 3

题型二 :三元不定方程 一个方程中三个未知量,在高中通常判定此类不定方程是否有 解, 通常都是假设存在满足题意的三个变量, 再用反证法证明不成立。 反证法中如何找出矛盾,以下两种方法比较常用。 1.等式两边的奇偶性分析法 题 4.已知 an ? (2n ? 1)4 , 是否存在互不相同的正整数 r , s, t , 使得 ar , as , at
n?1

成等比数列?若存在,给出 r , s, t 满足的条件;若不存在,说明理由。 解析:若存在 ar , as , at 成等比数列,则 (2r ?1)(2t ?1)4r ?t ?2s ? (2s ?1)2 由奇偶性知右边为奇数,当且仅当 r ? t ? 2s ? 0 时,左边也为偶数, 所以 (2r ? 1)(2t ? 1) ? (r ? t ? 1)2 ,即 r ? t ,这与 r ? t 矛盾. 故不存在互不相同的正整数 r , s, t ,使得 ar , as , at 成等比数列 点评:本题中等式 (2r ?1)(2t ?1)4
r ?t ?2 s

? (2s ?1)2 要是成立,左右两边的奇

偶性要相同,右边为奇数,左边只有当等式 r ? t ? 2s ? 0 才为奇数,所 以用 r ? t ? 2s ? 0 进一步代入进行求解。
n 题 5.已知 an ? 2 , 证明 ?an ? 中任意三项不可能构成等差数列。

解析:假设 {an } 中存在三项 ar , as , at ?r ? s ? t ? 构成等差数列, 则 2as ? ar ? at , 2 ? 2 s ? 2 r ? 2t ,等式两边同除以 2 r ,得 2 s ?1?r ? 1 ? 2 t ?r

因为等式左边为偶数,右边为奇数,矛盾. ∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列
?2? ? 证明 ?an ? 中任意三项不可能构成等差数列。 题 6.已知 an ? ? ?3? ,
n

解析:假设 {an } 中存在三项 ar , as , at ?r ? s ? t ? 构成等差数列,
2? ? 2? ?2? t 则 2as ? ar ? at , 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,等式两边同乘以 3 ,得 3 3 3 ? ? ? ? ? ?
2 s ?1 ? 3t ?s ? 2 r ? 3t ?r ? 2t ,等式两边再同除以 2 r ,得 2 s ?1-r ? 3t ?s ? 3t ?r ? 2 t ?r
s r t

因为等式左边为偶数,右边为奇数,矛盾. ∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列 点评 题 5 和题 6 都是用反证法证明不存在满足题意的三项,考试中 常见此题型,放在一起便于比较,题 5 中化简 2 ? 2 s ? 2 r ? 2t 时,等式两
2? ? 2? ?2? 边同除以 2 ,2 ,2 中的最小值,题 6 中化简 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 时,等 ? 3? ? 3? ?3?
r

s

r

t

s

t

式两边同乘以 3r ,3s ,3t 中的最大值,将分数整数化,然后利用奇偶性寻 找矛盾. 二.等式两边是有理数或无理数分析 题 7.已知 bn ? n ? 2 ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为 等比数例。 解析: 假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br( p,q,r 为互不相等的正 整数)成等比数列,则 bq2 ? bpbr . 即 (q ? 2)2 ? ( p ? 2)(r ? 2) .
?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0
p,q,r ? N? ,

?q 2 ? pr ? 0, ? p?r ? ?? ?? ( p ? r )2 ? 0, ?p?r. ? ? pr, 2 ? ? ?2q ? p ? r ? 0,
2

与 p ? r 矛盾. 所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列. 点评 在反证法中利用有理数性质产生矛盾.若 2q ? p ? r ? 0 ,则等式化 为 2?
pr ? q 2 ,等式左边为无理数,右边为有理数,矛盾。 2q ? p ? r

题 8(选修 2-2 教材 P84 第 9 题)证明:1, 2 ,3 不可能是一个等 差数列中的三项. 解析:假设 1 , 2 , 3 是某一公差为 d 的等差数列的三项,则有 。由上两式消去 d ,得 2m ? n ? 2n ,易 2 ? 1 ? md, 3 ? 1 ? nd(m, n ? N *) 见上式左边为有理数, 右边为无理数, 故等式不能成立。 所以 1, 2 , 3 不可能是等差数列的三项。 点评:书本中的每个习题都要重视,是命题的来源,下面的这个高考 题中就可以找到题 7,题 8 的影子。 题 9(2008 江苏第 19 题改编)求证:对于给定的正整数 n ( n ≥ 4 ), 存在一个各项及公差均不为零的等差数列 b1,b2, , bn ,其中任意三项 (按原来的顺序)都不能组成等比数列. 解析:假设对于某个正整数 n,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列
b1 , b2 ,...... bn ,其中 bx?1 , by ?1 , bz ?1 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 )为任意三项成等比数

列 , 则 b2 y?1 ? bx?1 ? bz?1 , 即 (b1 ? y 2d ) ? (1 b?
( y2 ? xz)d 2 ? ( x ? z ? 2 y)b1d

化 x) d ? 1( ? b, ) z d简 得

(*)

由 b1d ? 0 知, y 2 ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0 当 y 2 ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾. 故 y 2 ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得
b1 y 2 ? xz ? d x ? z ? 2y

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数, 从而 1 为有理数. 于是,对于任意的正整数 n(n ? 4) ,只要 1 为无理数,相应的数列就是 满足题意要求的数列.
b d b d

如题7中的数列 bn ? n ? 2 就是满足题意的数列。 上面给出了数列中不定方程的常见解题策略, 这些策略有一个共 同的特征,就是对等式两边适当的变形选择等式一边的特征进行解 题,如整除的性质,范围上界或下界,因数分解的形式,是否为有理 数,奇偶性等。数列与不定方程(函数或不等式)的交汇使得试题变化 多样,精彩纷呈,解法也有很大的灵活性.以上仅列举了几种常用的 探求方法,具体问题还需具体分析,根据题设条件灵活处理.


