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广东省执信、广雅、二中、六中四校2013-2014学年高二上学期期末联考数学(理)试卷_图文

2015 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考

数 学(理科)

命题学校:广东广雅中学

命题:高二理数备组

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。

注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡

的密封线内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,

用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定

区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式:V棱锥

?

1 3

Sh

( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)

第一部分选择题(共 40 分)

一.选择题(本大题共 8 道小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中有

且只有一个是符合题目要求的)

1.集合

A 为函数

y

?

1 x2

的值域,集合 B

? {x | 0

?

x

?

2} ,则

A

B 等于(

)

A. (0, 2) B. (1, 2)

C. (0,1)

D. (0,1]

2.双曲线 x2 ? y2 ? 1的两渐近线方程为(

)

4m2 m2

A. y ? ? 1 x 2

B. y ? ?2x

C. y ? ? 1 x 4

D. y ? ?4x

3.已知 a、b 均为单位向量,且| a + 2b |= 7 ,那么向量 a 与 b 的夹角为(

)

A. ? 6

B. ? 3

C. 5? 6

4.下列函数既有零点,又是单调函数的是( )

D. 2? 3

A. y ? ex?1

B. y ? ln | x |

C. y ? 1 ?1 x

D. y ? x ?1

5.将函数 f (x) ? cos 2x 的图象向右平移 ? 个单位,得到函数 y ? g(x) 的图象, 4

则( )

A. g(x) ? cos(2x ? ? ) 4

B. g(x) ? cos(2x ? ? ) 4

C. g(x) ? sin 2x

D. g(x) ? ? sin 2x

6.三棱锥 P ? ABC 的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形,其中底边长为

4 ,腰长为 3 ,则该三棱锥左视图的面积为(

)

A. 5 2

B. 2 5

C. 5

D. 5

主视图

7. A 为 y 轴上异于原点 O 的定点,过动点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B ,动点 P

2

2

满足| PA ? PO |? 2 | PB | ,则点 P 的轨迹为( )

2

2

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

8. 对于平面直角坐标系内的任意两点 AA((xx11,,yy11)),,,BB((xx22,,yy22)) 定义它们之间的一种“距离”: 俯视图

AB ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 . 给出下列三个命题:

①若点 C 在线段 AB 上,则 AC ? CB ? AB ;

②在 ?ABC 中, AC ? CB ? AB ;

③在 ?ABC 中,若 ?A ? 90? ,则 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 .

其中错.误.的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

第二部分非选择题(110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。

9.用系统抽样的方法从容量为 42 的总体中抽取容量为10 的样本,则总体中每个个体被抽到

的概率为

10.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果



.

(注:“ n ? 6 ”也可写成“ n :? 6 ”或“ n ? 6 ”,均表示赋值语句)

11.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B,C 的对边,已知

3(b2 ? c2 ) ? 3a2 ? 2bc ,则 sin A ?

12.设

a,

b

满足

?| x ? y |? 1 ??4 ? x ? 2 y

,则

x

y ?

1

的取值范围是

.

13.已知{an } 等比数列是正项数列,且 a2 ? 1,其前 3 项的和为 S3 ,? ? S3 恒成立,则 ? 的

最大值为

.

14.已知 A 为圆 O : x2 ? y2 ? 8 上的任意一点,若 A 到直线 l : y ? x ? m 的距离小于 2 的概

率为 1 ,则 m =

.

4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分 12 分)

已知 f (x) ? 2 3 cos x sin x ? sin2 x ? cos2 x .

22

2

2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,若 f ( A) ? 1,2a ? 3b ,求 sin C
的值.

16.(本题满分 12 分) 荔湾西村在 11 月至 12 月的空气质量监测中获得一组样本数据,现根据国家的 PM2.5 空气 污染指数等级将监测结果分成如下五组:第一组“优秀[0,50)”、第二组“良好[50,100)”、第 三组“轻度污染[100,150)”、第四组“中度污染[150,200)”和第五组“重度污染[200,250]”,
已知第一组至第五组数据的频率之比为 2 : 8 : 9 : 5 :1 ,第一组数据的频数是 4.
(I) 求出样本容量,并估计西村 11 月至 12 月空气质量为优良等级(优秀或良好)的概率; (II)从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取 2 份数据,求抽出的两份数
据都是优秀等级的概率.

