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北京市数学(理)卷文档版(含答案详解)-2013年普通高等学校招生统一考试

2013 北京高考理科数学试题 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 2.在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 B. ( ) 2 3 C. 13 21 D. 610 987 5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= A. e x?1 B. e x?1 C. e ? x ?1 D. e ? x ?1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a 2 b2 1 2 A.y=±2x B.y= ? 2x C. y ? ? x D. y ? ? x 2 2 6.若双曲线 7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A. 4 3 B.2 C. 8 3 D. 16 2 3 ? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 8.设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0, 0)满足 x0-2y0=2, y 求得 m ?y ? m ? 0 ? 的取值范围是 A. ? ??, ? ? ? 4? ? 3? B. ? ??, ? ? ? 1? 3? C. ? ??, ? ? ? 2? ? 3? D. ? ??, ? ? ? ? 5? 3? 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中,点(2, ? )到直线 ρ sinθ =2 的距离等于 6 ;前 n 项和 Sn= 10.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= . 11.如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,PA=3, PD= ,AB= . PD 9 ? ,则 DB 16 12.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少一张,如果分给同一人的两 张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 13.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R) ,则 ? = ? 14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演 程 15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. 2013 年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过 (I)求 cosA 的值, (II)求 c 的值 16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空 气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市, 并停留 2 天 (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率 (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 17. (本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3, BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 BD 的值. BC1 18. (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C: y ? ln x 在点(1,0)处的切线. x (I)求 l 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方 19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W: x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4 (I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 20. (本小题共 13 分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列, 该数列前 n 项的最大值记为 An, n 项之后各项 an ?1 , n?2 … 第 a 的最小值记为 Bn,dn=An-Bn (I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*, an? 4 ? an ),写 出 d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是 1 或 2,且有无穷多项为 1 要使可行域存在,必有 m<-2m+1,要求可行域内包含直 1 1 1 x ? 1 上的点, 只要边界点(-m, 1-2m)在直线 y ? x ? 1 上方, 且(-m, m)在直线 y ? x ? 1 2 2 2 ? ? m ?

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