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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第八章 8.1_图文

数学

北(理)

§8.1 空间几何体的三视图、 直观图、表面积与体积
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
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1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ,上、下 多 面 体 底面是 全等 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形, 侧面是有 一个公共顶点的三角形. (3) 棱台可由平行于底面的平面截棱锥 得到,其上、下底面是 相似 多边形.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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(1)圆柱可以由 矩形 绕一边所在直线旋转得到. (2) 圆锥可以由直角三角形绕一条 直角边 所在 旋 直线旋转得到. 转 (3) 圆台可以由直角梯形绕 垂直于底边的腰 所 体 在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆 锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕 直径 所在直线旋转得到.
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要点梳理
2.空间几何体的直观图 (1)在已知图形中建立直角坐标系 xOy.画直观图时, 它们分别 对应 x′轴和 y′轴, 两轴交于点 O′, 使∠x′O′y′= 45° , 它们确定的平面表示水平平面; (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分别画 成平行于 x′轴 和 y′轴 的线段; (3)已知图形中平行于 x 轴的线段, 在直观图中保持原长度不 1 变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的 . 2
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3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影 得到, 这种投影下与投影 面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小

俯视图 . 是 完全相同 的, 三视图包括 主视图 、左视图 、

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要点梳理
4.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 V= Sh 1 V= 3Sh 1 V= (S 3


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柱体(棱柱和圆柱) S 表面积=S 侧+2S 底 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积=S 侧+S 底 台体(棱台和圆台) 球
基础知识

S 表面积=S 侧+S 上 +S 下
2 4π R S=

+S 下+

S上S下)h

4 3 πR V= 3
思想方法 练出高分

题型分类

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

D A
6 2 3 3π

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间几何体的结构特征
(1)下列说法正确的是 ( )

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的 母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆 锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是 A.0
基础知识

( C.2 D.3
思想方法 练出高分

)

B. 1

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间几何体的结构特征
(1)下列说法正确的是 ( )

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的 母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆 锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.

思维启迪

从多面体、旋转体的定义入手,可以借助实
(
练出高分

例或几何模型理解几何体的结构特征. 其中正确命题的个数是
A.0
基础知识

)

B. 1

C.2
题型分类

D.3
思想方法

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间几何体的结构特征
(1)下列说法正确的是

( B ) A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B解析 .四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 (1)A 错,如图 1; C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的 母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆 锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是 AD .错,由棱台的定义知,其侧棱必相交于同一点. 0 B. 1 C.2 D.3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

B 正确, 如图 2, 其中底面 ABCD 是矩形, 可证明∠PAB, ∠PCB 都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;

C 错,如图 3;

(

)

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间几何体的结构特征
(1)下列说法正确的是 ( )

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B .四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 (2) ①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线; C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题:

②不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各 面都是有一个公共顶点的三角形”,如图 1 所示;

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的 母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆 锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是 A.0
基础知识

( C.2 D.3
思想方法 练出高分

)

B. 1

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间几何体的结构特征
(1)下列说法正确的是 ( )

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B③ .四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题:

两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥, 如

图 2 所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;

④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行 ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的
母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; 的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长 ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆 不一定相等. 锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.

答案 A 其中正确命题的个数是
A.0
基础知识

( C.2 D.3
思想方法 练出高分

)

B. 1

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间几何体的结构特征
(1)下列说法正确的是 ( )

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D思维升华 .棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形 (2) 给出下列命题: 的几何体不一定是棱柱. ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的 母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;

(2)既然棱台是由棱锥定义的,所以在解决棱台问题时,要注

意“还台为锥”的解题策略. ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆
锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到,还要看旋转 其中正确命题的个数是 轴是哪条直线. A.0
基础知识

( C.2 D.3
思想方法 练出高分

)

B. 1

题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平 ( C ) B.45° D.90°

面图, A, B, C 是展开图上的三点, 则在正方体盒子中, ∠ABC 的值为 A.30° C.60°

解析 还原正方体,如图所示,
连接 AB,BC,AC,可得△ABC 是正三角形, 则∠ABC=60° .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
【例 2】 (1)如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方 1 形,且体积为 ,则该几何体的俯视图可以是 ( ) 2

(2)正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直 角坐标系 xOy,则它的直观图的面积是________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
【例 2】 (1)如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方 1 形,且体积为 ,则该几何体的俯视图可以是 ( ) 2

