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浙江省2016届高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量过关提升 理

专题二

三角函数与平面向量
专题过关?提升卷 第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题
→ →

1.设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,EB+FC=(


)

A.AD


1→ B. AD 2 1→ D. BC 2
2

C.BC

2.已知向量 a=(2,1),b-a=(-3,k -3),则 k=2 是 a⊥b 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

)

2 3. 已知|a|=4, |b|=1, 且 〈a, b〉 = π, 当|a+xb|取得最小值时, 则实数 x 的值为( 3 A.1 C.2 B.-1 D.-2

)

4.已知 sin α -cos α = 3 A. 4 3 C.- 4

3 ? 2?π ,则 2cos ? -α ?=( 2 ?4 ? B. 5 4

)

5 D.- 4
→ →

5.(2015?山东高考)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则BD?CD=( 3 2 A.- a 2 3 2 C. a 4 3 2 B.- a 4 3 2 D. a 2

)

6.(2015?慈溪中学模拟)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,
→ → → →

0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是(

)
1

A.[4,6] B.[ 19-1, 19+1] C.[2 3,2 7 ] D.[ 7-1, 7+1]
→ → →

7.(2015?四川高考)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点 M,N 满足BM=
→ → → → →

3MC,DN=2NC,则AM?NM=( A.20 B.15 C.9

) D.6 )

8. 若 a, b, c 均为单位向量, 且 a?b=0, (a-c)?(b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 B.1 C. 2 D.2 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题

π? π? π? 3 ? ? ? π? ? 9.已知 sin?θ + ?+sin?θ - ?= ,且 θ ∈?0, ?,则 cos?θ + ?=________. 3 3 2 6? ? ? ? ? 3 ? ? ? π? ? 10.已知函数 f(x)=2cos(x+φ )?|φ |< ?,且 f(0)=1,f′(0)>0,将函数 f(x)的图象 2? ? π 向右平移 个单位,得函数 y=g(x)的图象,则函数 g(x)在[0,π ]上的最小值是________. 3 11.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P 是线段 BC 上一动点,Q 是线
→ → → → → →

段 DC 上一动点,DQ=λ DC,CP=(1-λ )CB,则AP?AQ的取值范围是________.





12.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE?BD=________. 13.(2015?南京模拟)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ )(0≤φ <π ),它们的图象有一 π 个横坐标为 的交点,则φ 的值是________. 3





14.(2015?义乌中学二模)已知 G 为△ABC 的重心,令AB=a,AC=b,过点 G 的直线分别交
2





AB、AC 于 P、Q 两点,且AP=ma,AQ=nb,则 + =________. m n

1

1

15.(2015?湖北高考)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路 北测一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=________m. 三、解答题 16.(2015?北京高考)已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值.

x

x

2

x

17.(2015?广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=?

2? ? 2 ,- ?,n=(sin x, 2 2 ? ?

? π? cos x),x∈?0, ?. 2? ?
(1)若 m⊥n, 求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3

π 18.(2015?浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 A= , 4

3

b2-a2= c2.
(1)求 tan C 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值.

1 2

19.如图,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90°,OP=2 2,点 M 在线段 PQ 上.

(1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30°,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小?并求 出面积的最小值.

20 . (2015? 瑞 安 中 学 调 研 ) 已 知 m = (

3 sin(2 π - x) , cos x) , n =

?sin?3π -x?,cos(π +x)?, ? ?2 ? ? ? ? ? ?
f(x)=m?n.
(1)求 y=f(x)的单调递增区间和对称中心;

4

1 (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若有 f(B)= ,b=7,sin A+sin 2

C=

13 3 ,求△ABC 的面积. 14

专题过关?提升卷
→ → → →

1.A [EB+FC=-(BE+CF) 1→ 1→ 1→ 1→ =-( BA+ BC+ CA+ CB) 2 2 2 2
→ 1→ 1→ 1 → → =-( BA+ CA)= (AB+AC)=AD,故选 A.] 2 2 2

2.A [由 a=(2,1),b-a=(-3,k -3),得 b=(-1,k -2). 又 a⊥b?a?b=-2+k -2=0, ∴k=±2,故“k=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.] 2 3.C [∵|a|=4,|b|=1, 〈a,b〉= π , 3 2 2 2 ∴a =16,b =1,a?b=|a||b|?cos π =-2. 3 则|a+xb| =a +x b +2xa?b=16+x -4x=(x-2) +12≥12 当且仅当 x=2 时,|a+xb| 有最小值. ∴x=2 时,|a+xb|取得最小值.] 4.B [由 sin α -cos α = 3 3 1 ,得 1-sin 2α = ,∴sin 2α = , 2 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

5 ? ?π ? 2?π 因此 2cos ? -α ?=1+cos 2? -α ?=1+sin 2α = .] 4 ?4 ? ?4 ? 5.D [如图所示,由题意,得 BC=a,CD=a,∠BCD=120°.

BD2=BC2+CD2-2BC?CD?cos 120°=a2+a2-2a?a??- ?=3a2, 2
→ → → → 2

? 1? ? ?

∴BD= 3a.∴BD?CD=|BD||CD|cos 30°= 3a ?

