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2018学年高中数学北师大版必修3教学案:第一章 §4 4.1

数据的数字特征 4.1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差
预习课本 P25~31,思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数?
(2)什么是极差、方差、标准差?
(3)方差、标准差的计算公式是什么?
[新知初探] 1.平均数、中位数、众数 (1)平均数 如果有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x =x1+x2+n …+xn, 叫作这 n 个数的平均数. (2)中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数) 称为这组数据的中位数. (3)众数 一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个, 也可以是多个. [点睛] 如果有几个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这几 个数据都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数 据没有众数. 2.极差、方差、标准差 (1)极差 一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差. (2)方差 标准差的平方 s2 叫作方差. s2=n1[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2].

其中,xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数.

(3)标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示.s=

n1[?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2]. [点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小,标准差、方差越大,
数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.

(2)标准差、方差为 0 时,表明样本数据全相等,数据没有波动幅度和离散性. (3)标准差的大小不会超过极差.
[小试身手]

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)平均数反映了一组数据的平均水平,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变

化.( )

(2)一组数据中,有一半的数据不大于中位数,而另一半则不小于中位数,中位数反映

了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响.( )

(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关.( )

(4)数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定.( )

(5)数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定.( )

答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√

2.在某次考试中,10 名同学的得分如下:84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据

的众数和中位数分别为( )

A.84,68

B.84,78

C.84,81

D.78,81

解析:选 C 将所给数据按从小到大排列得 68,70,77,78,79,83,84,84,85,95,显然众数为

84,而本组数据共 10 个,中间两位是 79,83,它们的平均数为 81,即中位数为 81.

3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示,则该学生这几次数学测试

的平均成绩为________.

解析:根据茎叶图提供的信息知,这几次测试成绩为 53,60,63,71,74,75,80.

所以所求的平均成绩为17×(53+60+63+71+74+75+80)=68. 答案:68

4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶 图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.
解析:依题意知,运动员在 5 次比赛中的分数依次为 8,9,10,13,15,其平均数为

8+9+105+13+15=11. 由方差公式得 s2=15[(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]=15(9+4+1
+4+16)=6.8. 答案:6.8

中位数、众数、平均数的计算及应用

[典例] 据报道,某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下: 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员

职员

人数

1

1

2

1

5

3

20

工资 5 500

5 000

3 500 3 000 2 500 2 000 1 500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;

(2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元,董事长的工资从 5 500 元提升到

30 000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平,结合此问题谈一谈你的看法.

[解] (1)平均数是

x =1 500+313(4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20)≈1 500+591

=2 091(元),

中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.

(2)平均数是

x ′=1 500+313(28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20)≈1 500+1

788=3 288(元).

中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.

(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人

的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数

不能反映这个公司员工的工资水平.

刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等,它们作为一组数据的代 表各有优缺点,也各有各的用处,从不同的角度出发,不同的人会选取不同的统计量来表 达同一组数据的信息,不同的统计量会侧重突出某一方面的信息.
[活学活用]

1.某学习小组在一次数学测验中,得 100 分的有 1 人,95 分的有 1 人,90 分的有 2

人,85 分的有 4 人,80 分和 75 分的各 1 人,则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别

是( )

A.85 分、85 分、85 分

B.87 分、85 分、86 分

C.87 分、85 分、85 分

D.87 分、85 分、90 分

解析:选 C 由题意知,该学习小组共有 10 人,

因此众数和中位数都是 85,

平均数为100+95+2×901+0 4×85+80+75=87.

2.16 位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前 8 位进入决赛.如果小刘知

道了自己的成绩后,要判断他能否进入决赛.则其他 15 位同学成绩的下列数据中,能使他

得出结论的是( )

A.平均数

B.极差

C.中位数

D.方差

解析:选 C 判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前 8 名,所以只要知道其他 15

位同学的成绩中是不是有 8 个高于他,也就是把其他 15 位同学的成绩排列后看第 8 个的成

绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第 8

名的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数.

