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重庆市涪陵实验中学校高2009级高三第一次月考数学试题(理科)


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高三第一次月考数学试题(理科) 第一次月考数学试题 重庆市涪陵实验中学校高 2009 级高三第一次月考数学试题(理科) 涪陵实验中 实验
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 每小题给出的四个选项中只有一 只有一个 一,选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有一个 选择题:本大题 是符合题目要求的,请将正确答案填涂到答题卡中相应位置. 符合题目要求的 请将正确答案填涂到答题卡中相应位置. 1.设集合 U = {1, 2,3, 4,5} , A = {1, 2,3} , B = {2,3, 4} ,则 CU ( A ∩ B ) = A. {1, 4,5} B. {2,3} C. {4,5} D. {1,5}

2.设 f :x → x 是集合 A 到集合 B 上的映射.若 A = { 2 , 0 , 2 } ,则 A ∩ B = A. {0} B. {2} C. {0, 2} D. {0, 2}

3.若 f ( x ) 是偶函数,且当 x ∈ [0, +∞ ) 时, f ( x ) = x 1 ,则不等式 f ( x ) > 0 的解集是 A. ( 1,1) B. ( ∞, 1) ∪ (1, +∞ ) C. (1, +∞ ) D. ( ∞, 1)

4.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,称这些函数为"同族函数" .那么,
函数的解析式为 y = x ,值域为 {4,9} 的同族函数共有
2

A. 9 个

B.10 个

C. 8 个

D. 7 个
1 ② log a (1 + a) > log a (1 + ) a

1 5.对于 0 < a < 1 ,给出下列四个不等式:① log a (1 + a) < log a (1 + ) a

③ a1+ a < a

1+

1 a

④ a1+ a > a

1+

1 a

.其中成立的是

A.①与③

B.①与④

C.②与③

D.②与④

6 .命题 p :若 a,b ∈ R ,则" a + b > 1 "是" a + b > 1 "的充分不必要条件;命题 q :函数
y= x 1 2 的定义域是 ( ∞, 1] ∪ [3, +∞ ) ,则

A." p 或 q "为假

B." p 且 q "为真

C. p 真 q 假

D. p 假 q 真

7.如图,是函数 y = f (x ) 的导函数 f ′( x ) 的图像,则下面判断正确的是 A.当 x = 1 时, f (x ) 取极大值 B.在 ( 1,1) 上 f (x ) 是减函数 C.在 ( 2,0 ) 和 ( 2, +∞ ) 上 f (x ) 是增函数

2 1

1 2

f ′( x)

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D.在区间 ( ∞, 1) 和 (1, +∞ ) 上 f (x ) 是增函数 8. 已知函数 y = f ( x) 是偶函数,y = g ( x) 是奇函数, 它们的定义域为 [π,π ] , 且它们在 x ∈ [0,π ]
上的图像如下图所示,则不等式 f ( x) > 0 的解集为 g ( x)

π π A. ( ,0) ∪ ( ,π ) 3 3 π π C. ( ,0) ∪ ( ,π ) 4 4
2

π π B. (π, ) ∪ (0, ) 3 3 π π D. (π, ) ∪ ( ,π ) 3 3

9.关于 x 的函数 y = log 1 x ax + 2a 在 [1, +∞ ) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是
2

(

)

A. (∞, 2]

B. (1, +∞)

C. (1, 2]

D. (∞, 1)

3 3 10.已知定义 R 上的函数 f ( x) 的图像关于点 ,0 对称,且满足 f ( x + ) = f ( x) , f (1) = 1 , 2 4
f (0) = 2 ,则 f (1) + f (2) + + f (2008) 的值为

A. 0

B. 2

C. 2
第 II 卷 (共 100 分)

D.1

小题, 二,填空题:本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分,请把正确答案填在答题卡中的相应位 填空题: 置.

11.若函数 f ( x) = log 2 ( x + 3) 与函数 y = g ( x ) 互为反函数,则 f (1) + g (1) 的值为 12.若函数 y = 2 x +1 + m 的图像不经过第一象限,则 m 的取值范围是 13.已知命题 p : k
.

.

1 1 > ;命题 q :函数 y = log 2 ( x 2 2kx + k ) 的值域为 R ,则 p 是 q 的 2 2

条件.

1 x>0 14.设函数 f ( x) = 0 x = 0 ,则方程 x + 1 = (2 x 1) f ( x ) 的解集为 1 x < 0

.

+ 15.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足: f ( 4) = 0 ,且在区间 [0,3] 与 [3, ∞ ) 上分别递减和递增,
则不等式

( x 2 4) f ( x) < 0 的解集为

.