思维启迪 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是 1, 1 由体积是 可求出底面积. 由底面积的大小可判断其俯视图 2 是哪一个.
按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的 (2)(2) 正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直 关系. xOy,则它的直观图的面积是________. 角坐标系
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
【例 2】 (1)如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方 解析 (1) 由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱 1 形,且体积为 ,则该几何体的俯视图可以是 ( 1 ) 1 2 体,且其高为 1,由其体积是 可知该几何体的底面积是 , 2 2

π 1 由图知 A 的面积是 1,B 的面积是4,C 的面积是2,D 的面积 π 是 ,故选 C. 4 (2)画出坐标系 x′O′y′,作出△OAB 的直观

图 O′A′B′(如图).D′为 O′A′的中点. 1 易知 D′B′ = 的边长为 (2) 正三角形 AOB a,建立如图所示的直 2DB, 答案 (1)C 1 2 2 3 2 6 2 . 角坐标系 xOy,则它的直观图的面积是 ________ 6 2 ∴S△O′A′B′=2× 2 S△OAB= 4 × 4 a = 16 a . (2) 16 a
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
【例 2】 (1)如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方 1 形,且体积为 ,则该几何体的俯视图可以是 ( ) 2

思维升华

(1)三视图中,主视图和左视图一样高,主视图和

俯视图一样长,左视图和俯视图一样宽.即“长对正,宽相 等,高平齐”.
(2)解决有关“斜二测画法”问题时,一般在已知图形中建立 直角坐标系,尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称 (2)正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直 轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键 角坐标系 xOy,则它的直观图的面积是________. 线段长度的关系.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)(2013· 湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个 面积为 1 的正方形,则该正方体的主视图的面积不可能等于( 2-1 2+1 A.1 B. 2 C. D. 2 2 (2)如图, 矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面 图形的直观图, 其中 O′A′=6 cm, O′C′=2 cm, 则原图形是 A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

)

(

)

题型分类·深度剖析
解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置,其主视图为矩

形,以正方体的高为一边长,另一边长最小为 1,最大为 2, 2-1 面积范围应为[1, 2],不可能等于 . 2 (2)如图,在原图形 OABC 中,

应有 OD=2O′D′=2×2 2=4 2 cm, CD=C′D′=2 cm. ∴OC= OD2+CD2= ?4 2?2+22=6 cm, ∴OA=OC,故四边形 OABC 是菱形.
答案 (1)C
基础知识

(2)C
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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】 表面积为

空间几何体的表面积与体积
(1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的 ( )

A.48 C.48+8 17
基础知识

B.32+8 17 D.80
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】 表面积为

空间几何体的表面积与体积
(1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的 ( )

思维启迪: 先由三视图确定几何体的构成及度量, 然后求
A .48 表面积或体积. C.48+8 17
基础知识

B.32+8 17 D.80
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】 表面积为

空间几何体的表面积与体积
(1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的 ( C )

解析

(1) 由三视图知该几何体的直观图如图

所示, 该几何体的下底面是边长为 4 的正方形; 上底面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形侧 面垂直于底面,上底长为 2,下底长为 4,高为 4;另两个侧 面是矩形,宽为 4,长为 42+12= 17.

1 所以 × (232 + 4)8 ×4 ×2+4× 17×2 A .48S 表=4 +2×4+2B . + 17 C . 48 + 8 17. 17 D.80 = 48 + 8
2

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 空间几何体的表面积与体积
【例 3】 (2)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视 图均由直角三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成, 根据图中的数据可得几何体的体积为 ( )

2π 1 A. + 3 2 2π 1 C. + 6 6
基础知识

4π 1 B. + 3 6 2π 1 D. + 3 2
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题型分类·深度剖析
题型三 空间几何体的表面积与体积
【例 3】 (2)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视 图均由直角三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成, 根据图中的数据可得几何体的体积为 解析 由三视图确定该几何体是一个半球体与 ( )