方差、标准差的计算与应用

[典例] 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们的射击水平进行了测试, 两人在相同条件下各射击 10 次,命中的环数如下:
甲:7,8,6,9,6,5,9,9,7,4. 乙:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. (1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数; (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差; (3)比较两人的成绩,然后决定选择哪一个人参赛. [解] (1)对于甲:极差是 9-4=5,众数是 9,中位数是 7; 对于乙:极差是 9-5=4,众数是 7,中位数是 7. (2) x 甲=7+8+6+9+6+ 105+9+9+7+4=7, s2甲=110×[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(7 -7)2+(4-7)2]=2.8, s 甲= s2甲= 2.8≈1.673.

x 乙=9+5+7+8+7+ 106+8+6+7+7=7, s2乙=110×[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7 -7)2+(7-7)2]=1.2, s 乙= s2乙= 1.2≈1.095. (3)∵ x 甲= x 乙,s 甲>s 乙, ∴甲、乙两人的平均成绩相等,乙的成绩比甲的成绩稳定一些,从成绩的稳定性考虑, 可以选择乙参赛.
在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对 平均数的离散程度.在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大, 稳定性越差;方差越小,数据越集中、越稳定.
[活学活用] 某班 20 位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:分): 甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80; 乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差; (2)哪一组的成绩较稳定? 解:(1)甲组:最高分为 95 分,最低分为 60 分,极差为 95-60=35(分), 平均分为 x 甲=110×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分), 方差为 s甲2 =110×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+ (80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119, 标准差为 s 甲= s2甲= 119≈10.91(分). 乙组:最高分为 95 分,最低分为 65 分,极差为 95-65=30(分), 平均分为 x 乙=110×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分), 方差为 s乙2 =110×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80 -81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25, 标准差为 s 乙= s2乙= 75.25≈8.67(分). (2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差),因此乙组的成绩较稳定. 从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.

数字特征与统计图表的综合问题 [典例] (1)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知 识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 mo,平均值为 x ,则 ()

A.me=mo= x

B.me=mo< x

C.me<mo< x

D.mo<me< x

(2)如图所示,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 x A 和 x B,样本标准差分别为 sA 和 sB,则( )

A. x A> x B,sA>sB B. x A< x B,sA>sB C. x A> x B,sA<sB D. x A< x B,sA<sB [解析] (1)由条形统计图可知,30 名学生的得分依次为 2 个 3 分,3 个 4 分,10 个 5 分,6 个 6 分,3 个 7 分,2 个 8 分,2 个 9 分,2 个 10 分.中位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均数,即 me=5.5, 5 出现次数最多,故 mo=5. x =2×3+3×4+10×5+6×63+03×7+2×8+2×9+2×10≈5.97. 于是得 mo<me< x . (2)观察图形可得:样本 A 的数据均小于或等于 10,样本 B 的数据均大于或等于 10, 故 x A< x B,又样本 B 的波动范围较小,故 sA>sB. [答案] (1)D (2)B
(1)由于茎叶图保留了原始数据,因此根据茎叶图进行有关数据计算可以直接进行;另 外,在茎叶图中,数据的分布能直观体现数据的平均水平和离散程度,因此给出茎叶图解

决与平均数和方差有关的统计问题时,我们也可以直观观察来完成. (2)折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的意义有关,一般情况下,
整体分布位置较高的平均数大,波动性小的方差小. (3)若条形统计图的横坐标是单一数据,则可通过该统计图还原真实的样本数据,进而
中位数、众数、平均数均可直接计算得到. (4)当条形统计图的横轴是区间形式,各数字特征就不能直接求出,但是可以近似估计. ①中位数:条形统计图(直方图)中,中位数左边和右边的各矩形的面积和应该相等,由
此可以估计中位数的值. ②平均数:平均数的估计值等于条形统计图(直方图)中每个小矩形的高度(面积)乘小矩
形底边中点的横坐标之积的总和. ③众数:在条形统计图(直方图)中,众数是最高的矩形的中点的横坐标. [活学活用] 1.样本数为 9 的四组数据,它们的平均数都是 5,它们的条形统计图如图所示,则标
准差最大的一组是( )

A.第一组

B.第二组

C.第三组

D.第四组

解析:选 D 法一:第一组中,样本数据都为 5,数据没有波动幅度,标准差为 0;

第二组中,样本数据为 4,4,4,5,5,5,6,6,6,标准差为 36;

第三组中,样本数据为 3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为23 5; 第四组中,样本数据为 2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差为 2 2. 故标准差最大的一组是第四组.

