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最新-2013版高中全程复习方略配套课件:2.1函数及其表示(数学文人教A版湖南专用)(共63张PPT)-PPT文档资料_图文

第一节 函数及其表示

三年16考 高考指数:★★★ 1.了解构成函数的要素,会求一些函数的定义域和值域,了解 映射的概念; 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函 数; 3.了解简单的分段函数,并能简单的应用.

1.函数的概念、定义域及其表示(特别是分段函数)是近几年 高考命题的热点. 2.常和对数、指数函数的性质等相结合考查,有时也会命制 新定义问题. 3.题型主要以选择、填空题为主,属中低档题.

1.函数与映射的概念

函数

映射

建立在两个非空_数__集___A 到B上的一种_确__定__的对

建立在两个非空_集__合__A到B 上的一种_确__定__的对应关系f,

定 义

应关系f,其要求:集合 其要求:集合A中的__任__意__一 A中的_任_意___一个_数__x__,

个__元__素__x,在集合B中都有

在集合B中都有_唯__一_确__定__ _唯__一__确__定__的_元__素__y_与之对应

的数_f_(_x_)_和它对应

记 法

y=f(x),x∈A

f:A→B

【即时应用】

(1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填

“是”或“否”)

①A=R,B={x|x>0},f:x→|x|;

()

②A=R,B=R,f:x→x2;

()

③A=Z, B=R,f:x→ x ; ④A=Z,B=Z,f:x→x2-3.

() ()

(2)设A={0,1,2,4},B={ 1 ,0,1,2,6,8},判断下列对应关系
2
是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)

①f:x→x3-1

()

②f:x→(x-1)2

()

③f:x→2x-1

()

④f:x→2x

()

【解析】(1)①否,因为A中的元素0在B中没有对应元素; ③否,因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素; ②④是,满足函数的定义,是从A到B的函数. (2)①不是,当A中的x=0,2,4时在B中没有对应元素; ②不是,当A中的x=4时在B中没有对应元素; ③是,满足映射的定义,是从A到B的映射; ④不是,当A中的x=2时在B中没有对应元素. 答案:(1)①否 ②是 ③否 ④是 (2)①否 ②否 ③是 ④否

2.函数的构成要素 函数由_定__义__域__、_值__域___、_对__应__关__系___三个要素构成,对函数 y=f(x),x∈A,其中, (1)定义域:自变量x的_取__值__范__围__A__. (2)值域:函数值的集合{_f_(_x_)_|_x_∈__A_}_.

【即时应用】

(1)判断下列各组函数中,是否是同一函数.(请在括号中填

“是”或“否”)

①f(x)=x与g(x)= ( x ) 2

②f(x)=|x|与g(x)= 3 x 3

③f(x)=x|x|与

g(x)=

?? x 2

? ??-x

2

x>0 x<0

④f(x)= x 2 ? 1 与g(t)=t+1(t≠1)

x ?1

() () () ()

(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为_____. (3)设集合 A?{x|y? x?2} ,集合B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B=_________.

【解析】(1)①否,函数f(x)与g(x)的定义域不同; ②否,函数f(x)与g(x)的对应关系不同; ③否,函数f(x)与g(x)的定义域不同; ④是,函数f(x)= x 2 ?=1 x+1(x≠1)与g(t)=t+1(t≠1)是同一函
x ?1
数. (2)当x取0,1,2,3时,对应的函数y的值依次为0,-1,0,3, 所以其值域为{-1,0,3}.

(3)已知A={x|x-2≥0}={x|x≥2},B={y|y≥0}, ∴A∩B={x|x≥2}. 答案:(1)①否 ②否 ③否 ④是 (2){-1,0,3} (3){x|x≥2}

3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有:_解__析__法___,_列__表__法___和__图__象__法___.

【即时应用】 (1)下列四个图象是函数f(x)=x+ x 的图象的是________.
x
(2)若 f( x?1)?x?2x,则f(x)的解析式为_______.

