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1.抛物线及标准方程


抛物线及其标准方程(1)

2013年9月23日星期一

学习目标: 1.理解抛物线的定义及参数的几何意义,明 确抛物线的焦点,准线的概念, 2.掌握抛物线的标准方程; 重点:抛物线的定义,根据条件求出抛物线的标 准方程. 难点:抛物线标准方程的建立和推导.

二、抛物线的定义:
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数 e ? 1,则这个点的轨迹是抛物线 . 动画1
动画2 动画3

l
定点F是抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线, 常数e=1是抛物线的离心率 .

d

.M .
F

三、抛物线的标准方程:
如图,以过F点垂直于直线l的直线为x轴, F 和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设 | FK |? p, ( p ? 0), M ( x, y), p p 则F ( ,0), l : x ? ? 2 2 p 2 p 2 ? MF ? d 即 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
y

l
K

d

.M
.
F

O

x

p2 p2 ? x 2 ? px ? ? y 2 ? x 2 ? px ? 4 4

? y 2 ? 2 px, ( p ? 0)(其中p是焦点到准线的距离)

--抛物线标准方程

抛物线的标准方程
图形
l

标准方程 焦点坐标准线方程
x

y o
F

y2=2px 相同点 (p/2,0) (1)顶点为原点; (p>0)

yl
F

o y
F

x

l

o y

x

l

o
F

x

不同点 (2)对称轴为坐标轴; (1)一次项 (3)顶点到焦点的距离等于顶 y2=-2px 点到准线的距离,其值为p/2. p/ (-p/2,0) 变量为x(y), x= 2 则对称轴为 (p>0) x(y)轴; (2)一次项系数 x2=2py y=-p/2 (0,p/2) 为正(负), (p>0) 则开口向坐标 轴的正(负) 2=-2py x 方向. p p
(p>0) (0,- /2) y= /2

x=-p/2

y
?

y
F
x
?

y
?

y
F

O

FO

x

O

x
l

O
?

l
F

x

y 2 ? 2 px p?0
相同点:
(1)顶点为原点;

y ? ?2 px
2

x 2 ? 2 py p?0

x 2 ? ?2 py p?0

p?0

(2)对称轴为坐标轴; (3)顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2. 不同点: (1)一次项变量为x(y),则对称轴为x(y)轴; (2)一次项系数为正(负),则开口向坐标轴的正(负)方向.

焦点坐标 准线方程 x=-p/2 y2=2px(p>0) (p/2,0)
y
l

标准方程

F

o
l

F

x

标准方程
x2=2py(p>0)

焦点坐 标 (0,p/2)

准线方程
y=-p/2


y
?


F
x


p?0









线

y 2 ? 2 px
O

p F ( , 0) 2
p F (? , 0) 2
p F (0, ) 2

p x?? 2

y

y 2 ? ?2 px
?

FO

x

p?0

p x? 2
p y?? 2

y
?

F

x 2 ? 2 py
x
l
l

O

p?0
x 2 ? ?2 py p?0

y
O
?

x

F

p F (0, ? ) 2

p y? 2

四、例题与练习:
例1、(1)已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x,求它的 焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程;

(3)已知抛物线的标准方程是 y= 6x2,求它的焦点坐标和 准线方程;
(4)已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
y

o
(-4,-2)

x

练习1:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0); 1 (2)准线方程 是x = ? ; 4 (3)焦点到准线的距离是2 . 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: 1 2 = 20x 2= (1)y (2)x 2 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0

3、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程 .


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