法二:从四个条形图可看出第一组数据没有波动性,第二、三组数据的波动性都比较

小,而第四组数据的波动性相对较大,利用标准差的意义可以直观得到答案. 2.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打
出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的一个),去掉一个最

高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1,a2,则一定有( ) A.a1>a2 B.a2>a1 C.a1=a2 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关 解析:选 B 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数据,剩下的数据我们只
要计算其叶上数字之和即可. 此时甲选手叶上的数字之和是 20,乙选手叶上的数字之和是 25,故 a2>a1.
[层级一 学业水平达标] 1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则 该样本的中位数、众数、极差分别是( )

A.46,45,56

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

解析:选 A 样本的中位数是(45+47)÷2=46,众数是 45,极差为 68-12=56.

2.某学校为了了解学生课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在每一天各

自课外阅读所用时间的数据,结果用条形统计图表示如下,根据条形统计图估计该校全体

学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )

A.0.6 h

B.0.9 h

C.1.0 h

D.1.5 h

解析:选 B 由条形统计图可得,这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为

5×0+20×0.5+10×501.0+10×1.5+5×2.0=0.9(h),因此估计该校全体学生这一天平

均每人的课外阅读时间为 0.9 h.

3.若一个样本容量为 8 的样本的平均数为 5,方差为 2.现样本中又加入一个新数据 5,

此时样本容量为 9,平均数为 x ,方差为 s2,则( )

A. x =5,s2<2 B. x =5,s2>2

C. x >5,s2<2 D. x >5,s2>2

解析:选 A ∵18(x1+x2+…+x8)=5,∴19(x1+x2+…+x8+5)=5,∴ x =5. 由方差定义及意义可知加入新数据 5 后,样本数据取值的稳定性比原来强,∴s2<2, 故选 A. 4.小明 5 次上学途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平 均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为________. 解析:由题意可得 x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8, 设 x=10+t,y=10-t,则 t2=4,|t|=2,故|x-y|=2|t|=4. 答案:4
[层级二 应试能力达标] 1.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本方差为

()

6

6

A. 5

B.5

C. 2

D.2

解析:选 D 由题可知样本的平均值为 1,

所以a+0+51+2+3=1,解得 a=-1,

所以样本的方差为

15[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2. 2.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所 示:

甲乙丙丁

平均环数 x 方差 s2

8.6 8.9 8.9 8.2 3.5 3.5 2.1 5.6

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是( )

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

解析:选 C 由表可知,乙、丙的成绩最好,平均环数都为 8.9,但乙的方差大,说明

乙的波动性大,所以丙为最佳人选.

3.如果 5 个数 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 7,那么 x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,

x5+1 这 5 个数的平均数是( )

A.5

B.6

C.7

D.8

解析:选 D 法一(定义法):依题意 x1+x2+…+x5=35,所以(x1+1)+(x2+1)+…+ (x5+1)=40,故所求平均数为450=8.

法二(性质法):显然新数据(记为 yi)与原有数据的关系为 yi=xi+1(i=1,2,3,4,5),故新数

据的平均数为 x +1=8.

4.某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分为 70 分,方差为 75,后来发现有 2

名同学的分数登记错了,甲实得 80 分,却记了 50 分,乙实得 70 分,却记了 100 分,更正

后平均分和方差分别是( )

A.70,75

B.70,50

C.75,1.04

D.62,2.35

解析:选 B 因甲少记了 30 分,乙多记了 30 分,故平均分不变,设更正后的方差为

s2,则由题意可得 s2=418[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(80-70)2+(70-70)2+…+(x48-70)2],

而更正前有 75=418[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(50-70)2+(100-70)2+…+(x48-70)2],化

简整理得 s2=50.