【解析】(1)∵ f ?x? ????xx∴??11①,,xx正< >00确,.
(2)方法一:令t= x+1,则x=(t-1)2,t≥1,代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二:∵ x?2x?( x?1)2?1, ∴ f (x ? 1 )? (x ? 1 ) 2 ? 1 .又 x ? 1 ? 1 , ∴f(x)=x2-1(x≥1).
答案:(1)① (2)f(x)=x2-1(x≥1)

4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因_对__应__关__系__不同而分别用 几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

【即时应用】

(1)已知函数f(x)=

?x ?? ?

? x

1, x ? 3,

?1 , x>1



f (f ( 5 )) 2

=_______.

??x ? 2,x ? ?1

(2)设f(x)=

? ?

x

2

,

?

1<

x<

2

,

? ?

2

x

,

x

?

2

若f(x)=3,则x=________.

【解析】(1)∵ f(5)??5?3?1,
22 2
∴ f(f(5))?f(1)?1?1?3.
2 22 2
(2)当x≤-1时,-x+2=3,得x=-1,符合要求;

当-1<x<2时,x2=3,得x=±3 ,只有 3 符合要求;

当x≥2时,2x=3,得x=3 ,不符合要求.
2

综上可知,x=-1或 3 .

答案:(1) 3
2

(2)-1或

3

求简单函数的定义域、值域 【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 (组)求解.

(3)对抽象函数: ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的 定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为 g(x)在x∈[a,b]时的值域. 2.求简单函数值域的方法 (1)观察法;(2)图象观察法;(3)单调性法;(4)分离常数法; (5)均值不等式法;(6)换元法.

【例1】(1)(2012·大连模拟)求函数f(x)= lg ( x 2 ? 2 x ) 的定义
9 ? x2
域; (2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(x)的定义域;
(3)求下列函数的值域. ①y=x2+2x,x∈[0,3],②y=log3x+logx3-1, ③ y = 2 x 2 -1.

【解题指南】(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组 求解即可; (2)要明确2x与f(x)中x的含义,从而构建不等式求解; (3)根据解析式的特点,分别选用①图象观察法;②均值不等式 法;③单调性法求值域.

【规范解答】(1)要使该函数有意义,

需要

?? x ? ?? 9

2 ? 2 x则> 0有, :
? x 2> 0

??? ?x <3<0或x <x3>2,

解得:-3<x<0或2<x<3,

所以所求函数的定义域为 (-3,0)∪(2,3).

(2)∵f(2x)的定义域为[-1,1],
即-1≤x≤1,∴ ≤1 2x≤2,
2
故f(x)的定义域为[ 1 ,2].
2

(3)①y=(x+1)2-1在[0,3]上的图象如图所示,
由图象知:0≤y≤32+2×3=15, 所以函数y=x2+2x,x∈[0,3]的值域为[0,15].

②∵ y?log3x?l,og1定3x义?1域为(0,1)∪(1,+∞),

当0<x<1时,y??2(?log3x)(?log 13x)?1??3,

当x>1时,y?2

1 log3x log3x?1?1,

综上可知,其值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).

③因为x2-1≥-1,又y=2x在R上为增函数,
∴ y?2x2?1 ?2?1 ?1.
2
故值域为[ 1 ,+∞).
2

【反思·感悟】1.由解析式求函数的定义域,其实质就是以函数 解析式有意义为准则,列出不等式(组),从而求解. 2.f(g(x))的定义域为[a,b],指的是x的取值范围是[a,b], 而不是g(x)的取值范围是[a,b]. 3.求函数的值域时,若能画出图象,则用图象观察法求解;若 能判断单调性则用单调性法求解;若能满足用基本不等式的条 件,则用基本不等式求解.