17.(本题满分 14 分)
如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形,其中 AB ? 2 , DC ? 2, AD ? 1 , 2
AD ? AB ,顶点 P 在底面 ABCD 的射影落在线段 AC 上,F 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证: BF 平面 PAD ;
(Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 PDB ; (III)若 PA ? PC ? 1 ,求三棱锥 P ? DBF 的体积.
D

P F C

A

B

18.(本题满分 14 分)
已知二次函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且关于 x 的不等式 f (x) ? 4x 的解集为
?x 1 ? x ? 3? .
(I)求 f (x) 的解析式;
(II)设 F (x) ? f (x) ? bx ,且当 x ?[?1, 2] 时,函数 F (x) 的最小值为1,求实数 b 的
值.

19.(本题满分 14 分)
已知 n ? N? ,设 Sn 是单调递减的等比数列{an } 的前 n 项和,a1 ? 1,且 S2 ? a2 、S4 ? a4 、

S3 ? a3 成等差数列.

(I)求数列{an } 的通项公式;

? ? ? ? (II)数列 bn 满足 b1 ? 2a1 , bn?1bn ? bn?1 ? bn ? 0 ,求数列 bn 的通项公式;

(III)在满足(II)的条件下,若 cn

?

an

cos(n? ) bn

,求数列{cn } 的前 n 项和Tn .

20.(本题满分 14 分)

已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 经过点 (

3, ?

3 ) ,且椭圆的离心率 e ? 1 ,过椭圆的右

2

2

焦点 F 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 A、B 及 C、D .

(I)求椭圆的方程;
(II)求证: 1 ? 1 为定值; | AB | | CD |
(Ⅲ) 求| AB | ? 9 | CD | 的最小值. 16

2015 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考理科数学

答案
一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 7.D 8.C
二.填空题

9. 5 10. 3 21

11. 2 2 3

12.[1 ,1] 3

13. 3 14. ?4 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.











f (x) ? 2 3 cos x sin x ? sin2 x ? cos2 x ? 3 sin x ? cos x ? 2sin(x ? ? ) ……3 分

22

2

2

6

∴由 ? ? ? 2k? ? x ? ? ? ? ? 2k?( k ? Z ), 得 ? ? ? 2k? ? x ? 2? ? 2k? , ……

2

62

3

3

5分

即 函 数 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [? ? ? 2k? , 2? ? 2k? ]

3

3

(k?Z )

……6 分

(Ⅱ)由 f ( A) ? 1得 sin( A ? ? ) ? 1 , 0 ? A ? ? , ∴ A ? ? ? ? ,即 A ? ? ,

62

66

3

……8 分

根据正弦定理,由 2a ? 3b ,得 2sin A ? 3sin B ,故 sin B ? 3 ,

……

3

9分

∵ a ? b ,∴ cos B ? 6 , 3
∵A?B?C ?? ,


……10 分

sin C ? sin( A ? B) ? sin Acos B ? cos Asin B ? 3 ? 6 ? 1 ? 3 ? 3 2 ? 3

……

2 3 23

6

12 分

16. 解 : (I) 设 样 本 容 量 为 n , 则 4 ?

2

, 解 得 n ? 50 ,

n 2?8?9?5?1



…2 分

空气质量为优秀或良好等级的频率为

2?8

? 0.4 .

2 ? 8 ? 9 ? 5 ?1

……5 分

(II)测试结果为优秀等级[0,50)的有 50 ?

2

? 4 天,设为

2 ? 8 ? 9 ? 5 ?1

a、b、c、d

……6 分

测试结果为重度污染等级[200,250]的有 50 ?

1

? 2 天,设为 x、y

2 ? 8 ? 9 ? 5 ?1

……7 分

设抽取的两份数据为 m、n ,则 (m, n) 共有如下 15 种情况:

(a,b) 、(a, c) 、(a, d ) 、(b, c) 、(b, d ) 、(c, d ) 、(x, y) 、(a, x) 、(a, y) 、(b, x) 、(b, y) 、

(c, x) 、 (c, y) 、 (d, x) 、

(d, y) ,

……9 分

两份数据都是优秀等级的有如下 6 种情况:(a, b) 、(a, c) 、(a, d ) 、(b, c) 、(b, d ) 、(c, d )



设“两份数据都是优秀等级”为事件 A,则 P( A) ?

6

?

2
.

