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2016-2017学年高中数学苏教版必修5学业分层测评15 一元二次不等式的解法 Word版含解析

学业分层测评(十五)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,不等式 ax2 +bx+c≥0 的解集为________. 【解析】 由方程 ax2+bx+c=0 的根为 2,-1,知函数 y=ax2+bx+c 的

零点为 2,-1, 又∵a<0,∴函数 y=ax2+bx+c 的图象是开口向下的抛物线, ∴不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为{x|-1≤x≤2}. 【答案】 {x|-1≤x≤2}

2 ?x -1<0, 2.不等式组? 2 的解集为________. ?x -3x<0

【解析】

∵x2-1<0 的解集为{x|-1<x<1},

x2-3x<0 的解集为{x|0<x<3},
2 ?x -1<0, ∴? 2 的解集为{x|0<x<1}. ?x -3x<0

【答案】 3.不等式

{x|0<x<1} 3x-1 ≤0 的解集为________. x-2 不等式 ??3x-1??x-2?≤0, 3x-1 ≤0 等价于? x-2 ?x-2≠0,

【解析】

1 解得3≤x<2. 【答案】
? ? ?1 ?x? ≤x<2 ? ?3 ? ? ? ? ? ?

4.下列不等式中解集为实数集 R 的是__________.(填序号) ①x2+4x+4>0;② x2>0;③x2-x+1≥0; 1 1 ④x-1<x .

【解析】

①不等式可化为(x+2)2>0,∴解集为{x|x≠-2};②不等式解集

为{x|x≠0};③由 Δ=1-4<0,∴不等式解集为 R;④由定义域要求 x≠0,∴解 集为{x|x≠0}. 【答案】 ③

1? ? 1 5.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是?-2,-3?,则不等式 x2-bx-a<0 ? ? 的解集是________. 【解析】 1 1 由题意知,-2,-3是方程 ax2-bx-1=0 的两实根,

1 ? 1? b - ?= , ? - ? 2+? ? 3? a ∴? 1 ? 1? ? 1? -2?×?-3?=- , ? ?? a ? ? ? ? 解得 a=-6,b=5, ∴x2-bx-a<0?x2-5x+6<0?2<x<3. 【答案】 6.不等式 (2,3) ax <1 的解集为{x|x<1 或 x>2},那么 a 的值为________. x-1 【导学号:91730055】 【解析】 即 ax ax <1 化为 -1<0, x-1 x-1

?a-1?x+1 <0, x-1

等价于[(a-1)x+1](x-1)<0, ∴(a-1)x2-(a-2)x-1<0, ∴1,2 是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0 的两个根. a-2 ? ?1+2=a-1, ∴? 1 ? ?1×2=-a-1, 【答案】 1 2

1 解得 a=2.

7.关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,

则 a 等于__________. 【解析】 由题意知 x1,x2 是方程 x2-2ax-8a2=0 的两根,所以 x1+x2=

2a, x1x2=-8a2, 则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2, 又 x2-x1=15, 5 可得 36a2=152,又 a>0,则 a=2. 【答案】 5 2

2 ?x -4x+6,x≥0, 8 . 设 函 数 f(x) = ? 则 不 等 式 f(x)>f(1) 的 解 集 是 ?x+6,x<0,

__________. 【解析】 f(x)>3. ①当 x≥0 时,不等式即为
2 ?x -4x+6>3, ? ?x≥0,

f(1)=12-4×1+6=3,不等式即为

?x>3或x<1, 解得? ?x≥0, 即 x>3 或 0≤x<1; ?x+6>3, ②当 x<0 时, 不等式即为? ?x<0, 解得-3<x<0. 综上,原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞). 【答案】 二、解答题 9.解不等式 x2-3|x|+2≤0. 【解】 x2-3|x|+2≤0?|x|2-3|x|+2≤0? (-3,1)∪(3,+∞)

(|x|-1)· (|x|-2)≤0?1≤|x|≤2. 当 x≥0 时,1≤x≤2; 当 x<0 时,-2≤x≤-1. ∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1,或 1≤x≤2}. 10.已知函数 f(x) =x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不

等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),求实数 c 的值. 【解】 由函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),可知对于 x2
2

a2 a2 2 2 +ax+b=0,有 Δ=a -4b=0,即 b= 4 ,所以 f(x)=x +ax+b=x +ax+ 4 = a a ? a?2 ? a? ?x+2? ,由 f(x)=?x+2?2<c,解得- c- <x< c- . 2 2 ? ? ? ? 又不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6), a? ? a? ? 所以? c-2?-?- c-2?=2 c=6,解得 c=9. ? ? ? ? [能力提升]
? ? 1? 1.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x?x<-1,或x>2? ,则 f(10x)>0 的 ? ? ?

解集为________. 1? 1 ? 【解析】 由题知,一元二次不等式 f(x)>0 的解集为?-1,2?,即-1<10x<2 ? ? ?x<-lg 2. 【答案】 {x|x<-lg 2}

2. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数. 当 x>0 时, f(x)=x2-4x, 则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为__________. 【导学号:91730056】 【解析】 设 x<0,则-x>0,所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2
2 ?x -4x,x≥0, -4x,又 f(0)=0,所以 f(x)=? 2 当 x≥0 时,由 x2-4x>x,解得 ?-x -4x,x<0,

x>5;当 x<0 时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故 f(x)>x 的解集为(-5,0)∪(5, +∞). 【答案】 (-5,0)∪(5,+∞)

ax+b ? 1 1? 3 .若不等式 ax2 + bx + 1>0 的解集是 ?-3,2? ,则 x ≥0 的解集为 ? ? __________. 【解析】 1 1 由题知-3,2是方程 ax2+bx+1=0 的两根.

1 1 1 1 1 b ∴-3×2=a,-3+2=-a,∴a=-6,b=1.

把 a=-6,b=1 代入

ax+b x ≥0 得

-6x+1 1? ? ?0,6?. ≥ 0 ,∴解集为 x ? ? 【答案】 1? ? ?0,6? ? ?

4.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈ R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 【解】 由已知得 A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2},

(1)∵A∩B=[0,3], ?m-2=0, ∴? ?m+2≥3, ?m=2, ∴? ?m≥1, ∴m=2. (2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1, ∴m>5 或 m<-3. 故 m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).


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