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.1.1直线与圆的位置关系资料


6

例3. 已知B(2,0),点A为圆x 2 ? y 2 ? 1上动点,求线段AB的 中点M的轨迹方程.

一.实例引入 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台 的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响 的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台 风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么 它是否会受到台风的影响?
y

为解决这个问题,我们以 台风中心为原点 O,东西方向 为 x 轴,建立如图所示的直角 坐标系,其中取 10km 为单位 长度.

港口

O

轮船

x

一.实例引入

这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为:

x ? y ?9
2 2

轮船航线所在直线 l 的方程为:

y 港口

4 x ? 7 y ? 28 ? 0
问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点.
O

轮船

x

二.直线与圆的位置关系 想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系?
平面几何中,直线与圆有三种位置关系:
(1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点.

(1)

(2)

(3)

判断直线与圆位置关系的 方法?

例1、已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l 与圆的位置关系;如果相交,求它们的交点坐标及弦长。 d r
5 ? 5=r 10

代数法: 3x +y-6=0
x2 + y2 - 2y - 4=0 消去y得:x2-3x+2=0 =(-3)2-4×1×2=1>0

几何法:
圆心C(0,1)到直线L的距离 d=

|3? 0 ? 1 ? 6| ?
32 ? 12

所以直线L与圆C相交

所以方程组有两解, 弦长= 10 2 2 ( 5)2 ? ( ) ? 10 2 直线L与圆C相交

比较:几何法比代数法运算量少,简便。

小结.判断直线与圆位置关系的方法
方法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x2 + y2 +Dx+Ey+F=0

消元

一元二次方程

方法二:直线:Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2

d=

2.已知直线 y=x+1 与圆

x 2 ? y 2 ? 4 相交于A,B两点,求

弦长|AB|的值

解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形) 设圆心O(0,0)到直线的距离为d,则 y

2 d? ? 2 1 ? (?1) 2 ?| AB |? 2 r ? d ? 14
2 2

1

B r

A

d

O

x

练习:求直线3x+4y+2=0被圆 截得的弦长。

x ? y ? 2x ? 3 ? 0
2 2

例2、已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5,求直线l的 方程。
y

M

X+2y+9=0,或2x-y+3=0

. .

O

须意 分析:圆心(1,1),半径 r=1 考: 解:由直线被圆所截得的弦长为 2 得圆心到直线的距离为 虑当 直直 2 2 ? 12 ? ( 2 ) 2 ? 2 线 线 2 d ? r ?( ) 的的 2 2 2 斜斜 若直线 l 的斜率不存在,易知直线与圆相离,不符合题意 率率 则直线 l 的斜率存在且设为 k ,则直线方程为 是不 否知 y ? 2 ? k ( x ? 1) 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 存道 2 由圆心到直线的距离得 d ? | k ? 1 ? k ? 2 | ? | 2k ? 3 | 在 而 ? 2 2 17 k ?1 k ?1 。 要 2 k ? 或 k ? 1 解得: 设 7 17 故,所求直线的方程为 y ? 2 ? ( x ? 1)或y ? 2 ? x ? 1 时 7 ,

x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 l 被圆 P(?1,?2) 的直线 练习、已知过点 所截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程并画出图形。必 注
2 2

即 17x ? 7 y ? 3 ? 0或x ? y ?1 ? 0

三、判断点的个数问题

例3: 在圆(x+1) 2 +(y+2) 2 =8上到直 线x+y+1=0的距离为 2的点有 3 个. _____

A

p

.
B

练习:已知圆

x ? y ? 4,
2 2

直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1 (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1

(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1

练习1.已知圆C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25, 直线l : ( 2m ? 1) x ? ( m ? 1) y ? 7 m ? 4 ? 0( m ? R ) :

(1)证明直线l与圆C相交;
( 2)求直线 l被圆C截得的弦长最小时, 直线l的方程.

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点;

(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值
? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 5 (1)由? 得 解法1: ?mx ? y ? 1 ? m ? 0
B

代 数 方 法

(1+m ) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0*
2 2 2 2

A

则? ? 4m ? 4(m ?1)(m ? 5) ? 16m ? 20
4 2 2 2

l

? m ? R, 总有? ? 0

因此所证命题成立

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值

解法2:(1)由圆方程可知,圆心为(0,1), 半径为 r = 则 圆心到直线 l 的距离为
m2 1 d? ? ? 1? 2 2 2 1 ? m 1 ? m 1? m ?m

B
d r

A

l

几 ?m ? R,总有d< 5 因此所证命题成立 何 方 解法3:mx-y+1-m=0过定点(1,1)而 法 (1,1)在圆内,所以直线与圆相交。

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值 B
d r

A

l

(2)由平面解析几何的垂径定理可知
17 3 m 3 ? d ? 5 ? ? ,即 ? 2 4 4 1? m 4
2 2

17 2 r ? d ?( ) 2
2 2

得m 2 ? 3则m ? ? ?m 的值为 ? 3

3

课内练习
1、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,则过点M

最长的弦所在的直线方程是( C )
A.. C. x+y-3=0 x-y-3=0 B. 2x-y-6=0 D. 2x+y-6=0

2、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点,则以P为

x+y-5=0 中点的弦所在的直线方程___________________.