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16. 已知定义在区间 [ 0,1] 上的函数 y = f ( x) , 图像如图所示. 对满足 0 < x1 < x2 < 1 的任意 x1 , 2 , x 给出下列结论:① f ( x1 ) f ( x2 ) > x1 x2 ; ② x2 f ( x1 ) > x1 f ( x2 ) ; ③
f ( x1 ) + f ( x2 ) x + x2 < f( 1 ). 2 2

Y 1

其中正确结论的序号是 ..

(把所有正确结论的序号都填上) . .. . O 1

X

三,解答题:本大题共 6 个小题,共 76 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 小题, 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 必要的文字说明 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) =
5x , f [ g ( x) ] = 4 x . (1)求 g ( x) 的解析式; (2)求 g 1 (5) 的值. x3

18. (本小题满分 13 分)
x+2 ≥ 1 ,求 R A ∩ B . 已知集合 A = x x 3 ≤ 2 x , B = x 2 x 3x + 2

{

}

(

)

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19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = x + bx + cx + d 的图像过点 P ( 0, 2 ) ,且在点 M 1, f ( 1) 处的切线方
3 2

(

)

程为 6 x y + 7 = 0 . (1)求函数 y = f ( x) 的解析式; (2)求函数 y = f ( x) 的单调区间.

20. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) 是定义在 [1 1] 上的奇函数,若 a,b ∈ [1 1] , a + b ≠ 0 时,有 , ,
(1)判断并证明函数 f ( x) 在 [1 1] 上单调性; ,
1 1 (2)解不等式: f ( x + ) < f ( ). 2 x 1 f ( a) + f (b) >0. a+b

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21. (本小题满分 12 分) 两个二次函数 f ( x) = x + bx + c 与 g ( x) = x + 2 x + d 的图像有唯一的公共点 P (1, 2) ,
2 2

(1)求 b, c, d 的值; (2)设 F ( x ) = ( f ( x ) + m) g ′( x) ,若 F ( x ) 在 R 上是单调函数,求 m 的范围,并指出是单 调递增函数,还是单调递减函数.

22. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) =
[2, 1] ∪ [2, . 4]

x2 + c 3 为 奇 函 数 , f (1) < f (3) , 且 不 等 式 0 ≤ f ( x) ≤ 的 解 集 是 ax + b 2

(1)求 a , b , c ; ( 2) 是否存在实数 m 使不等式 f ( 2 + sin θ ) ≤ m 2 + 取值范围;若不存在,请说明理由.

3 对一切 θ ∈ R 成立?若存在, 求出 m 的 2

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参考答案
一,选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 选择题 符合题目要求的. 1.A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D

二,填空题:本大题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分. 填空题 11.1
1 17 14. 0, 2, 4

12. m ≤ 2 15. (∞, 4) ∪ (2,0) ∪ (2,4)

13.充分不必要 16.②③

三,解答题:本题共 6 小题,共 76 分. 解答题 ( 17.解: 1)∵ f ( x) = 又 f [ g ( x)] = 4 x ,∴
5 g ( x) 5x ,∴ f [ g ( x)] = g ( x) 3 x3

3分 6分

5 g ( x) 3x 12 = 4 x ,解得 g ( x) = g ( x) 3 x +1

(2)∵反函数的自变量就是原函数的函数值

9分 13 分

∴在 g ( x ) =

3 x 12 3x 12 17 17 中有 5 = ,解得 x = ,∴ g 1 (5) = 2 2 x +1 x +1

18.解:∵ x 3 ≤ 2 x 2 x ≤ x 3 ≤ 2 x x ≥ 1 ∴ A = [1, +∞) ,从而 R A = ( ∞,1)
又∵
2

5分

x+2 x+2 x2 4x ≥1 2 1 ≥ 0 2 ≤0 x 3x + 2 x 3x + 2 x 3x + 2 x( x 4) ≤ 0 0 ≤ x <1 或 2 < x ≤ 4 ( x 1)( x 2)

∴ B = [0,1 ) ∪( 2, 4] ∴ R A ∩ B = [0,1 )

11 分 13 分

(

)

19.解: 1)由 f (x ) 的图像经过 P ( 0, 2 ) ,知 d = 2 , (
所以 f ( x ) = x + ax + bx + 2, f ′( x ) = 3 x + 2ax + b .
3 2 2

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由在 M 1, f ( 1) 处的切线方程是 6 x y + 7 = 0 ,知

(

)

f ' (1) = 6 . f (1) = 1

4分

所以

3 2a + b = 6 ,解得 a = b = 3 . 1 + a b + 2 = 1
3 2

故 f ( x) = x 3x 3x + 2

6分 8分

2 2 (2) f ′( x ) = 3 x 6 x 3 , 令3 x 6 x 3 = 0 ,解得 x1 = 1 2 , x2 = 1 + 2

所以当 f ′( x ) > 0 时, x < 1 2 或 x > 1 + 2 ;当 f ′( x ) < 0 时, 1 2 < x < 1 + 2 . 故 f ( x) 在 (∞,1 2) 和 (1 +

2 ,+∞) 内是单增,在 (1 2 ,1 + 2 ) 内是单减.

