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利用导数求参数的取值范围

课题 授课人 内容分析

利用导数求参数取值范围(3)

授课时间 授课地点

导数是研究函数图像和性质的基本工具。利用导数求参数的取值范围问题,是高考 考查的重点和热点,导数是学习高等数学的基础,对中学生来说运算量大,思维要 求高,呈现的题型既有灵活多变的客观性试题,又有具有一定能力要求的主观性试 题,这要求学生解题时要掌握基本题型的解法,树立利用导数处理问题的意识. 1、初步理解利用导数解决不等式恒成立问题、零点问题的基本方法并试着应用. 2、通过对不等式恒成立问题、零点问题的具体解决,感受导数的工具性作用,巩 固求函数单调区间、极值、最值的方法. 3、通过学习培养善于思考,善于总结的思维习惯,进一步体会数形结合、分类讨 论、化归转化的数学思想在解题时的应用. 利用导数解决求参数取值范围问题 数形结合、转化化归的数学思想方法. 多媒体设备 课前热身: 例题: 巩固练习:

教学目标

重点 难点 教学用具

板书设计

教学过程 教师活动
一、复习回顾 1、利用导数求函数单调区间的方法步骤: 回忆 2、利用导数求函数极值的方法步骤: 口述 通过复习回顾 基础知识, 让学 生明确本节学 习的内容并做 好相关准备

学生活动

设计意图

3、利用导数求函数最值的方法步骤:

二、课前热身 1、 已知函数 f

?x ? ?

x 3 ? ax 2 ? 3x ? 4 在 R 上单调递增, 则

实数 a 的取值范围 2、已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a)e .若 f ( x ) 在 x ? 0 时取得
2 ?x

学 生独立 完 成 ,教师 巡 视 学 生口述 答

初步体会求参 数取值范围的 方法: 等价的转 化为含参不等 式

极小值,则实数 a 的取值范围 小结:(学生完成)

案 反 思解题 方 法

三、典例分析 例 1 、 已 知 函 数 f ( x) ?

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) . 若 对 于 x

?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,试求实数 a 的取 题、思考
值范围; 解: f ?( x) ? ?

学 生独立 审 求参数取值范 围经常会出现 在恒成立问题 和零点问题中 , 而恒成立问题 和零点问题, 集 函数方程不等 式思想、 数形结 合思想于一身, 考查了求函数 值域、 解不等式 等知识, 综合性 很强.

2 a ax ? 2 ? ? , 师 生共同 分 x2 x x2 析 ,找到 求 2 2 由 f ?( x) ? 0 解得 x ? ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? . 解策略 a a 2 2 所以 f ( x ) 在区间 ( , ? ?) 上单调递增, 在区间 (0, ) 上 a a
所以当 x ?

单调递减.

2 2 时,函数 f ( x ) 取得最小值, ymin ? f ( ) . a a

学 生试着 完 成 学 生遇到 困 难 ,老师带着 解决 做 的过程 体 会 利用导 数 求 最值问 题 的 解决方 法 和步骤. 提 升训练 , 提 高对恒 成 立 问题的 理 解和认识,

因为对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,

2 a 2 2 则 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) . 2 a a 2 2 由 a ln ? a 解得 0 ? a ? . a e 2 所以 a 的取值范围是 (0, ) . e
提升训练: 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

所以只需 f ( ) ? 2( a ? 1) 即可.

例 1 主要复习巩 固恒成立问题 的 求 解 思 路 —-- 转 化 为 求 最值问题, 先分离参变量, 再转化为最值 问题

1 a f ( x ) ? 若对于 都有 ? x ? [1, ?? ) x, x

成立,求实数 a 的取值范围?

解题回顾与方法梳理:

学 生反思 问 1、 解决不等式恒成立问题的方法通常转化为求函数最值问题. 题 ,梳理 思 2、转化的方法有直接转化和间接转化。对于直接转化,即转化 路 ,形成 方 为含所求参数的函数的最值问题 (此时要注意是否需要对参数进 法 行分类讨论) ;间接转化时需先分离参数后再转化,转化为求具 体函数的最值问题(此时要注意转化的等价性) ,若两者都可进 行,则后者相对简单.