三棱锥构成的组合体,如图,

其中 AP,AB,AC 两两垂直,且 AP=AB=AC=1, 1 1 故 AP⊥平面 ABC,S△ABC= AB×AC= , 2 2 2π 1 4π 11 1 1 1 A . + B . + 所以三棱锥 V1= 3 2 P-ABC 的体积 3 63×S△ABC×AP=3×2×1=6, 2π 1 2π 1 C. + D. + 6 6 3 2
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题型分类·深度剖析
题型三 空间几何体的表面积与体积
【例 3】 (2)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视 图均由直角三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成, 根据图中的数据可得几何体的体积为
又 Rt△ABC 是半球底面的内接三角形, 2 所以球的直径 2R=BC= 2,解得 R= 2 , 1 4π 23 2π 所以半球的体积 V2=2× 3 × ( 21 )= 6 , 2π 1 4π A. + B. + 3 2 3 61 2π 故所求几何体的体积 V=V1+ V2= 2π 1 2π 1 6+ 6 . C. + D. + 6 6 3 2
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( C )

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题型三 空间几何体的表面积与体积
【例 3】 (2)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视 图均由直角三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成, 根据图中的数据可得几何体的体积为 ( )

思维升华

解决此类问题需先由三视图确定几何体的结

构特征,判断是否为组合体,由哪些简单几何体构成,并 准确判断这些几何体之间的关系,将其切割为一些简单的
2π 1 4π 1 几何体,再求出各个简单几何体的体积,最后求出组合体 A. + B. + 3 2 2π 1 的体积. C. + 6 6
基础知识

3 6 2π 1 D. + 3 2

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (2012· 课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在 ( A ) 2 D. 2 球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径, 且 SC=2,则此棱锥的体积为 2 3 2 A. B. C. 6 6 3

解析 由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ABC, O是 SC 的中点,因此三棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高的 2 倍,

所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍.
在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示, 3 3 2 S△ABC= 4 ×AB = 4 , 高 OD=
? -? ? ?

1

2

6 3? ?2 = , 3 3? ?

1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2×3× 4 × 3 = 6 .
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题型分类·深度剖析
思想与方法系列11 转化思想在立体几何计算中的应用
典例:(12 分)如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等边三角形, AA′=4, M 为 AA′的中点, P 是 BC 上一点, 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这 条最短路线与 CC′的交点为 N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图 的对角线长;(2)PC 与 NC 的长;(3)三棱锥 C—MNP 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列11 转化思想在立体几何计算中的应用
典例:(12 分)如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等边三角形, AA′=4, M 为 AA′的中点, P 是 BC 上一点, 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这 条最短路线与 CC′的交点为 N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图 的对角线长;(2)PC 与 NC 的长;(3)三棱锥 C—MNP 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)侧面展开图从哪里剪开展平;
(2)MN+NP 最短在展开图上呈现怎样的形式;

(3)三棱锥以谁做底好.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
思想与方法系列11 转化思想在立体几何计算中的应用
典例:(12 分)如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等边三角形, AA′=4, M 为 AA′的中点, P 是 BC 上一点, 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这 条最短路线与 CC′的交点为 N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图 的对角线长;(2)PC 与 NC 的长;(3)三棱锥 C—MNP 的体积.

思 维 启 迪
解 为 42+92= 97.

规 范 解 答

温 馨 提 醒
2分

(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形, 故对角线长

(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB′展开,如右图, 设 PC=x,则 MP2=MA2+(AC+x)2.

∵MP= 29,MA=2,AC=3,

∴x=2,即 PC=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列11 转化思想在立体几何计算中的应用
典例:(12 分)如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等边三角形, AA′=4, M 为 AA′的中点, P 是 BC 上一点, 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这 条最短路线与 CC′的交点为 N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图 的对角线长;(2)PC 与 NC 的长;(3)三棱锥 C—MNP 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

PC NC 2 NC 又 NC∥AM,故PA =AM,即 = . 5 2 4 8分 ∴NC=5. 1 1 4 4 (3)S△PCN=2×CP×CN=2×2×5=5. 在三棱锥 M—PCN 中, M 到面 PCN 的距离, 3 3 3 1 1 3 3 4 2 3 即 h= ×3= . h· S△PCN=3× 2 ×5= 5 . 12分 2 2 ∴VC—MNP=VM—PCN=3·

