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江西省吉安县凤凰中学2014高中数学《2.3.1平面向量基本定理》学案 新人教A版必修4


江西省吉安县凤凰中学 2014 高中数学《2.3.1 平面向量基本定理》学 案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】 1.平面向量基本定理; 2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示;能够在具体问题中适当地 选取基底,使其他向量都能够用基底来表示. 3.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 【重点、难点】重点难点:平面向量基本定理的理解与应用. 自主学习案 【知识梳理】 1. 平面向量基本定理: ________ ________________________________________________________________________ __ _________________________________________________________ _ (1)我们把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)基底 给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数. 2. 向量的夹角 (1)已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫 a 与 b 的 .

?

?

?

?

?

?

?

(2)当 θ =0 时, a 与 b
?

?

?
?

;当 θ =π 时, a 与 b

?

?



(3)当 θ = 2 时, a 与 b 垂直,记

?

; .

(4)注意在两向量的夹 角定义,两向量必须是同起点, 夹角的范围

【预习自测】 1.设 e1 , e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A. e1 , e2 一定平行 C B. e1 , e2 的模相等

C.同一平面内的任一向量 a 都有 a ? ? e1 ? ? e2 (λ 、μ ∈R)

?

?

-1-

D.若 e1 , e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a ? ? e1 ? ? e2 (λ 、μ ∈R) 2. 已知非零不共线向量 a 与 b , m, n ? R, 且ma ? nb ? 0, 则 ( A. a ? b ? 0

?

?

?

?



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?

?

B.m=n=0

C.n=0, a ? 0

?

?

D.m=0, b ? 0

?

?

例2.已知向量 e1 , e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y) e1 +(2x-3y) e2 =6 e1 +3 e2 ,求 x-y 的 值.

? 变 式 : 已 知 向 量 a ? e1 ? 2e2
m+n= .

, b ? 2e1 ? e2 , c ? 2e1 ? 3e2 ,

? ? a ? m b ? n c, 且



-2-

例 3.如图,平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C,线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM,线 段 CD 上有一点 N 满足 CD=3CN,设 OA ? a , OB ? b , 试用 a , b 表示OM , ON .

?

?

? ?

变式: 如图所示,在平行四边形 OADB 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM ? c, AN ? d , 试 用 c, d , 表示 AB, AD. M

D

C

N A B

【当堂检测】 1. 已 知 向 量

? a ? e1 ? 2e2




b ? 2e1 ? e2 ,

其 中 e1 , e2 不 共 线 , 则 a ? b 与

?

?

c ? 6e1 ? 2e2 , 的关系(
A .不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

2. 已知 a , b 不共线,且 c ? ?1a ? ?2b (λ 1,λ 2∈R),若 c 与b 共线,则 λ 1=

?

?

?

?

?

?

?

.

3. 已知 λ 1 > 0 , λ 2 > 0 , e1 , e2 是一组基底,且 a ? ?1e1 ? ?2 e2 , 则 a 与 e1 _____ , a 与

?

?

?

?

-3-

e2 _________(填共线或不共线).
4.等边△ABC 中, AB 与 BC 的夹角是 课后练习案 1. 下面三种说法正确的是( ) ① 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底; ② 一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底; ③ 零向量不可为基底中的向量. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

5.△ABC,D 、E、F 分别是 AB、B C、CA 上的中点,已知 AB = a , AC = b ,用 a ,b 表示 DE ,

?

?

?

?

EF , AE .

-4-


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