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高数 函数的单调性与极值_图文

高等数学
第十八讲
主讲教师:

王升瑞
1

第九节
函数的单调性与极值
一、函数的单调性 二、函数的极值及其求法

第二章

2

一、 函数的单调性
定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减) .

( f ?( x) ? 0) , 则
证: 无妨设

I 称为单调递增(递减) 区间。
任取
由拉格朗日中值定理得

?0

这说明 在 I 内单调递增. 证毕 3

例1. 确定函数
解: 令 f ?( x) ? 0 , 得 x ? 1, x ? 2 为驻点

的单调区间.

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2)

x
f ?( x) f ( x)


(?? , 1)

1
0

(1 , 2)

?

?

2 0 1

( 2 , ? ?) ?
y

2

2 的单调增区间为 (?? , 1) , (2 , ? ?); 1

的单调减区间为 (1 , 2).

o

1 2
4

x

说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.

例如,

y y ? 3 x2

o y

x

2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o

y ? x3
x

5

1 3 ? 例2 证明 tan x ? x ? x 0 ? x ? . 3 2 1 3 证:令 F ( x) ? tan x ? x ? x 3

2 2 ? F ( x) ? sec x ? 1 ? x ? tan 2 x ? x 2 ? (tan x ? x)(tan x ? x)



g ( x) ? tan x ? x
2 2

2 g ( x) ? tan x ? x ? g (0) ? 0 ? F ?( x) ? 0 F ( x) ? F (0) ? 0 1 3 ? 成立 从而 tan x ? x ? x 0 ? x ? 3 2

g ?( x) ? sec x ? 1 ? tan x ? 0 0 ? x ?

?

6

例3.

arctan x ( x ? 0) . 证明 ln(1 ? x) ? 1? x

证: 设 ? ( x) ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? arctan x , 则 ? (0) ? 0 1 ? ?( x) ? 1 ? ln(1 ? x) ? ?0 ( x ? 0) 2 1? x 故 x ? 0 时, ? ( x)单调增加 , 从而 ? ( x) ? ? (0) ? 0 arctan x 即 ln(1 ? x) ? ( x ? 0) 1? x 1 ? x ln(1 ? x) ? (0 ? x ? 1) 时, 如何设辅助 思考: 证明 1 ? x arcsin x 函数更好 ? 2 提示: ? ( x) ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 1 ? x arcsin x 7

2 x arctan x ? ln( 1 ? x 2 ) 证法一:设 f ( x) ? 2 x arctan x ? ln( 1 ? x 2 ) f (0) ? 0
例4 求证

2x 2x f ?( x) ? 2 arctan x ? ? ? 2 arctan x 2 2 1? x 1? x
当 x?0 时

f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0

f ( x) f ( x)

f ( x) ? f (0) ? 0 f ( x) ? f (0) ? 0

当 x?0 时
当 x?0 时

f ( x) ? 0

综上可知,无论 则不等式

x

为什么值,总有 f ( x) ? f (0) ? 0
2

2 x arctan x ? ln( 1 ? x )

成立。
8

例4

求证

2 x arctan x ? ln( 1 ? x )
2

证法2:设 f ( x) ? 2 x arctan x ? ln( 1 ? x 2 )

f (0) ? 0

2x 2x f ?( x) ? 2 arctan x ? ? ? 2 arctan x 2 2 1? x 1? x 对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理,有

2 x arctan x ? ln( 1 ? x ) ? 2 arctan ? ? x
2

式中 ? 在 0 与 x 之间,由于 arctan ? 与 x 同号, 则无论

x 为什么值,总有

f ( x) ? 0
2

则不等式

2 x arctan x ? ln( 1 ? x )

成立
9

例5 证明

证明



内单调增加。

此函数为幂指函数,两边取对数





上利用拉格朗日中值定理得

故当 从而 在

时,
10

内单调增加。

例5 证明方程 xe ? 2 在区间(0,1)内有且仅有一个实根。

x

证明: 设 f ? x ? ? xe x ? 2 在区间[0,1] 上连续,

f ?0? ? ?2 ? 0


f ?1? ? e ? 2 ? 0
使 f ?? ? ? 0
的根存在。又

由零点定理,? ? ? ?0,1?,

xe x ? 2

f ?? x ? ? e x ?1 ? x ? ? 0

? f ? x ? 单调增加。

f ? x ? 的图形至多与 x轴有一个交点,
所以方程仅有唯一解。
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二、函数的极值及其求法
定义: 在其中当 (1) 时,

则称




的极大点 ,
为函数的极大值 ;

(2)

则称 称



的极小点 , 为函数的极小值 .