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思想与方法系列11 转化思想在立体几何计算中的应用
典例:(12 分)如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等边三角形, AA′=4, M 为 AA′的中点, P 是 BC 上一点, 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这 条最短路线与 CC′的交点为 N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图 的对角线长;(2)PC 与 NC 的长;(3)三棱锥 C—MNP 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”,即将空间几何 体的“面”展开后铺在一个平面上,将问题转化为平面上的最值问题.
(2)如果已知的空间几何体是多面体,则根据问题的具体情况可以将这个多面 体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开,把不在一个平面上的问题转化 到一个平面上.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
思想与方法系列11 转化思想在立体几何计算中的应用
典例:(12 分)如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等边三角形, AA′=4, M 为 AA′的中点, P 是 BC 上一点, 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这 条最短路线与 CC′的交点为 N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图 的对角线长;(2)PC 与 NC 的长;(3)三棱锥 C—MNP 的体积.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开,把曲面上的问题转化为平面上的 问题.

(3)本题的易错点是, 不知道从哪条侧棱剪开展平, 不能正确地画出侧面 展开图.缺乏空间图形向平面图形的转化意识.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问 题往往转化到一个三角形中进行解决.

方 法 与 技 巧

2.旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面 及展开图形状.
3.三视图画法: (1) 实虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实 线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”.
4.直观图画法:平行性、长度两个要素.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
5.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规 则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的

方 法 与 技 巧

几何体求解.
6.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是 外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接 点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作 出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为 正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的 直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球 面上,正方体的体对角线长等于球的直径.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1. 台体可以看成是由锥体截得的, 但一定强调截面与底

失 误 与 防 范

面平行.

2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.

3.几何体展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的 联系,找出其中的量的关系.

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1 2 3

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1.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线 称为它的对角线,那么一个五棱柱对角线的条数共有 ( D ) A.20 B.15 C.12 D.10

解析 如图,在五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 中, 从顶点 A 出发的对角线有两条:AC1,AD1,

同理从 B,C,D,E 点出发的对角线均有两条, 共 2×5=10(条).

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2.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等, 那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 C.正方体 ( D ) D.圆柱

解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、 大小, 分析可得. 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等,首先排除选 项 A 和 C. 对于如图所示三棱锥 O-ABC, 当 OA、OB、OC 两两垂直且 OA=OB=OC 时, 其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项 B.
不论圆柱如何设置,其三视图的形状都不会完全相同, 故答案选 D.
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3.(2013· 重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为 ( C )

560 580 A. B. C.200 D.240 3 3 解析 由三视图知该几何体为直四棱柱,其底面为等腰梯

形,上底长为 2,下底长为 8,高为 4, ?2+8?×4 故面积为 S= =20.又棱柱的高为 10, 2 所以体积 V=Sh=20×10=200.
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4.如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图 是 ( D )

解析 由俯视图可知是 B 和 D 中的一个,由主视图和左视 图可知 B 错.
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5.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几 何体的表面积为 ( C )

3 A. π 2

B.π+ 3

3 C. π+ 3 2

5 D. π+ 3 2

解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥, 底面半径为 1, 高为 3,
1 1 1 3π 2 ∴表面积 S=2×2× 3+2×π×1 +2×π×1×2= 3+ 2 .
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6. 如图所示, E、 F 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1 上的投影是 ________.(填序号)

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解析

四边形在面 DCC1D1 上的投影为②:

B 在面 DCC1D1 上的投影为 C,F、E 在面 DCC1D1 上的投 影应在边 CC1 与 DD1 上,而不在四边形的内部,故①③④ 错误.
答案 ②

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7.已知三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 2,则该三棱锥的外接 3π . 球的表面积为________
解析 如图,构造正方体 ANDM—FBEC.

因为三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 2, 所以正方体 ANDM—FBEC 的棱长为 1. 3 所以该正方体的外接球的半径为 2 . 易知三棱锥 A—BCD 的外接球就是正方体 ANDM—FBEC 的
3 所以三棱锥 A—BCD 的外接球的半径为 2 . ? 3? ?2 所以三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为 S 球=4π? ? 2 ? =3π. ? ?
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外接球,

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8. (2013· 江苏)如图, 在三棱柱 A1B1C1-ABC 中, D, E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F -ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1-ABC 的体
1∶24 积为 V2,则 V1∶V2=________.
解析 设三棱锥 F-ADE 的高为 h,

? 1 ?1 ? AD· ? AE · sin ∠ DAE h 3 ?2 V1 1 ? 则V = =24. 1 2 ?2h?2?2AD??2AE?sin∠DAE

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9.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,求这个几何体 的表面积.