展示学生在解 题过程中的得 与失, 培养良好 的解题习惯

例 2、已知函数 f ( x ) ?

2 ? ln x ? x ? 2 ? b ,函数 f ( x ) 在区间 x

[e?1 , e] 上有两个零点,求实数 b 的取值范围.
x2 ? x ? 2 解: f '( x ) ? . x2
由 f '( x ) ? 0 解得 x ? 1 ;由 f '( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 . 所以函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 为减函数,在区间 (1, ? ?) 为 增函数. 又 因 为 函 数 f ( x ) 在 区 间 [e?1 , e] 上 有 两 个 零 点 , 所 以 学生解题

? f ( e ?1 ) ≥ 0, 2 ? ? f ( e ) ≥ 0, 解得 1 ? b ≤ ? e ? 1 . e ? f (1) ? 0. ? 2 ? e ? 1] . 所以 b 的取值范围是 (1, e
变式训练:若将题目改为有且只有一个零点呢?

例 2 属于有关零 点问题, 利用导 数判断函数的 单调性, 进一步 画出原函数的 草图, 数形结合 求闭区间上最 值, (或结合 图像特征分析 零点的位置) 转 化为不等式或 不等式组, 通过 解不等式组求 出参数取值范 围.

变式训练,

变式训练, 巩固 对函数零点问 题的理解和认 识 通过梳理解题 方法, 反思存在 问题,增强理 解,提高认识 揭示本质: 通过 导函数来研究 函数的单调性 和极(最)值, 画出函数图像 的大致走势, 数 形结合分析问 题

解题回顾与方法梳理: 1、 零点的概念 2、 求零点的方法 3、 利用导数解决零点问题的策略:一般先利用导数判断函数的 单调性,再结合具体的零点个数进一步画出原函数的草图, 再数形结合求闭区间上最值, (或结合图像特征分析零点的 位置)转化为关于参数的不等式组,通过解不等式组求出参 数的取值范围. 巩固练习

学 生反思 问 题 ,梳理 思 路 ,形成 方 法

已 知 函 数 f ?x ? ?

ln x 1 . 若 y ? xf ? x ? + 的 图 像 总 在 直 线 x x

y ? a 的上方,求实数 a 的取值范围。

学 生独立 思 考 ,老师 适 时 指导学 生 寻 求解题 方 法 学生

夯实基础 巩固提升

通过本节课的学习,我们有哪些收获? 基础知识方法:1、利用导数求函数的单调区间、极值和最值.

课堂小结
2、恒成立问题和零点问题的求解策略. 数学思想方法:转化与化归、数形结合 布置作业

课后反思

课题:利用导数求参数取值范围(3) 一、 复习回顾

1. 利用导数求函数单调区间的方法步骤: . 2、 利用导数求函数极值的方法步骤: . 3、 利用导数求函数最值的方法步骤: . 二、课前热身: 1、已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 3x ? 4 在 R 上单调递增, 则实数 a 的取值范围
3 2

2、已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a)e? x .若 f ( x ) 在 x ? 0 时取得极小值,则实数 a 的取值范 围

小结: 三、例题 例 1、已知函数 f ( x ) ?

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) .若对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) x

成立,试求 a 的取值范围;

提升训练:已知函数 f ? x ? ? ln x ? 的取值范围?

1 a 若对于 ?x ? [1, ??) 都有 f ( x ) ? 成立,求实数 a , x x

解题回顾和方法梳理: 例 2、已知函数 f ( x ) ?

2 ? ln x ? x ? 2 ? b ,函数 f ( x ) 在区间 [e?1 , e] 上有两个零点,求 x

实数 b 的取值范围.

变式:若将题目改为有且只有一个零点呢?

解题回顾和方法梳理: 四、巩固练习 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 的图像总在直线 y ? a 的上方,求实数 a 的取值范围. x

课堂小结: 基础知识方法: 数学思想方法:


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