分段函数及其应用 【方法点睛】确定与应用分段函数的一般步骤 首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计 算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定 时,要分类讨论. 【提醒】分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

【例2】(1)(2012·北京模拟)已知函数 f?x?????? ?x x? ?11((? 0< 1?xx?< 1)0),
则f(x)-f(-x)>-1的解集为( )
(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(B)[-1, ? 1 )∪(0,1]
2
(C)(-∞,0)∪(1,+∞)
(D)[-1, ? 1 ]∪(0,1)
2

(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部 分组成,求函数的解析式.

【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解,再求其并集.

(2)已知图象形状,求解析式,可用待定系数法.

【规范解答】 (1)选B.①当-1≤x<0时,0<-x≤1,此时

f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,

∴f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1,

得x< ? 1,则-1≤x< ?. 1

2

2

②当0<x≤1时,-1≤-x<0,此时,f(x)=-x+1,f(-x)=
-(-x)-1=x-1,
∴f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1, 解得x< 3 ,则0<x≤1.
2
故所求不等式的解集为[-1, ? )1 ∪(0,1].
2

(2)根据图象,设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x≤1).

∵点(1,1),(0,2)在射线上,



? ? ?

k b

? ?

b解? 得1 ,
2

?k ? ?1

? ?

b

?

2

.

∴左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1);

同理,x≥3时,函数的解析式为y=x-2(x≥3).

再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a

<0),

∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,a=-1,
∴1≤x≤3时,函数的解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
??x ?2,x<1
综上,函数的解析式为 y ? ???x2 ?4x ?2,1? x ? 3.
??x ?2,x>3

【反思·感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是 各段值域的并集,最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的值.

求函数值 【方法点睛】求函数值的类型及解法 (1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则; (2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时 要分类讨论; (3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数 求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解; (4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数 关系,适当赋值,从而求得待求函数值.

【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,

且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求

f ( f 的( 5 值) ) .
2

【解题指南】求解该题,需知道f(x),f(x+1)满足的关系式,将

f(x+1)用f(x)表示,然后再给x赋值,先求出 f ( f ( 5的) )值.
2

,f ( 5再) 求
2

【规范解答】若x≠0,则有 f?x?1??1?取xxf=?x?, ,
x

?1 2

则有 f(1 2)?f(?1 2?1)?1? ?11 2f(?1 2)??f(?1 2)??f(1 2).
2

(∵f(x)是偶函数,∴ f(?1)由? f此(1得)).
22

f (1 ) ? 0, 2

于是,f(5 2)?f(3 2?1 )?1? 33 2f(3 2)?5 3f(3 2)?5 3f(1 2?1 )?5 3(1? 11 2)f(1 2)

2

2

? 5f ( 1 ) ? 0, 2

若x=0,则0×f(0+1)=(1+0)f(0),有f(0)=0,
∴ f(f(5))?f?0??0.
2

【反思·感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质,但又不知 道函数解析式的求值问题,求解时应根据该抽象的函数关系的 结构特征,结合待求值的特点,给变量赋予特殊值,从而使问 题具体化、简单化,达到求出函数值的目的.

【创新探究】与函数有关的新定义问题 【典例】(2011·广东高考)设f(x),g(x),h(x)是R上的任意
实值函数,如下定义两个函数 ?f g?(x) 和(f·g)(x);对任 意x∈R,?f g?(x) =f(g(x));(f·g)(x)=f(x)g(x).则下列等
式恒成立的是( )

?A???f g? h??x? ? ??f h? ?g h??(x) ?B???f g? h??x? ? ??f h? ?g h??(x) ?C???f g? h??x? ? ??f h? ?g h??(x) ?D???f g? h??x? ? ??f h? ?g h??(x)
【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪,从而作
出判断.