5.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数的茎叶图如图所示.记 8 8 9 9
923x214 分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分
为 91.复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清.若记分员计算无误,则 数字 x 应该是________.
解 析 : 由 茎 叶 图 可 知 最 低 分 为 88. 若 90 + x 为 最 高 分 , 则 平 均 分 为 89+89+91+972+92+93+94≈91.4≠91.故最高分为 94.则去掉最高分 94 和最低分 88,平 均分为89+89+91+92+7 92+93+?90+x?=91,解得 x=1.
答案:1 6.一农场在同一块稻田中种植一种水稻,其连续 8 年的产量(单位:kg)如下: 450,430,460,440,450,440,470,460,则该组数据的方差为________.

解析:根据题意知,该组数据的平均数为18×(450+430+460+440+450+440+470+ 460)=450,
所以该组数据的方差为18×(02+202+102+102+02+102+202+102)=150. 答案:150 7.由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据为________(从小到大排列). 解 析 : 不 妨 设 x1≤x2≤x3≤x4 且 x1 , x2 , x3 , x4 为 正 整 数 , 则 由 已 知 条 件 可 得
?x1+x2+4 x3+x4=2, ??x2+2 x3=2,
即得???x1+x2+x3+x4=8, ??x2+x3=4,
又∵x1,x2,x3,x4 为正整数, ∴x1=x2=x3=x4=2 或 x1=1,x2=x3=2,x4=3 或 x1=x2=1,x3=x4=3, ∵s= 14[?x1-2?2+?x2-2?2+?x3-2?2+?x4-2?2]=1,∴x1=x2=1,x3=x4=3.由此可 得这四个数为 1,1,3,3. 答案:1,1,3,3 8.甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次,每次射靶的成绩情况如图所示.

(1)请填写下表: 平均数 方差 中位数
甲 乙

命中 9 环及 9 环 以上的次数

(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:

①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定);

②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些);

③从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看(谁的成绩好些);

④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力).

解:(1)由图可知,甲打靶的成绩为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,乙打靶的成绩为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.

甲的平均数为 7,方差为 1.2,中位数是 7,命中 9 环及 9 环以上的次数为 1;

乙的平均数为 7,方差为 5.4,中位数是 7.5,命中 9 环及以上次数为 3.

如下表:

平均数 方差 中位数

命中 9 环及 9 环以上的次数



7

1.2

7

1



7

5.4

7.5

3

(2)①甲、乙的平均数相同,乙的方差较大,所以甲的成绩更稳定;

②甲、乙的平均数相同,乙的中位数较大,所以乙的成绩好些;

③甲、乙的平均数相同,乙命中 9 环及 9 环以上的次数比甲多,所以乙的成绩较好;

④从折线统计图上看,在后半部分,乙呈上升趋势,而甲起伏不定,且均未超过乙,

故乙更有潜力.

9.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、乙两名跳高运动员进行了 8 次 选拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下:
甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67; 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75. 经预测,跳高 1.65 m 就很可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位选手参赛? 若预测跳高 1.70 m 方可获得冠军呢? 解:甲的平均成绩和方差如下: x 甲=18(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69, s2甲=18[(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2]=0.000 6. 乙的平均成绩和方差如下: x 乙=18(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68, s2乙=18[(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2]=0.003 15. 显然,甲的平均成绩好于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩

比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙,且成绩稳定,所以若跳高 1.65 m 就很可能获得冠军, 应派甲参赛.
在这 8 次选拔赛中乙有 5 次成绩在 1.70 m 以上,虽然乙的平均成绩不如甲,成绩的稳 定性也不如甲,但成绩突破 1.70 m 的可能性大于甲,所以若跳高 1.70 m 方可获得冠军,应 派乙参赛.


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