3.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆x2+y2=4所得劣弧 所对圆心角大小为_______.
y
B 圆心到直线距离 d=

3
O

M
A x

OM 3 cos ?MOA ? ? OA 2
得∠AOB=2∠MOA=600

直线与圆位置关系的判断
例 2:当 k 为何值时,直线 l:y=kx+5 与圆 C:(x-1)2+ y2=1:(1)相交?(2)相切?(3)相离?

思维突破:判断直线与圆的位置关系有两种方法:几何法
和代数法,使用时以几何法为主.

? ?y=kx+5 解法一(代数法):由? 2 2 ? ??x-1? +y =1

消去 y 得,

(x-1)2+(kx+5)2=1,即(k2+1)x2+(10k-2)x+25=0. 故Δ=(10k-2)2-4×25(k2+1)=-96-40k. 12 (1)当Δ>0,即 k<- 5 时,直线与圆相交.

12 (2)当Δ=0,即 k=- 5 时,直线与圆相切.
12 (3)当Δ<0,即 k>- 5 时,直线与圆相离.

解法二(几何法):圆心 C 的坐标为 C(1,0),半径 r=1,圆心

k+5 C 到直线 l 的距离 d= 2. 1+ k
|k+5| 12 (1)当 d<r,即 <1?k<- 5 时,直线与圆相交. 1+k2 |k+5| 12 (2)当 d=r,即 2=1?k=- 5 时,直线与圆相切. 1+ k |k+5| 12 (3)当 d>r,即 >1?k>- 5 时,直线与圆相离. 1+k2

1-1.求实数 b 的范围,使直线 y=x+b 和圆 x2+y2=2: (1)相交;(2)相切;(3)相离.

解法一:由圆 x2+y2=2 得圆心为(0,0),半径为 2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (1)相交?d= = <r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

解得-2<b<2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (2)相切?d= = =r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

解得 b=-2 或 b=2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (3)相离?d= = >r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

综上得 b<-2 或 b>2.

变式2:求实数 b 的范围,使直线 y=x+b 和圆 x2+y2=2:
(1)相交;(2)相切;(3)相离.

解法一:由圆 x2+y2=2 得圆心为(0,0),半径为 2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (1)相交?d= = <r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

解得-2<b<2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (2)相切?d= = =r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

解得 b=-2 或 b=2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (3)相离?d= = >r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

综上得 b<-2 或 b>2.

? ?y=x+b 解法二:由方程组? 2 2 ? ?x +y =2



得 2x2+2bx+b2-2=0,Δ=-4(b2-4). (1)当Δ>0,即-2<b<2 时,直线与圆相交.

(2)当Δ=0,即 b=-2 或 b=2 时,直线与圆相切.
(3)当Δ<0,即 b<-2 或 b>2 时,直线与圆相离.

弦长问题 例 3:直线 l:x+y+1=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦长 为________. 思维突破(方法一):圆心 C(3,0),r=3,如图 1,圆心 C(3,0)

|3+0+1| 到直线 l:x+y+1=0 的距离 d= =2 2
∴弦长|AB|=2 r2-d2=2 9-8=2.
(方法二):直线l:y=-x-1,斜率k=-1,
? ?x+y+1=0 ? 2 2 ? ??x-3? +y =9

2,

1 ?x -2x+2=0.
2

1 设 x1、x2 为 x2-2x+2=0 的两实数解,

图1

1 则 x1+x2=2,x1x2=2. ∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+1· 4-2= 2× 2=2.
答案:2

课堂小结:

代数法:
联立方程组

几何法:
求圆心坐标和半径r 求圆心到直线的距离 比大小
当d<r时,直线与圆相离; 当d=r时,直线与圆相离; 当d>r时,直线与圆相交。

消元(x或y)
求解△
若△>0,则直线与圆相交;
若△=0,则直线与圆相切; 若△<0,则直线与圆相离.