【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表,

选项

分析

结论

((f g) h)?x ? ? ?f g ??x ?h(x)
? f ?g?x??h?x?;
A ((f h) (g h))(x) ? (f h)((g h)(x))
? (f h)(g(x)h(x))
? f ?g?x?h?x??h?g?x?h?x??;

等式 不恒成立

选项

分析

结论

((f g) h)?x? ?(f g)?h?x??
?f ?h?x??g?h?x??;
B ((f h) (g h))?x? ?(f h)?x?(g h)?x?
?f ?h?x??g?h?x??;

等式 恒成立

选项

分析

((f g) h)?x ? ? (f g)?h ?x ??
? f ?g?h?x???;
C ((f h) (g h)) ? x ? ? (f h)((g h) ?x ?)
? (f h)?g ?h ?x???
? f ?h?g?h?x????;

结论
等式 不恒成立

选项

分析

结论

((f g) h)?x? ?(f g)?x?h?x?

?f ?x?g?x?h?x?;

D

((f h) (g h))?x? ?(f h)?x?(g h)?x?

?f ?x?h?x?g?x?h?x?.

等式 不恒成立

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创 新点拨和备考建议:
本题有以下创新点: 创 (1)本题为新定义问题,命题背景、题目设置新颖. 新 (2)考查内容创新:本题是将新定义的两个函数用 点 于辨别与之有关的等式是否恒成立问题,主要考查 拨 对新定义抽象函数的理解,需要考生有较强的理解
能力、推理论证能力和抽象概括能力.

对于这类与函数有关的新定义、新运算试题,我们 在备考2013年高考中,要高度关注以下几点: 备 (1)熟练掌握函数有关的概念、运算; 考 (2)强化对该类试题的训练,能正确理解所给的新 建 定义、新运算,会类比函数有关的定义、运算熟练 议 求解; (3)平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应 用能力及转化与化归的能力.

1.若 f ?x? ? 1 , 则f(x)的定义域为( )
log1 (2x ?1)

(A)( ? 1 ,0) 2
2

(B)( ? 1 ,+∞)
2

(C)( ? 1 ,0)∪(0,+∞)
2

(D)( ? 1 ,2)
2

【解析】选C.要使函数f(x)有意义,

则需

??2x ?

?log ??

1 2

1? 0
?2x ?

即1? ?

0

,

?x ? 0

?

? ??

x

?

?

1 2

,

∴f(x)的定义域为( ?,01 )∪(0,+∞).

2

2.(2011·北京高考)根据统计,一名工人组装第x件某产品

?

所用的时间(单位:分钟)为

f

?

x

?

?

?? ?

?

c , x< A

x

(A,c为常数),

c ,x ? A

?? A

已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分

钟,那么c和A的值分别是( )

(A)75,25

(B)75,16

(C)60,25

(D)60,16

?
【解析】选D.当A>4时,???

f

?f

?4? ? ?A ? ?

c 2

? c

30 ?

, 15

??

A

解得c=60,A=16;

当A≤4时,

? ?? ?

f

?

4

?

?

?f ?A ? ?

c A c

? 30 ? 1 5,

??

A

无解.

3.(2011·江苏高考)已知实数a≠0,函数 f?x?????2?xx??a2,ax,< x1?1,
若f(1-a)=f(1+a),则a的值为_______.
【解析】当a>0时,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)可得
2-2a+a=-1-a-2a,解得a?=3 ,不合题意;
2
当a<0时,1-a>1,1+a<1,由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=
2+2a+a,解得a ? ? 3 .
4
答案:? 3
4

4.(2011·湖南高考)给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对 于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k. (1)设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为_______; (2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个 数为________.

【解析】(1)本题定义的函数有两个条件,一是定义域和值域都 是正整数,二是对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.那么n=1 时只要满足函数值是正整数即可,所以答案是a(a为正整数). (2)∵k=4,∴n>4的正整数都一一对应,只要对n≤4的进行定义, 又∵f(n)=2或f(n)=3,∴f(1)=2或3,f(2)=2或3,f(3)=2或3, f(4)=2或3,所以f的个数为:2×2×2×2=16. 答案:(1)a(a为正整数) (2)16

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