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求函数值域方法学生版

求函数值域方法
一、基本知识 1. 定义:因变量 y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合) 。 2. 函数值域常见的求解思路: ⑴.划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵.反解函数,将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数 y 的不等式,解不 等式即可获解。 ⑶.可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数 y ? f ( x) 看作是关于自变量 x 的方程,在值 域中任取一个值 y0 , y0 对应的自变量 x0 一定为方程 y ? f ( x) 在定义域中的一个解,即方程 y ? f ( x) 在 定义域内有解;另一方面,若 y 取某值 y0 ,方程 y ? f ( x) 在定义域内有解 x0 ,则 y0 一定为 x0 对应的函 数值。从方程的角度讲,函数的值域即为使关于 x 的方程 y ? f ( x) 在定义域内有解的 y 得取值范围。 特别地, 若函数可看成关于 x 的一元二次方程, 则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件, 利用判别式求出函数的值域。 ⑷.可以用函数的单调性求值域。 ⑸.其他。 3. 函数值域的求法 (1) 、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观 观察,准确判断函数值域的方法。 例 1:求函数 y ? 例 3:求函数 y ?

x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。
x ? 1的值域。

例 2:求函数 y ?

x 2 ? 6 x ? 10 的值域。

(2) 、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值
2

域问题,均可使用配方法。

例 1:求函数 y ? ? x ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。
2

(3) .最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域。
2

例 2:求函数 y ? 2 , x ?? ?2, 2? 的值域。
x

例 3:求函数 y ? ?2 x ? 5x ? 6 的值域。 (4) 、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函 数的值域。 例 1:求函数 y ?

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x
ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内, cx ? d

(5) 、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函 数法。小结:已知分式函数 y ?

值域为 ?y y ?

? ?

a? ,采用部分分式法将原函数化为 ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) c?
例 1:求函数 y ?

ad a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 y? ? c cx ? d b?

1? x 的值域。 2x ? 5

(6) 、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如

y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求解。
例 1:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 (7) 、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ? 0 ,从而

a1 x 2 ? b1 x ? c1 求得原函数的值域,形如 y ? ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。 a2 x 2 ? b2 x ? c2
x2 ? x ? 3 例 1:求函数 y ? 2 的值域。 x ? x ?1
(8) 、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例 1:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 例 2.求函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,??? 上的值域。 x

例 3:求函数 f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。

(9) 、基本不等式法
利用基本不等式 a 2 ? b 2 ? 2ab 和 a ? b ? 2 ab (a, b ? 0) 是求函数值域的常用技巧之一 , 利用此法 求函数的值域 , 要合理地添项和拆项 , 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量 , 同时, 利 用此法时应注意取 " ?"成立的条件. 例 1 求函数

y?

x?2 x ?1 的值域.

例 2 求函数

y?

x2 ?2 x?2 x ?1 的值域.

例 3. 求函数 例 4. 求函数 的值域。

的值域。

(10) 、有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 1:求函数 y ?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

例 2.求函数 y ?

2x ?1 的值域 2x ?1

例 3:求函数 y ?

2 cos x ? 1 2 ? sin x 的值域。 例 4:求函数 y ? 的值域。 3cos x ? 2 2 ? sin x

(11) 、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值 域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截 距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例 1:求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。 例 2:求函数 y ? 例 3. 如例 4 求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。例 4. 求函数

x2 ? 4 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 8 的值域。
的值域。

(12) 、复合函数法:对函数 y ? f (u), u ? g ( x) ,先求 u ? g ( x) 的值域充当 y ? f (u ) 的定义域,从而求 出 y ? f (u ) 的值域的方法。 例 1、求函数 y ?

3x 的值域 3x ? 1

例 2:求函数 y ? log 1 (?2 x ? 5x ? 3) 的值域。
2 2

(13) 、非负数法
根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。

例 1、(1)求函数 y ? 16 ? x 2 的值域。 (2)求函数 y ?
(不等式性质法) 例 2:求下列函数的值域: (1)y=

x2 ? 3 的值域。 x2 ? 1

6 ; 2 x ?2

(2)y=

2 x 2 ? 4 x ? 10 ; x2 ? 2 x ? 2
1 2
x

(3)y=

6 2sin x ? 1
2

(4)y=10- 16 ? x2 ;

(2)y= ?3( ) ? 4( x ? ?1) ;

(3)y= log 2 ( x ? )( x ?

1 4

1 ) 2

(14) 、导数法
若函数 f 在 ( a, b) 内可导, 可以利用导数求得 f 在 ( a, b) 内的极值, 然后再计算 f 在 a , b 点的极限值. 从而求得 f 的值域. 例 1: 求函数 f ( x) ? x ? 3x 在 (?5,1) 内的值域.
3

(15) 、 “平方开方法”
求函数值域的方法有很多种,如: “配方法” 、 “单调性法” 、 “换元法” 、 “判别式法”以及“平方开方 法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法” 的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题. 1.适合采用“平方开方法”的函数特征 设 f ( x) ( x ? D )是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法” ,则它通常具有如下三个特征: (1) f ( x) 的值总是非负,即对于任意的 x ? D , f ( x) ? 0 恒成立; (2) f ( x) 具有两个函数加和的形式,即 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ( x ? D ) ; (3) f ( x) 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即 , f 2 ( x) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]2 ? c ? g ( x) ( x ? D , c 为常数)

其中,新函数 g ( x) ( x ? D )的值域比较容易求得. 2.“平方开方法”的运算步骤 若函数 f ( x) ( x?D) 具备了上述的三个特征, 则可以将 f ( x) 先平方、 再开方, 从而得到 f ( x) ? c ? g ( x) ( x ? D , c 为常数) . 然后,利用 g ( x) 的值域便可轻易地求出 f ( x) 的值域 . 例如 g ( x) ? [u , v ],则显然

f ( x) ?[ c ? u , c ? v ] .
3.应用“平方开方法”四例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具 体问题时的技巧. 例 1 求函数 f ( x) ? b ? x ? x ? a ( x ? [a, b] , a ? b )的值域.

a b 例 2 求函数 f ( x) ? b ? kx ? kx ? a ( x ? [ , ] , a ? b , k ? 0 )的值域. k k x ? R f ( x ) ? | sin x | ? | cos x | 例 3 求函数 ( )的值域. 例 4 求函数 f ( x) ?| sin x ? cos x | ? | sin x ? cos x | ( x ? R )的值域.
例 5 求函数 y ? (16). 一一映射法

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

原理: 因为

在定义域上 x 与 y 是一一对应的。 故两个变量中, 若知道一个变量范围,

就可以求另一个变量范围。例 1. 求函数 多种方法综合运用

的值域。

例 1 求函数

的值域。

例 2. 求函数 例 3.求函数 y ? 2
x

的值域。

( x ? 0) 的值域
? x2 ?2 x

?1? 例 4.求函数 y ? ? ? ?3?

的值域

例 5.求函数 y ? x ? 1 ? x 2 的值域 例 6、求函数 y ?

x2 ?1 的值域 x2 ?1

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一 般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。


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