极大点与极小点统称为极值点 .
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例如 (P146例4)

y

f ( x) ? 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 3
为极大点 , 是极大值;

2 1

为极小点 ,
注意:

是极小值 .

o

1 2

x

y

1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.

x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点

x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b

x
13

定理2(极值存在的必要条件)
如果 y ? f ( x) 在x0处可导,且在x0处取得极值,则

f ?( x) ? 0. (证明略)
使 f ?( x0 ) ? 0 的点称为函数 y ? f ( x) 的驻点。 定理2告诉我们,可导函数的极值点必定是驻点, 但驻点未必是极值点。 寻求函数的极值点首先要找

y ? f ( x) 的驻点以及不可导的点,再判断其是否为
极值点。
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定理 3 (极值第一判别法)

设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ?( x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) f ?( x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ; 如: x x ? x0 x0 x ? x0 0 + f ?( x) -
f ( x)
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(自证)

f ( x0 ) 为极小值

x0 为极小点
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例1. 求函数

的极值 .
2 x ? 5 ?5 ? 3 3x

1 5 2 ? 2 3 解: 1) 求导数 f ?( x) ? x ? x 3 3 3

2) 求极值可疑点 2; 令 f ?( x) ? 0 , 得 x1 ? 5
3) 列表判别

令 f ?( x) ? ? , 得 x2 ? 0.
2 5 2 , ? ?) (5

x (?? , 0) ? f ?( x) f ( x)

0 ? 0

2) (0 , 5

?

0 ? 0.33

?

其极大值为 是极大点, 是极小点, 其极小值为
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定理4 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .

? ?

f ?( x) f ?( x) ? f ?( x0 ) 证: (1) f ??( x0 ) ? lim ? lim x ? x0 x ? x0 x ? x0 x ? x0

由 f ??( x0 ) ? 0 知, 存在 ? ? 0 , 当0 ? x ? x0 ? ? 时, f ?( x) ? 0 ; 故当 x0 ? ? ? x ? x0 时, ? ? f ?( x) ? 0 , 当x0 ? x ? x0 ? ? 时, x0?? x0 x0?? 由第一判别法知 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数

的极值 .

f ?( x) ? 6 x ( x 2 ? 1) 2 ,

f ??( x) ? 6 ( x 2 ? 1)(5 x 2 ? 1)

2) 求驻点 令 f ?( x) ? 0 , 得驻点 x1 ? ?1, x2 ? 0 , x3 ? 1 3) 判别
因 f ??(0) ? 6 ? 0 , 故 为极小值 ;
y

又 f ??(?1) ? f ??(1) ? 0 , 故需用第一判别法判别.

?1

1
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x

1 例3 试问 a 为何值时, f ( x) ? a sin x ? sin 3 x 3 2 在 x ? ? 时取得极值 , 指出它是极大还是极小, 3 并求出该极值。
解: ? 由题意应有 f ?( x) ? 2 2 2 f ?( ? ) ? a cos( ? ) ? cos 3( ? ) 3 3 3 1 a ? a?2 ? a(? ) ? 1 ? ? ? 1 2 2 又 ? f ??( x) ? ? 2 sin x ? 3 sin 3x ,

? f ( x) 取得极大值为 f ( 2 ?) ? 3 3

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内容小结
1. 可导函数单调性判别

f ?( x) ? 0 , x ? I f ?( x) ? 0 , x ? I
2. 连续函数的极值

在 I 上单调递增

在 I 上单调递减

(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过 由正变负 由负变正 为极大值

为极小值 为极大值
为极小值

(3) 第二充分条件

? ?

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思考与练习
f ( x) ? f (a) 则在点 a 处 ( ? ? 1 , 1. 设 lim x ?a ( x ? a ) 2

B

).

( A) f ( x) 的导数存在 , 且 f ?(a) ? 0; ( B) f ( x) 取得极大值 ; (C ) f ( x) 取得极小值; ( D) f ( x) 的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 .

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2. 设 f ( x) 在 x ? 0 的某邻域内连续, 且 f (0) ? 0 , f ( x) lim ? 2 , 则在点 x ? 0 处 f ( x) ( D ). x ?0 1 ? cos x (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 f ?(0) ? 0 ; (C) 取得极大值 ;

f ?( x) ? 2, 提示: 利用极限的保号性 . lim x ?0 x
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(D) 取得极小值 .

3. 设 y ? f ( x) 是方程 y?? ? 2 y? ? 4 y ? 0 的一个解,

若 f ( x0 ) ? 0 , 且 f ?( x0 ) ? 0 , 则 f ( x) 在 x0 (
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:

A

)

f ??( x0 ) ? ? 4 f ( x0 ) ? 0
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作业 P149 1(1)(2);2; 3 (2)(4) ; 4 ;5(2), (3) (6); 6;7;8.

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思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ??( x) ? 0 , 则 f ?(0) , f ?(1) , f (1) ? f (0)

或 f (0) ? f (1) 的大小顺序是 ( B )

( A) ( B) (C ) ( D)

f ?(1) ? f ?(0) ? f (1) ? f (0) f ?(1) ? f (1) ? f (0) ? f ?(0) f (1) ? f (0) ? f ?(1) ? f ?(0) f ?(1) ? f (0) ? f (1) ? f ?(0)

提示: 利用 f ?( x) 单调增加 , 及

f (1) ? f (0) ? f ?(? ) (0 ? ? ? 1)
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2. 曲线 y ? 1 ? e

? x2

?1 , ( 的凹区间是 2 1 , ? ?) 2

1 ) 2

;

) 及 ( 凸区间是 (?? , ?1 2
拐点为 (? 提示:
1 2 , 1 ? e 2
?1

;

) .

y?? ? 2 e

? x2

(1 ? 2 x 2 )

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4、设函数 所确定,求

由方程 的极值。

解 方程两边同时对x求导整理得 令 得 代入原方程得 ,所以函数 在



处有极小值
27

9、设函数 内存在,且



内连续, ,证明当 单调增加。

在 时,函数





,故

单调增加,因此 从而知

单调增加。
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