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【全国百强校】宁夏回族自治区银川一中2016届高三上学期第五次月考数学(文)试题


银川一中 2016 届高三年级第五次月考

数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {x ? Z x ? 3 ? 2},则集合 C U A ? A.{1, 2, 3, 4} B.{2, 3, 4} C.{1,5} D.{5} 2.已知 ? 、 ? 是两个不同平面, m 、 n 是两不同直线,下列命题中的假命题是 A. 若m // n, m ? ? , 则n ? ? C. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? 3.已知等差数列{ an }中, a7 ? A. ? B. 若m // ? ,? ? ? ? n, 则m // n D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

?
4

,则 tan( a6 ? a7 ? a8 )= C.-1 D.1

3 3

B. ? 2
1 x ? x 2 的定义域为 x ?1

4.函数 f ( x ) ? ln A.(0,+∞) C.(0,1)

B.(1,+∞) D.(0,1) ? (1,+ ? )

5.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体 的三视图如图所示,则该截面的面积为 A.
3 10 2

B. 4

C.

9 2

D. 5

2 2 6.已知圆 x ? y ? mx ?

1 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 的准线相切,则 m= 4 4
C. 2 D.± 3

A.± 2 2

B. 3

0?) 的单调递增区间是 7.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? ? ? π,
A. ? ? π, ?

? ?

5π ? 6? ?

B. ? ?

? 5π π ? , ? ? 6? ? 6

C. ? ? , 0?

? π ? ? 3 ?

D. ? ? , 0?

? π ? ? 6 ?

8.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是

高三第五次月考数学(文科)试卷

第 1 页(共 2 页)

A.

3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

9.有下列四个命题: p1: ?x, y ? R,sin( x ? y ) ? sin x ? sin y ; p2:已知 a>0,b>0,若 a+b=1,则

1 4 ? 的最大值是 9; a b

p3:直线 ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 过定 点(0,-l); p4:曲线 y ? 4 x ? x3 在点 ? ?1, ?3? 处的切线方程是 y ? x ? 2 其中真命题是 A.p1,p4 B.p1p2, C.p2,p4 D.p3,p4

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , ,若目标函数 z ? y ? ax 取得最大值时的唯一最 ?2 x ? y ? 5 ? 0, ?
优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为 A.a<-l B.0<a<l C.a≥l
AB AB ? AC AC

D.a>1
) ? BC ? 0 ,且 AB AB ? AC AC ? 1 , 2

11.已知在△ABC 中,向量 AB 与 AC 满足 ( 则△ABC 为

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 12.已知 f′(x)是奇函数 f(x)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时, xf′(x)﹣f(x)>0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点(3,﹣4),则此双曲线的离心率为 14.函数 y ? loga (2 x ? 3) ? 则 f(9)=_____________ 15.若 sin(? ? x) ? sin( ? ? x) ? .

2 的图像恒过定点 P,P 在幂函数 y=f(x)的图像上, 2
1 ,,则 sin2x= 2

3 2



2 2 2 16.关于 x 的方程 ( x ? 4) ? 4 x ? 4 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;

高三第五次月考数学(文科)试卷

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②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 6 个不同的实根; ⑤存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中真命题的序号是 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔 底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测得 (写出所有真命题的序号). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测
得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB . 18. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) . (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 19. (本小题满分 12 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别 BD、 BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2,AD=AB= 2 (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 2

P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点.
(1) 求抛物线 C 的方程; (2)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x (a为实常数 ).
2

(1)当

时,求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值及相应的 值;

(2)当 x ? [1, e] 时,讨论方程 f ( x) ? 0 根的个数. (3)若 ,且对任意的 x1 , x2 ? [1, e] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

1 1 , ? x1 x2

高三第五次月考数学(文科)试卷

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求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙ O 是 ? ABC 的外接圆, AB ? BC , AD 是 BC 边上的高, AE 是⊙ O 的直径. (1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)过点 C 作⊙ O 的切线交 BA 的延长线于点 F , 若 AF ? 2 , CF ? 4 ,求 AC 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin? , ? ? ? ? , ? ? ?2 ? ? ? (1)求半圆 C 1 的参数方程; (2)设动点 A 在半圆 C 1 上,动线段 OA 的中点 M 的轨迹为 C 2 ,点 D 在 C 2 上,C 2 在点 D 处 的切线与直线 y ?

3 x ? 2 平行,求点 D 的直角坐标.
1 x?3 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ?| x ? 1 | ? | x ? a | , g ? x ? ?

(1)当 a ? ? 2 时,求不等式 f ? x ? ? g ? x ?的解集;

(2)若 a ? ?1 ,且当 x ? ?? a ,1? 时,不等式 f ? x ? ? g ? x ?有解,求实数 a 的取值范围.

高三第五次月考数学(文科)试卷

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银川一中 2016 届高三年级第五次月考数学(文)答案
一、选择题 题号 答案 13.
5 5 or 3 4

1 C 14.

2 B
1 3

3 C 15. ?
3 4

4 B

5 C

6 D

7 D

8 C

9 A

10 D

11 D

12 B

16. ①②③⑤

17.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .
由正弦定理得 所以 BC ?

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s · sin ? . ? sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? . sin(? ? ? )

在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

18.解: (Ⅰ)? an?1 ? 2Sn ,

? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,?
又? S1 ? a1 ? 1 ,

Sn ?1 ? 3. Sn

? 数列 ?Sn ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ? N* ) .
当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2? 3n?2 (n ≥ 2) ,

n ? 1, ?1, ? an ? ? n?2 3 ,n ≥ 2. ???
(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1; 当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4? 30 ? 6? 31 ? ?? 2n? 3n?2 ,…………①

3Tn ? 3 ? 4? 31 ? 6? 32 ? ?? 2n? 3n?1 ,………………………②
① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ??? 3n?2 ) ? 2n? 3n?1

3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2 ? 2? ? 2n? 3n ?1 1? 3

? ?1 ? (1 ? 2n)? 3n?1 .
?Tn ? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) . 2 ? 2?

A

1 ? 1? 又?T1 ? a1 ? 1也满足上式,?Tn ? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?
M O D C

高三第五次月考数学(文科)试卷

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E

19.方法一: (I)证明:连结 OC

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC .

? BD ? OC ? O, ? AO ? 平面 BCD
(II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角
在 ?OME 中,

EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

? OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?
面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为
2 . 4
2

? cos ?OEM ?

2 , ? 异 4

20.(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由 解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2 2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 y ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ? 以切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

x12 x2 1 1 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 所 2 2 4 4

x x2 x1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 ,同理可得切 2 2 2

线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解.

所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 .

21、 解: (1) 又 故 , ,当

, 当

时,

. 当

时,



时,取等号

-------4 分

高三第五次月考数学(文科)试卷

第 6 页(共 2 页)

(2)易知

,故

,方程

根的个数等价于

时,方程

根的个

数. 设 当 , 当 当 当

= 时,

, ,函数 ,作出 时,即 递减,当 与直线 时,方程 时,方程 有 0 个根; 有 1 个根; -------10 分 时, ,函数 递增.又

的图像,由图像知: 有 2 个相异的根;

或 时,方程

(3)当

时,



时是增函数,又函数

是减函数,不妨设





等价于



,故原题等价于函数



时是减函数,

恒成立,即



时恒成立.

在 (其他解法酌情给分)

时是减函数

-------16 分

高三第五次月考数学(文科)试卷

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