13 分

20.解: (1)函数 f ( x ) 在[– 1,1]上是增函数.

1分

设 1 ≤ x1 < x2 ≤ 1 ∵ f ( x) 是定义在[–1,1]上的奇函数, ∴ f ( x2 ) f ( x1 ) = f ( x2 ) + f ( x1 ) . 又 x1 < x2 ,∴ x2 + ( x1 ) = x2 x1 > 0 ,由题设有 ∴ f ( x2 ) + f ( x1 ) > 0 即 f ( x2 ) > f ( x1 ) 所以函数 f ( x ) 在[– 1,1]上是增函数. 7分
f ( x2 ) + f ( x1 ) >0, x2 + ( x1 )

1 1 3 1 ≤ x + 2 ≤ 1 2 ≤ x ≤ 2 1 1 1 3 (2)由(1)知: f ( x + ) < f ( ) 1 ≤ ≤ 1 x ≥ 2 或 x ≤ 0 ≤ x < 1 x 1 2 x 1 2 x < 1 或 1 < x < 3 1 1 x + < 2 2 x 1

12


1 1 3 ∴不等式 f ( x + ) < f ( ) 的解集为 x ≤ x < 1 2 x 1 2

13 分

b + c = 3 1 + b + c = 2 ( 化简得 21.解: 1)由已知得 d = 3 1 + 2 + d = 2

2分

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且 x + bx + c = x + 2 x + d
2 2

即 2 x 2 + (b 2) x + c d = 0 有唯一解 所以 △= (b 2) 2 8(c d ) = 0 即

4分

b 2 4b 8c 20 = 0
7分 9分

消去 c 得 b 2 + 4b + 4 = 0 ,解得 b = 2, c = 1, d = 3

(2) F ( x) = ( x 2 2 x 1 + m) (2 x + 2) = 2 x 3 + 6 x 2 (2 + 2m) x + 2m 2

F ′( x ) = 6 x 2 + 12 x 2 2m
若 F ( x) 在 R 上为单调函数,则 F ′( x ) 在 R 上恒有 F ′( x ) ≤ 0 或 F ′( x ) ≥ 0 成立. 因为 F ′( x ) 的图像是开口向下的抛物线, 所以 F ′( x ) ≤ 0 时 F ( x ) 在 R 上为减函数, 所以 △= 12 2 + 24( 2 2m) ≤ 0 ,解得 m ≥ 2 即 m ≥ 2 时, F ( x ) 在 R 上为减函数. 12 分

22.解: (1)∵ f ( x ) =

x2 + c x2 + c ( x) 2 + c ∴ = ,解得b = 0. 1 分 为奇函数, a ( x) + b ax + b ax + b

f (2) ≥ 0 ∵ 0 ≤ f ( x) ≤ 3 的解集中包含 2 和-2,∴ 2 f (2)= f (2) ≥ 0

22 + c 3分 , 所以 c= 4 2a 3 5 3 5 ∵ f (1) < f (3), (1) = , f (3) = , ∴ < , f 所以a > 0. a 3a a 3a
即得 f ( 2) = 0 = 下证:当 a>0 时,在(0,+∞)上 f ( x ) = 在(0,+∞)内任取 x1,x2,且 x1<x2, 那么 f ( x1 ) f ( x2 ) =

4分

x2 4 是增函数. ax

x1 4 x2 4 1 4 + = ( x1 x2 )(1 + )<0 a ax1 a ax2 a x1 x2
x2 4 是增函数 ax
6分

即 f ( x1 ) < f ( x 2 ), ∴当a > 0时,在(0,+∞)上 f ( x ) = 所以, f (2)=0, (4) = f

3 42 4 = , 解得 a = 2. 2 4a

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x2 4 . 7分 2x x2 4 x2 4 ∴ 在(-∞,0)上也是增函数. 8 分 (2)∵ f ( x ) = 为奇函数, f ( x) = 2x 2x 3 3 3 又 3 ≤ 2 + sin θ ≤ 1, ∴ f ( 3) ≤ f ( 2 + sin θ ) ≤ f ( 1) = , 而 m 2 + ≥ , 2 2 2 3 12 分 所以,m 为任意实数时,不等式 f ( 2 + sin θ ) ≤ m 2 + 对一切θ ∈ R成立 2
综上所述: a = 2, b = 0, c = 4, f ( x ) =


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