15 5

答:抽出的两份数据都是优秀等级的概率为 2 5
17.(Ⅰ)证法一:取 PD 中点 E ,连结 EA、EF , ∵ E、F 分别是 PD、PC 的中点,

……12 分

∴ EF // DC ,又 DC // AB ,且 EF ? 1 DC ? AB , 2
∴ EF // AB ,且 EF ? AB

∴四边形 EFBA 是平行四边形,

……2 分

∴ AE // BF

……3 分

又∵ AE ? 面PAD , BF ? 面PAD , ……4 分

……10

P

E D

F C

∴ EF 平面 PAD

……5 分

A

B

证法二:取 DC 中点 M ,连结 FM、BM ∵ F、M 分别是 PC、DC 的中点,∴ FM // PD ,
又∵ PD ? 面PAD , FM ? 面PAD ,∴ FM 平面 PAD

……1 分

∵ DM // AB ,且 DM =AB ,∴四边形 ABMD 是平行四边形,∴ BM // AD 又∵ AD ? 面PAD , BM ? 面PAD ,∴ BM 平面 PAD ……2 分

FM BM ? M , FM、BM ? 面BMF ,∴ 面BMF 平面 PAD ……4

P F

D

M

C

A

B



∵ BF ? 面BMF ,∴ BF 平面 PAD

……5 分

(Ⅱ)
证法一:顶点 P 在底面 ABCD 的射影落在线段 AC 上,

设为 H ,则 PH ? 面ABCD

∵ BD ? 面ABCD ,∴ PH ? BD

……6 分

∵ Rt?ABD 中, AB ? 2 , Rt?DAC 中, AD ? 1 ? 2 ,

AD 2

DC 2 2

∴ Rt?ABD ∽ Rt?DAC ,∴ ?DAC ? ?ABD ,故 ?ABD ? ?CAB ? 90?

即 AC ? BD

……8 分

又∵ PH AC ? H , PH、AC ? 面PAC ,∴ BD ? 面PAC ……9 分

BD ? 面PBD ,∴ 面PBD ? 面PAC

D
……10 分

证法二:顶点 P 在底面 ABCD 的射影落在线段 AC 上,设为 H ,

A

B

则 PH ? 面ABCD ,∵ BD ? 面ABCD ,∴ PH ? BD

……6 分

P

F

H

C

在平面 ABCD 上,以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴, AD 所在的直线为 y 轴建立平面

直角坐标系,得 A(0, 0) , B( 2 , 0) , D(0,1) , C( 2,1) ,由 2

AC ? BD ? ( 2,1) ? (? 2 ,1) ? 0 , 2
得 AC ? BD 又∵ PH AC ? H , PH、AC ? 面PAC ,∴ BD ? 面PAC

……8 分 ……9 分

BD ? 面PBD ,∴ 面PBD ? 面PAC

……10 分

(III) 解法一:∵ PA ? PC ? 1 ,∴顶点 P 在底面 ABCD 的射影 H 落在线段 AC 的中点上,

且由 AC ? 1? 2 ? 3 知 PH ? 1? ( 3 )2 ? 1

……11 分

P

22

∵ F 分别是 PC 的中点,∵ F 到面 PDB 的距离是 C 到面 PDB 的距离的 1 ……12 2

F



1

1

11 1

12

VP ? DBF

?

2 VC?PDB

?

2 VP?DBC

?

? ?( ? 23 2

2 ?1) ? ? 2 24

……14 分

D H

C

O

A

B

解法二:割补法
∵ PA ? PC ? 1,∴顶点 P 在底面 ABCD 的射影 H 落在线段 AC 的中点上,且由

AC ? 1? 2 ? 3 知 PH ? 1? ( 3 )2 ? 1 22

……11 分

∵ F 分别是 PC 的中点,∵ F 到面 PDB 的距离是 C 到面 PDB 的距离的 1 ……12 分 2

VP ? DBF

? VP?BCD

? VF ?BCD

?

1? 3

2 ?1? 1 ? 1 ? 2 23

2 ?1? 1 ? 2 2 4 24

……14 分

解法三:∵ PA ? PC ? 1 ,∴顶点 P 在底面 ABCD 的射影 H 落在线段 AC 的中点上,且由

AC ? 1? 2 ? 3 知 PH ? 1? ( 3 )2 ? 1 22

……11 分

设 AC BD ? O ,则 AO ? 1 由(Ⅱ)知 BD ? 面PAC OC 2

……12 分

∴VF ?PDB

? VD?POF

? VB?POF

?

1 3

?

SPOF

? DH

?

1 3

?

