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2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛详细参考答案


2013 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛 试题参考答案及评分标准
第 一 试
1.设 A、B 是两个非空的有限集,全集 素,则 解: 注意到,( 中所含元素的个数为______. . ) ( )= ( ),由韦恩图知, 中含有 个元素. ,且 U 中含有 m 个元素.若( ) ( )中含有 n 个元

2.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 . 则 的值是______. 解: .

由题设及正弦定理,得



=

. 中,已知三点 .若向量 与 在向量 方向上的投影

3.在直角坐标系 相同,则 解:2. [方法 1]向量 依题意得 故 · . 、

的值是______.

在向量 = ·

方向上的投影分别为 ,即 .

.

[方法 2]因为向量



在向量 ·

方向上的投影相同,所以 = 0.

AB⊥OC,即 所以

,即 3a – 4b = 2.

4.已知正三棱锥 P-ABC 的侧棱与底面所成的角为 45°,则相邻两侧面所成角的余弦值为______. 解: . 如图 1,设正三棱锥 P-ABC 的底面边长为 a,E 为 AB 的中点,则∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABC 所成的角, 即 . 过点 A 作 AF⊥PC,垂足为 F,由对称性知,BF⊥PC,故∠AFB 为 侧面 PAC 与 PBC 所成的角. 在等腰直角△EFC 中, 所以 . .
图 1 P F

.

A E B

C

在△AFB 中,cos∠AFB =

5.已知三个互不相等的整数 x、y、z 之和介于 40 与 44 之间,若 x, y,z 依次构成公差为 d 的等差数列, 的值是______. 解:42. 由 ,得 .

依次构成公比为 q 的等比数列,则 d

q

1

又由 因为 又

,得 ,所以 ,所以 .

,即 .

.

因为 y 为整数,所以 所以 故 d·q = 42. 6.设点 P、Q 分别在直线 .则 的取值范围是______.

.从而 .

.



上运动,线段 PQ 的中点为

,且

解:[1,3) . [方法 1]设 P( )、Q( ),则 . 两式相加,得 所以 从而, 故1 . 上. ,
4 y M



,且

,即 ,则 在 上单调递增. .

.

[方法 2]易知,点 M 在直线 又点 M 的坐标满足

所以点 M 在如图 2 所示的射线 因为 以 . 表示射线

:y=3x-4 (x≥2)上,其中点

.
2 M0

上的点与原点 O 连线的斜率,所

7.在一个圆上随机取三个点,顺次连结成一个三角形,则该三角形为锐角三角 形的概率是______. 解: .

o

2 图 2

4

x

不妨设△ABC 是半径为 1 的圆的任一内接三角形,∠A、∠B 所对的弧长分别为 x、y,则有 ,

. 这个不等式组表示如图 3 所示的△POQ 区域(不含边界) ,其面积为 . 若△ABC 为锐角三角形,则 x、y 满足 , , . 这个不等式组表示如图 3 所示的△DEF 区域(不含边界) ,其中 D、E、F 分别为 OP、OQ、PQ 的中点,其面积为 故所求概率为 8.设 . ,则 M 的个位数字为______. .

y Q


E

F


o

D
图 3

P

x

2

解:1. 设 a、b 为正整数,则 从而, 所以 又 的个位数字与 的个位数字与 的个位数字与 的个位数字与 的个位数字相同. 的个位数字相同为 3. 的个位数字相同为 3. 的个位数字相同为 8,

故 M 的个位数字与 9.若对任意 解: .

的个位数字相同为 1. ,都有 ,则 的值是______.

[方法 1]由题设知,对任意

,都有

, 其中, 项的系数为 , , 所以 , , . 故 . ,得 . . 解得 , …. , , , , .

[方法 2]在已知等式中,令 代入已知等式,化简得 令 ,得 .

代入上式,化简得 再令 ,得 . , .

.

用同样的方法,得 故 10. .

若 ______.



解:4. (1)若存在正整数 j,使得 上式等号可以成立.例如,取 (2)若对任意正整数 i,都有 或 如果 因此, 且 . ,则有 或 . . , ,矛盾. ( , ( …,5,规定 , , …,5,规定 , ),则 . ),则要么 且 ,要么 .

对以上两种情况,都有 从而, .

综合(1)、(2),M 的最大值为 4.

3


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