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这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.

根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1, 下底面半径为 2, 高为 3,母线长为 2,几何体的表面积是两个半圆的面积、 圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和,

故这个几何体的表面积为 1 1 1 1 2 2 S=2π×1 +2π×2 +2π×(1+2)×2+2×(2+4)× 3 11π = +3 3. 2

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10.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底 面的三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm,且其侧面 积等于两底面面积之和,求棱台的高.
解 如图所示, 三棱台 ABC—A1B1C1 中, O、

O1 分别为两底面中心,D、D1 分别为 BC 和 B1C1 的中点,则 DD1 为棱台的斜高.

由题意知 A1B1=20,AB=30, 10 3 则 OD=5 3,O1D1= , 3 1 3 由 S 侧=S 上+S 下,得2×(20+30)×3DD1= 4 ×(202+302),
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10.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底 面的三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm,且其侧面 积等于两底面面积之和,求棱台的高.

13 解得 DD1= 3, 3
在直角梯形 O1ODD1 中,
2 O1O= DD2 - ? OD - O D ? 1 1 1 =4 3,

所以棱台的高为 4 3 cm.

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3 4 5

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1.在四棱锥 E—ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,AB∥CD,2AB =3CD,M 为 AE 的中点,设 E—ABCD 的体积为 V,那么三 棱锥 M—EBC 的体积为 2 1 A. V B. V 5 3 ( 2 C. V 3 3 D. V 10 )

解析 设点 B 到平面 EMC 的距离为 h1,点 D 到平面 EMC 的距离为 h2.

连接 MD.
1 因为 M 是 AE 的中点, 所以 VM—ABCD= V. 2 1 所以 VE—MBC= V-VE—MDC. 2
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1.在四棱锥 E—ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,AB∥CD,2AB =3CD,M 为 AE 的中点,设 E—ABCD 的体积为 V,那么三 棱锥 M—EBC 的体积为 2 1 A. V B. V 5 3 ( D ) 2 C. V 3 3 D. V 10

而 VE—MBC=VB—EMC,VE—MDC=VD—EMC, VE—MBC VB—EMC h1 所以 = = . VE—MDC VD—EMC h2

因为 B,D 到平面 EMC 的距离即为到平面 EAC 的距离,而 h1 3 AB∥CD,且 2AB=3CD,所以 = . h2 2 3 所以 VE—MBC=VM-EBC= V. 10
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2.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示,则四棱锥 P- ABCD 的四个侧面中的最大的面积是 ( )

A.3
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B. 2 5
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C.6

D.8
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解析 因为三视图复原的几何体是四棱锥, 顶点在底面的射 影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为 4,2,后面是 等腰三角形,腰为 3, 所以后面的三角形的高为 32-22= 5, 1 所以后面三角形的面积为2×4× 5=2 5,两个侧面面积为 1 2×2×3=3, 1 后面三角形的面积为 2 ×4× ? 5?2+22 = 6 ,四棱锥 P -
ABCD 的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积:6.故 选 C. 答案 C
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3 4 5

3.表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则

2 . 该圆锥的底面直径为________
解析 设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r.

1 2 则 πl +πr2=3π,πl=2πr,∴r=1, 2
即圆锥的底面直径为 2.

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4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形, PC 与底面 ABCD 垂直, 图为该四棱锥的主视图 和左视图,它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直 角三角形.

(1)根据图所给的主视图、左视图,画出相应的俯视图,并求 出该俯视图的面积; (2)求 PA.
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(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线),边长

为 6 cm 的正方形,如图,其面积为 36 cm2. (2)由左视图可求得 PD= PC2+CD2= 62+62=6 2. 由主视图可知 AD=6,且 AD⊥PD, 所以在 Rt△APD 中,

PA= PD2+AD2= ?6 2?2+62=6 3 cm.

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5.已知一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其内部有一个高 为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大?

解 (1)作圆锥的轴截面,如图所示. r H-x R 因为 = ,所以 r=R- x, R H H 2πR 2 所以 S 圆柱侧=2πrx=2πRx- H x (0<x<H). 2πR 2πR H (2)因为- <0,所以当 x= H 4πR= 2 时,S 圆柱侧最大.
H H 故当 x= 2 ,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面

积最大.
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