S

POF

? DB

?

1 3

?

S

POF

? DB

其中

S?POF

?

S?PAC

? S?PAO

? S?FCO

?

1? 2

3 ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 3 ? 1 ? 3 ……13 分 2 2 3 2 2 3 4 12

VP ? DBF

?

1? 3

3? 12

1? ( 2 )2 ? 2 2 24

……14 分

18.解:(I)设 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,由 f (x) 是偶函数知 f (x) 的图象关于 y 轴对称,

则 ? b ? 0 ,即 b ? 0 ,故 f (x) ? ax2 ? c . 2a
∵不等式 f (x) ? 4x 的解集为?x 1 ? x ? 3? ,

……1 分

∴ a ? 0 且 x1 ? 1, x2 ? 3 是方程 f (x) ? 4x ? 0 即 ax2 ? 4x ? c ? 0 的两根.

由韦达定理,得

???1? 3 ? ???1? 3

? ?

4 a c a

,解得:

a

?

1,

c

?

3

.

……5 分

∴ f (x) ? x2 ? 3 .

……6 分

(II)由(I)知, F (x) ? x2 ? bx ? 3 ? (x ? b )2 ? 3 ? b2 ,对称轴 x ? ? b .

2

4

2

下面分类讨论:

……7 分



当 ? b ? 2 ,即 b ? ?4 时, F (x) 在[?1, 2] 上为减函数,

2

∴ F (x)min ? F (2) ? 2b ? 7 ? 1,得 b ? ?3 (舍去).

……9 分





?

b 2

?

(?1,

2)

,即

?4

?

b

?

2

时,

F

(

x)min

?

F(? b) ? ? b2 24

?3 ?1,

∴ b ? ?2 2 或 b ? 2 2 (舍去). ③ 当 ? b ? ?1,即 b ? 2 时, F (x) 在[?1, 2] 上为增函数,
2 ∴ F (x)min ? F (?1) ? 4 ? b ? 1,得 b ? 3 .

……11 分 ……13 分

综上所述, b ? ?2 2 或 b ? 3 为所求.

……14 分

19.解:(I)设数列 {an } 的公比为 q ,由 2(S4 ? a4 ) ? S2 ? a2 ? S3 ? a3 ,

……1 分

得 (S4

?

S2) ? (S4

?

S3 )

?

2a4

?

a2

?

a3 ,即 4a4

?

a2 ,所以 q2

?

1 4



∵{an }

是单调数列,∴

q

?

1 2



an

?

( 1 )n?1 2

……3 分 ……4 分 ……5 分

(II)

b1

? 2 ,∵ bn?1bn

? bn?1

? bn

? 0 ,∴1?

1 bn

?1 bn?1

? 0 ,即 1 bn?1

?1 bn

? 1,……6 分

即{ 1 }是以 1 为首项,1为公差的等差数列,

bn

2

……7 分

故1 bn

?

1 ? (n ?1) ? 2

2n ?1 , 2

即 bn

?

2 2n ?1

……9 分

(III)

cn

?

an

cos(n? bn

)

?

2n ? 2n

1

cos(n?

)

?

2n ? 2n

1

(?1)n

?

(2n

?1) ? (?

1)n 2

……10 分

Tn

? 1? (?

1) 2

?

3? (?

1)2 2

?

5? (?

1 )3 2

?

? (2n ?1) ? (? 1)n 2

?

1 2 Tn

?

…11 分

1? (? 1)2 ? 3? (? 1)3 ? 5? (? 1)4 ? ? (2n ? 3) ? (? 1)n ? (2n ?1) ? (? 1)n?1

2

2

2

2

2

两式相减,得

3 2 Tn

? 1? (?

1) 2

?

2 ? (?

1)2 2

?

2 ? (?

1 )3 2

?

? 2? (? 1)n ? (2n ?1) ? (? 1)n?1 …12 分

2

2

?

1

?

2?

?

1 2

? [1 ?

(?

1 )n ] 2

?

(2n

?1) ? (?

1 )n?1

2

1? 1

2

2

? 1 ? 2 ?[1? (? 1)n ] ? (2n ?1) ? (? 1)n?1 ? ? 1 ? (n ? 1)(? 1)n

……

23

2

2

6

62

13 分



Tn

?

?1 9

?

1 (6n ? 1)(? 1)n

9

2

……14 分

20.解:(I)由 e ?

c a

?

1 2

,得 c2 a2

?

