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高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用用定积分求面积素材新人教A版选修2-2教案


用定积分求面积
求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用. 把求平面图形的面积问题转化为求定 积分问题,充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧. 一、巧选积分变量 求平面图形面积时,要注意选择积分变量,以使计算简便. 例 1 求抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 围成的平面图形的面积. 解析:如图 1,解方程组 ?

? y2 ? 2x ?y ? x ? 4



? 2), (8, 4) . 得两曲线的交点为 (2,
方法一:选取横坐标 x 为积分变量,则图中阴影部分的面积应 该是两部分之和,即

S ? 2?

2

0

2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

8

3 3 4 2 1 2 8 2 2 ? 2 x |0 ? 2 ?x 2 |8 x |2 ?4 x |8 2 ? 2 ? 18 . 3 3 2

方法二:选取纵坐标 y 为积分变量,则图中阴影部分的面积可据公式求得,即
4 ? ? y2 1 ? 1 ? 4 S ? ? ? y ? 4 ? y 2 ? dy ? ? ? 4 y ? y 3 ? |?2 ? 18 . ?2 2 ? 6 ? ? ? 2

点评:从上述两种解法可以看出,对 y 积分比对 x 积分计算简捷.因此,应用定积分求 平面图形面积时,积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对 y 积分时,积分函数应 是 x ? ? ( y ) ,本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为 x ?

1 2 y 、 x ? y ? 4 的形式,然 2

后求得积分.另外还要注意的是对面积而言,不管选用哪种积分变量去积分,面积是不会变 的,即定积分的值不会改变. 二、巧用对称性 在求平面图形面积时, 利用函数所对应曲线的对称性解题, 也是简化计算过程的常用手 段. 例 2 求由三条曲线 y ? x , 4 y ? x , y ? 1 所围图形的面积.
2 2

解析:如图 2,因为 y ? x , 4 y ? x 是偶函数,根据对
2 2

称性,只算出 y 轴右边的图形的面积再两倍即可. 解方程组 ?

? y ? x2 ?y ?1

和?

?4 y ? x 2 ?y ?1



,,,, (11) (?2,,, 1) (2 1) . 得交点坐标 (?11)
方法一:选择 x 为积分变量,则
1

2? ? 1? x2 ? x2 ? ? ?? 1 ? 2 S ? 2 ? ? ? x 2 ? ? dx ? ? ?1 ? ? dx ? ? 2 ?? x3 ? |1 0 ? x |1 0 1 4 4 4 ? ?? ? ? ? ? ? ?

? 1 ? 2? 4 ? ? x3 ? |1 ?? 。 ? 12 ? ? 3

方法二:可以选择 y 为积分变量,求解过程请同学们自己完成. 点评:对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度. 三、分割计算 例 3 求由抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 及其在点 M (0, ? 3) 和点 N (3, 0) 处两条切线所围成 的图形的面积. 解析:由 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ,得 y? ? ?2 x ? 4 , ∴ y? |x ?0 ? 4 ,过 M 点的切线方程为 y ? 4 x ? 3 ;

y? |x?3 ? ?2 ,过 N 点的切线方程为 y ? ?2 x ? 6 .
又可求得两切线交点的横坐标为 x ?
3 2 0

3 ,故所求面积 2

3 9 2 2 ? S ?? ? (4 x ? 3) ? ( ? x ? 4 x ? 3) dx ? 3 ?2 ? ? ? ?(?2 x ? 6) ? (? x ? 4 x ? 3) ? ? dx ? 4 .

点评:本题求图形的面积,适当的分割是关键,故求出两切线交点,过交点作 x 轴垂 线,将图形分割成两部分,分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.

2


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