相关文章:
数列中不定方程问题的几种解题策略.doc
数列中不定方程问题的几种解题策略王海东 (江苏省丹阳市第五中学,212300)
数列中不定方程问题的几种解题策略 论文.doc
数列中不定方程问题的几种解题策略 论文 - 数列中不定方程问题的几种解题策略 *
数列专题讲义不定方程的几种解题策略.doc
数列专题讲义不定方程的几种解题策略 - 数列存在性问题 探究 1 分式类型双变量存在性 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 a5 ? a13 ? 34,S3...
数列中不定方程整数解问题的求解策略_图文.pdf
数列中不定方程整数解问题的求解策略 - 数列 中不 定方程整数解 问题 的
数列中的“不定方程”求解策略_图文.pdf
数列中的不定方程”求解策略 - 11一 2 数 学教 学 2014 年第 11期 数列 中的不定方程 "求解策略 211200江 苏省 南京...
数列中不定方程的整数解的求解策略.pdf
数学选择题的四选择支中有且仅有 一是正确的 , 解题突出一 “选 ”...使数列不定方程的整数解问 题成为高考命 题的一个新热点. 这类问题同时对...
数列中不定方程的处理策略_图文.pdf
331600) 判断数列 中某三项是否成 等差数列或 等 比数列问题 , 是一 类常 ...能较 易得 出关 于正 整 数的不定方程. 在 本例 的解答过 程中, 我 们...
解题技巧之不定方程解法.doc
解题技巧不定方程解法 2015 大学生村官备考已经开始了,相信大家会发现有些题,我们虽然能列出方程,但 发现方程的个数比未知数的个数要少,若用传统的思想根本...
初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法.doc
在初中数学教学中不定方程与方程(组)占很大 的比例,是中学生经常出错和不懂的部分。本文主要探讨几种不定方 程和方程组的解题技巧和方法。 关键词:初中数学 不...
对数列问题中一类不定方程通解的探究_图文.pdf
数列问题中一类不定方程通解的探究_数学_自然科学...如下一个数列 问题. 例1 各项 均 为正数 的数 ...(÷) ’, 所以 l ,l 解题方法 中来分析 、 ...
数列的存在性问题.doc
不定方程的正整数解问题 存在 ? 有(正整数)解(1...不可能是一个等差数列中的三项. 选编说明 数列是...在高考中占有重要的地位,其在历年高考解答题中 基本...
不定方程的解法.doc
不确定的.像 不定方程(组)是数论中的类方程...提高数学解题的技能. 我们先看一个例子. 例 小张...但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数...
揭开“不定”方程的面纱对数列中不定方程整数解问....pdf
揭开“不定”方程的面纱对数列中不定方程整数解问题的探究与反思 - 《 数学之友) 2014 年第 l2期 揭开“ 不定" 方程的面纱 解题探索 对数 列 中不...
[数量关系] 数字推理30种解题技巧.doc
[数量关系] 数字推理 30 种解题技巧 一、当一列...217 D. 239 七、在递推数列中,当数列选项没有...对于不定方程,我们可以假设其中一个比较复杂的未知 ...
三元一次不定方程组的经典解题方法.doc
三元一次不定方程组的经典解题方法_初二数学_数学_...他们各自购买了三种不同食品中的一种,且每人只购买...希望同学们记住:不定方程组的问题在求个体的时候,...
30种解题技巧(数量关系).doc
(数字推理) 种解题技巧 一、当一列数中出现几个...个整数, 分之一的时候,这列数往往是负幂次数列。...对于不定方程, 时 往往是方程整体代换思想的应用。...
难点06 数列中的证明、探索性与存在性、不定方程的解等....doc
难点六 数列中的证明、探索性与存在性、不定方程的解等综合问题 近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的证明、探索等综合问题问题,这类问题不仅考查学生的 ...
与数列有关的不定方程的整数解问题初探_图文.pdf
[2]徐 迅. 浅析数学形结合 思想在 高考解题 中...与数列有关的不定方程的整数解 问题 初探 江苏省 ...利用 分 类讨 论 的方法 对可 能 的情 况进 ...
2-3-3列不定方程解应用题,题库教师版.doc
2-3-3 列不定方程解应用题 教学目标 1、 熟练掌握不定方程的解题技巧 2、...问题就是一个不定方程问题,公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题...
30种解题技巧(数字推理和数学运算).doc
种解题技巧(数字推理和数学运算) 一、当一列数中...而且是几分之一的时候, 列数往往是负幂次数列。 ...对于不定方程, 程整体代换思想的应用。对于不定方程...