1 4

,即 a2

?

4c2

?

4(a2

? b2) ,

即 3a2 ? 4b2 .(1),

……1 分

由椭圆过点 (

3, ?

3 2

)

知,

3 a2

?

3 4b2

? 1 .(2)

联立(1)、(2)式解得 a2 ? 4, b2 ? 3 .

……2 分 ……3 分

故椭圆的方程是 x2 ? y2 ? 1; 43

……4 分

Y

(II) 1 ? 1 为定值 7

| AB | | CD |

12

……5 分

法一:证明 椭圆的右焦点为 F (`1, 0) ,分两种情况. 1 ° 当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , AB: x ? 1 , 则 CD: y ? 0 .此时| AB |? 3 ,| CD |? 4 ,

1 ? 1 ?7; | AB | | CD | 12

……6 分

C

A Q

F

X

O

PD

B

2°当直线 AB 的斜率存在时,设 AB : y ? k(x ?1)(k ? 0) ,则 CD: y ? ? 1 (x ?1) . k
又设点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) .

联立方程组

?y ?

? ?3x

2

k(x ?1), ? 4 y2 ? 12,

消去

y

并化简得

(4k

2

?

3) x 2

?

8k

2x

?

4k

2

?12

?

0



所以

x1

?

x2

?

8k 2 4k 2 ?

3

,x1

?

x2

?

4k 2 ?12 4k 2 ? 3

……7 分

| AB |? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1? k 2 | x1 ? x2 | ? 1? k 2 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2

?

1? k2 ?

64k 4 ?16(k 2 ? 3)(4k 2 ? 3) (4k 2 ? 3)2

? 12(k 2 ?1) 4k 2 ? 3



由题知,直线

CD

的斜率为

?

1 k

,同理可得

|

CD

|?

12(1? k 2 4 ? 3k 2

)

……8 ……9 分

所以

|

1 AB

|

?

|

1 CD

|

?

7k2 ? 7 12(k 2 ?1)

?

7 12

为定值.



……10

法二:证明 椭圆的右焦点为 F (`1, 0) ,分两

Y

种情况.

1°当直线 AB 的斜率不存在时,AB: x ? 1 ,

则 CD: y ? 0 .此时| AB |? 3 ,| CD |? 4 , 1 ? 1 ? 7 ; ……6 分
| AB | | CD | 12

C

Q

O

2°当直线 AB 的斜率存在时,设 AB :

y ? k(x ?1)(k ? 0) , 则 CD :

y ? ? 1 (x ?1) . k

又设点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) .

联立方程组

?y ? ??3x2

k(x ?1), ? 4 y2 ? 12,

消去

y

并化简得

(4k

2

?

3) x 2

?

8k

2

x

?

4k

2

?12

?

0



A

F

X

PD

B

所以

x1

?

x2

?

8k 2 4k 2 ?

3



……7 分



| AF |?

(x1 ? c)2 ? y12 ?

?

x1

?

c?2

?

(1

?

x12 a2

)

?

b2

|

BF

|?

2

?

1 2

x2

?

a

?

ex1

?

2

?

1 2

x1







…… 8 分

故|

AB

|?|

AF

|

?

|

BF

|?

4

?

1 2

( x1

?

x2 )

?

12(k 2 ?1) 4k 2 ? 3

由题知,直线 CD 的斜率为 ? 1 ,同理可得| CD |? 12(1? k 2 )

k

4 ? 3k 2

所以

|

1 AB

|

?

|

1 CD

|

?

7k2 ? 7 12(k 2 ?1)

?

7 12

为定值.

……9 分 ……10 分

(Ⅲ)解:由(II)知 1 ? 1 ? 7 , | AB | | CD | 12

所以 | AB | ? 9 | CD |? 12 (| AB | ? 9 | CD |)( 1 ? 1 )

16

7

16

| AB | | CD |

……11 分

?

12

( 25

?

9 16

|

CD

|

?

|

AB

|)

?

12

( 25

?

2

9 16

|

CD

|

?

|

AB

|

)

?

21



7 16 | AB | | CD | 7 16

| AB | | CD | 4

……12 分

当且仅当

9 | CD 16
| AB |

|

?

| |

AB CD

| |

,即 |

AB

|?

3 4

|

CD

|

,即 |

AB

|?

3,|

CD

|?

4

时取等号

……13



所以| AB | ? 9 | CD | 的最小值为 21 .

16

4

……14 分