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二次曲线中的万能弦长公式


二次曲线中的万能弦长公式 王忠全 我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线,用设而不求的方法,可得到其弦长公式。 设直线方程为:y=kx+b(特殊情况要讨论 k 的存在性) ,二次曲线为 f(x,y)=0,把直线 2 2 2 方程代入二次曲线方程,可化为 ax +by +c=0, (或 ay +by+c=0) ,设直线和二次曲线的两交 点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

y=kx+b B(x2,y2)

f(x,y)=0 A(x1,y1)

那么:x1,x2 是方程 ax2+by2+c=0 的两个解,有 x1+x2=-

b c ,x1x2= , a a

| AB |=

(x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y 2 ) 2
? |a|

=

(x1 ? x2 )2 + (kx1 + b ? kx2 ? b) 2

= (1 + k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 = 1 + k 2 ? ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x 1 x 2 = 1+ k2

同理:若化为关于 y 的方程 ay2+by+c=0,则|AB|=

1+

1 ? . k2 | a |

例、已知过点 M(-3,-3)的直线 m 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线 m 的方程。 解析:设直线方程 m:y+3=k(x+3), 即 y=kx+3k-3,代入 x2+y2+4y-21=0,得 x2+k2x2+9k2+9+6k2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k2)x2+(6k2-2k)x+9k2-6k-24=0,那么

1+ k 2 即

36k 4 ? 24k 3 + 4k 2 ? 36k 4 + 24k 3 + 60k 2 ? 24k + 96 =4 5 |1+ k 2 |

= 4 5, 两边平方, 得 1+ k 2 64k 2 ? 24k + 96 = 80 + 80k 2, k 2 ? 24k ? 1616 = 0, k 2 ? 3k ? 2 = 0 16 2 1 k1 = ? , k 2 = 2, 所求直线方程为x + 2 y + 9 = 0, 或2 x ? y + 3 = 0 2

64k 2 ? 24k + 96

当 k 不存在时,直线 m 为 x=-3,代入 x2+y2+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6) |AB|= 8 ≠ 4 5 (不合题意) 综上所述: 所求直线方程为x + 2 y + 9 = 0, 或2 x ? y + 3 = 0 .

变式: 已知过点 M(-3,-3)的直线 m 被椭圆

x2 y2 + = 1 所截得的弦长为 2,求直线 m 的 16 4

方程。 评析:用公式解决弦长问题,计算量大,容易出错,这正是高考考查学生计算能力的一个重要方 面,这种“设而不求”的思想,在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。


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