圆的弦长

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点;
? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 5 (1)由? 得 解法1: ?mx ? y ? 1 ? m ? 0

(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值
B

代 数 方 法

(1+m ) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0*
2 2 2 2

A

则? ? 4m ? 4(m ?1)(m ? 5) ? 16m ? 20
4 2 2 2

l

? m ? R, 总有? ? 0

因此所证命题成立

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值

解法2:(1)由圆方程可知,圆心为(0,1), 半径为 r = 则 圆心到直线 l 的距离为
m2 1 d? ? ? 1? 2 2 2 1 ? m 1 ? m 1? m ?m

B
d r

A

l

几 ?m ? R,总有d< 5 因此所证命题成立 何 方 解法3:mx-y+1-m=0过定点(1,1)而 法 (1,1)在圆内,所以直线与圆相交。

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值 B
d r

A

l

(2)由平面解析几何的垂径定理可知
17 3 m 3 ? d ? 5 ? ? ,即 ? 2 4 4 1? m 4
2 2

17 2 r ? d ?( ) 2
2 2

得m 2 ? 3则m ? ? ?m 的值为 ? 3

3

变式演练1
m为何值时,直线2 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 5
2 2

(1)无公共点;(2)截得弦长为2;
解: (1)由已知,圆心为O(0,0), 半径r ?

5,

圆心到直线2 x ? y ? m ? 0的距离d ?
因为直线与圆无公共点, ? d ? r ,即 m

m 2 ? (?1)
2 2

?

m 5

,

5 故当m ? 5或m ? ?5时,直线与圆无公共点。
(2)如图,有平面几何垂径定理知

? 5 ? m ? 5或m ? ?5
y d r 0 x

m r ? d ? 1 , 即5 ? ? 1得m ? ?2 5 5
2 2 2 2

故当m ? ?2 5时,直线被圆截得的弦长为2

思考: 2 2 1.求过点A(1,2)和圆 x ? y ? 1 相切的直线方程 2 2 2.求和圆 x ? y ? 2 相切且切点为P (1,1)的直线方程 3.若圆的半径为1,圆心在第一象限,且 与直线4x-3y=0和x轴都相切,求该圆的 标准方程

一、直线与圆的位置关系:

图a 图b

图c

(1)图a直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆 相交,这时直线叫圆的割线。 (2)图b直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆 相切, 直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做 切点。 (3)图c直线和圆没有公共点,叫做直线和圆相离。

直线与圆的位置关系
无交点时

图形

圆心到直线距离 d 与圆半径r之间关系

?值情况

1、直线和圆相离
有一个交点时

?

C2

d ?r

??0

2、直线和圆相切
有两个交点时

?

C2

d ?r
d ?r

??0 ??0

3、直线和圆相交

?

C2

几何方法 代数方法

圆的弦长

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点;
? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 5 (1)由? 得 解法1: ?mx ? y ? 1 ? m ? 0

(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值
B

代 数 方 法

(1+m ) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0*
2 2 2 2

A

则? ? 4m ? 4(m ?1)(m ? 5) ? 16m ? 20
4 2 2 2

l

? m ? R, 总有? ? 0

因此所证命题成立

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值

解法2:(1)由圆方程可知,圆心为(0,1), 半径为 r = 则 圆心到直线 l 的距离为
m2 1 d? ? ? 1? 2 2 2 1 ? m 1 ? m 1? m ?m

B
d r

A

l

几 ?m ? R,总有d< 5 因此所证命题成立 何 方 解法3:mx-y+1-m=0过定点(1,1)而 法 (1,1)在圆内,所以直线与圆相交。

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值 B
d r

A

l

(2)由平面解析几何的垂径定理可知
17 3 m 3 ? d ? 5 ? ? ,即 ? 2 4 4 1? m 4
2 2

17 2 r ? d ?( ) 2
2 2

得m 2 ? 3则m ? ? ?m 的值为 ? 3

3

变式演练1
m为何值时,直线2 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 5
2 2

(1)无公共点;(2)截得弦长为2;
解: (1)由已知,圆心为O(0,0), 半径r ?

5,

圆心到直线2 x ? y ? m ? 0的距离d ?
因为直线与圆无公共点, ? d ? r ,即 m

m 2 ? (?1)
2 2

?

m 5

,

5 故当m ? 5或m ? ?5时,直线与圆无公共点。
(2)如图,有平面几何垂径定理知

? 5 ? m ? 5或m ? ?5
y d r 0 x

m r ? d ? 1 , 即5 ? ? 1得m ? ?2 5 5
2 2 2 2

故当m ? ?2 5时,直线被圆截得的弦长为2


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