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[K12学习]2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2_1.1.3四种命题间的相互关系优化练

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1.1.2-1.1.3 四种命题间的相互关系
[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.与命题“能被 6 整除的整数,一定能被 3 整除”等价的命题是( A.能被 3 整除的整数,一定能被 6 整除 B.不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除 C.不能被 6 整除的整数,一定不能被 3 整除 D.不能被 6 整除的整数,能被 3 整除 解析:即写命题“若一个整数能被 6 整除,则一定能被 3 整除”的逆否命题. 答案:B 2.“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A、∠B 全是锐角”的否命题为( A.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 全不是锐角 B.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不全是锐角 C.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 中必有一个钝角 D.以上均不对 解析:“全是”的否定是“不全是”,故选 B. 答案:B 3.命题“若 x=3,则 x -9x+18=0”,那么它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题 的个数有( A.0 个
2 2

)

)

) B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:∵x -9x+18=0,∴(x-3)(x-6)=0.∴x=3 或 x=6.∴逆命题为假,从而否命题 为假. 又原命题为真,则逆否命题为真. 答案:B 4.下列说法中错误的个数是( )

①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若 x>1,则 x-1>0”的否命题是“若 x≤1,则 x-1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数” ④命题“x=-4 是方程 x +3x-4=0 的根”的否命题是“x=-4 不是方程 x +3x-4=0 的根” A.1 B.2 C.3 D.4
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解析:①错误,否命题是“若一个函数不是余弦函数,则它不是周期函数”;②正确;③错 误,否命题是 “若两个数不全为正数,则它们的和不为正数”;④错误,否命题是“若一 个数不是-4,则它不是方程 x +3x-4=0 的根”. 小初高学习+K12
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小初高学习+K12 答案:C 5.命题“若 a、b 都是奇数,则 ab 必为奇数”的等价命题是( A.如果 ab 是奇数,则 a,b 都是奇数 B.如果 ab 不是奇数,则 a,b 不都是奇数 C.如果 a,b 都是奇数,则 ab 不是奇数 D.如果 a,b 不都是奇数,则 ab 不是奇数 解析:等价命题即为逆否命题,故选 B. 答案:B 6.命题“若 x≠1,则 x -1≠0”的真假性为________. 解析:可转化为判断命题的逆否命题的真假,由于原命题的逆否命题是:“若 x -1=0,则
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)

x=1”,因为 x2-1=0,x=±1,所以该命题是假命题,因此原命题是假命题.
答案:假命题 7.命题“当 AB=AC 时,△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命 题中,真命题有_______________________________________________________个. 解析: 原命题为真命题, 逆命题“当△ABC 是等腰三角形时, AB=AC”为假命题, 否命题“当

AB≠AC 时,△ABC 不是等腰三角形”为假命题,逆否命题“当△ABC 不是等腰三角形时, AB≠AC”为真命题.
答案:2 8.已知命题“若 m-1<x<m+1,则 1<x<2”的逆命题为真命题,则 m 的取值范围是 ________. 解析:逆命题为“若 1<x<2,则 m-1<x<m+1”,是真命题, ∴(1,2)? (m-1,m+1), 即?
?m-1≤1, ? ? ?m+1≥2,

∴1≤m≤2.

答案:[1, 2] 9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假. (1)若实数 a,b,c 成等比数列,则 b =ac; (2)函数 y=logax(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上是减函数时,loga2<0. 解析:(1)逆命题是:若 b =ac,则 a,b,c 成等比数列,假命题; 否命题是:若实数 a,b,c 不成等比数列,则 b ≠ac,假命题; 逆否命题是:若实数 a,b,c 满足 b ≠ac,则 a,b,c 不成等比数列,真命题. (2)逆命题:若 loga2<0,则函数 y=logax(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上是减函数,是真命题; 否命题:若函数 y=logax(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上不是减函数,则 loga2≥0,是真命题; 逆否命题:若 loga2≥0,则函数 y=logax(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上不是减函数,是真命 小初高学习+K12
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小初高学习+K12 题. 1 2 10.写出命题“若 a≥- ,则方程 x +x-a=0 有实根”的逆命题、否命题和逆否命题,并 4 判断它们的真假. 1 1 2 2 解析:逆命题:若方程 x +x-a=0 有实根,则 a≥- ,否命题:若 a<- ,则方程 x +x 4 4 1 2 -a=0 无实根, 逆否命题: 若方程 x +x-a=0 无实根, 则 a<- .由 Δ =1+4a≥0 可得 a≥ 4 1 - ,所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题. 4 [B 组 能力提升] 1.对于原命题“周期函数不是单调函数”,下列陈述正确的是( A.逆命题为“单调函数不是周期函数” B.否命题为“周期函数是单调函数” C.逆否命题为“单调函数是周期函数” D.以上三者都不对 解析:其逆命题、否命题、逆否命题的表述都不正确. 答案:D 2.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则它的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命 题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( A.3 B.2 C.1 ) D.0 )

解析:原命题是真命题,因为幂函数的图象不过第四象限,反过来,图象不过第四象限时, 该函数不一定是幂函数,所以逆命题为假命题,根据等价命题的真假性相同可知,否命题为 假命题,逆否命题为真命题,故选 C. 答案:C 3 .命题“已知不共线向量 e1 , e2 ,若 λ e1 + μ e2 = 0 ,则 λ = μ =0”的等价命题为 __________________________________,是________命题(填“真”或“假”). 解析:等价命题即为原命题的逆否命题. 由于原命题是真命题,∴逆否命题也是真命题. 答案:已知不共线向量 e1,e2,若 λ ,μ 不全为 0,则 λ e1+μ e2≠0 真 4.设有两个命题: ①关于 x 的不等式 mx +1≥0 的解集是 R; ②函数 f(x)=logmx 是减函数(m>0 且 m≠1). 如果这两个命题中有且只有一个真命题,则 m 的取值范围是________. 解析:对①当 m=0 时,1≥0,mx +1≥0 的解集是 R, 小初高学习+K12
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?m>0, ? 当 m≠0 时,? ?Δ =-4m≤0, ?

∴m>0,

∴①为真命题时,m≥0. 对②,∵f(x)=logmx 是减函数, ∴0<m<1,而②为真命题时,0<m<1. 当①真②假时,有?
? ?m≥0, ?m>1, ?

即 m>1;

? ?m<0, 当①假②真时,有? ?0<m<1, ?

即 m∈?.

答案:m>1 5.判断命题“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”的逆否命题的真假. 解析:∵m>0,∴12m>0, ∴12m+4>0. ∴方程 x +2x-3m=0 的判别式 Δ =12m+4>0. ∴原命题“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”的逆否 命题也为真. 6.(1)如图,证明命题“a 是平面 π 内的一条直线,b 是平面 π 外的 一条直线(b 不垂直于 π ),c 是直线 b 在 π 上的投影,若 a⊥b,则 a ⊥c”为真. (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明). 解析:(1)如图,设 c∩b=A,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,作 PO⊥π ,垂足为 O,则
2 2 2 2

O∈c,
∵PO⊥π ,a? π ,∴PO⊥a, 又 a⊥b,b? 平面 PAO,PO∩b=P, ∴a⊥平面 PAO,又 c? 平面 PAO, ∴a⊥c. (2)逆命题为:a 是平面 π 内的一条直线,b 是平面 π 外的一条直线(b 不垂直于 π ),c 是 直线 b 在平面 π 上的投影,若 a⊥c,则 a⊥b.逆命题为真命题.

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