3 3 2 = a .] 2 2

5

→ 2 2



6. D [由|CD|=1 知, 点 D 是以 C 为圆心, 1 为半径的圆上的动点, 设 D(x, y), 则(x-3) +y =1.|OA
→ → 2 2 →

+ OB + OD | =
2

(x-1) +(y+ 3) 表 示 点 D 到 点 P(1 , - 3 ) 的 距 离 , 又 | PC | =
→ 2

(3-1) +(0+ 3) = 7,因此 7-1≤|PD|≤ 7+1,故选 D.]
→ → 3→ → → → 1→ 1→ 7.C [AM=AB+ AD,NM=CM-CN=- AD+ AB 4 4 3 → → → → 1 → 1 → ∴AM?NM= (4AB+3AD)? (4AB-3AD) 4 12 → → 1 1 2 2 2 2 = (16AB -9AD )= (16?6 -9?4 )=9.] 48 48

8.B [法一 由题意知 a =b =c =1, 又 a?b=0, ∵(a-c)?(b-c)=a?b-a?c-b?c+c ≤0, ∴a?c+b?c≥c =1, ∴|a+b-c| =a +b +c +2a?b-2a?c-2b?c =3-2(a?c+b?c)≤1, ∴|a+b-c|≤1. 法二 设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 则 x +y =1,a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y), 则(a-c)?(b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y) =x +y -x-y=1-x-y≤0,即 x+y≥1. 又 a+b-c=(1-x,1-y), ∴|a+b-c|= (1-x) +(1-y)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

= (x-1) +(y-1) = 3-2(x+y)≤1.] 3 2- 3 9. 6 π? π? 3 ? ? [由 sin?θ + ?+sin?θ - ?= ,得 3? 3? 3 ? ?

π π π π 3 sin θ cos +cos θ sin +sin θ cos -cos θ sin = . 3 3 3 3 3

6

π 3 3 ∴2sin θ cos = ,则 sin θ = . 3 3 3 6 ? π? 2 又 θ ∈?0, ?,∴cos θ = 1-sin θ = . 2? 3 ? π? π π 3 2- 3 ? 因此 cos?θ + ?=cos θ cos -sin θ sin = .] 6? 6 6 6 ? 10.-1 [由 f(x)=2cos(x+φ ),得 f′(x)=-2sin(x+φ ).

∴f(0)=2cos φ =1,且 f′(0)=-2sin φ >0, 1 因此 cos φ = ,且 sin φ <0, 2 π π π 所以 φ =2kπ - ,k∈Z,又|φ |< ,则 φ =- , 3 2 3

f(x)=2cos?x- ?, 3

? ?

π?

?

? 2 ? 根据图象平移变换,知 g(x)=2cos?x- π ?. ? 3 ?
2π 2π π 又 0≤x≤π ,知- ≤x- ≤ . 3 3 3

? 2 ? ? 1? ∴g(x)的最小值为 2cos?- π ?=2??- ?=-1.] ? 3 ? ? 2?
→ →

11.[0,2] [建立如图所示的直角坐标系,则 D(0,1),C(1,1),设 Q(m,n),由DQ=λ DC
→ →

得,(m,n-1)=λ (1,0),即 m=λ ,n=1,又 B(2,0),设 P(s,t),由CP=(1-λ )CB得, (s-1,t-1)=(1-λ )(1,
→ → 2 → →

-1),即 s=2-λ ,t=λ ,所以AP?AQ=λ (2-λ )+λ =-λ +3λ ,λ ∈[0,1],AP?AQ ∈[0,2].]

→ → → → → 1→ ? ? 12.2 [法一 AE?BD=?AD+ AB ?? AD-AB 2 ? ?

(

1 AB +0=2 - ?2 =2. )=AD -1 2 2
→ → 2 2 2 2

法二 以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),

E(1,2).

7





∴AE=(1,2),BD=(-2,2).
→ →

从而AE?BD=1?(-2)+2?2=2.] π 13. 6 π π ? π ? 1 ∴2π +φ =2kπ +π 或 [根据题意, 将 x= 代入可得 cos =sin?2? +φ ?= , 3 3 3 6 ? ? 2 3

2 5 π +φ =2kπ + π ,k∈Z. 3 6 π 又∵φ ∈[0,π ),∴φ = .] 6
→ → → → → → 2 1 1 ?1 ? b GQ 14. 3 [由 G 为重心, 得AG= ? (a+b)= (a+b). ∴PG=AG-AP=? -m?a+ , =AQ- 3 2 3 ?3 ? 3

AG=?n- ?b- a, 3



? ?

1?

?

1 3

又 P、G、Q 三点共线, 1 1 -m 3 3 ∴ = ,即 m+n=3mn. 1 1 - n- 3 3 1 1 因此 + =3.]

m n

15.100 6

[如图所示,在△ABC 中,AB=600,∠BAC=30°,

∠ACB=75°-30°=45°.

由正弦定理,得

= , sin∠BAC sin∠ACB

BC

AB

sin 30° ∴BC=600? =300 2. sin 45° 在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,

8

∴CD=BC?tan∠CBD=300 2?tan 30°=100 6.] 16.解 (1)因为 f(x)= 2 ? π? =sin?x+ ?- , 4? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π . (2)因为-π ≤x≤0,所以- 3π π π ≤x+ ≤ . 4 4 4 2 2 sin x- (1-cos x) 2 2

π π 3π 当 x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4 2 ? 3π ? 所以 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值为 f?- ?=-1- . 2 ? 4 ? 17.解 (1)因为 m=? 所以 m?n=0,即 所以 tan x=1. π 1 (2)因为|m|=|n|=1,所以 m?n=cos = , 3 2 即 2 2 1 ? π? 1 sin x- cos x= ,所以 sin?x- ?= , 4? 2 2 2 2 ? 2? ? 2 ,- ?,n=(sin x,cos x),m⊥n. 2? ?2

2 2 sin x- cos x=0,所以 sin x=cos x, 2 2

π π π π 因为 0<x< ,所以- <x- < . 2 4 4 4 π π 5π 因此 x- = ,故 x= . 4 6 12 π 1 2 1 1 2 2 2 2 18.解 (1)由 A= ,b -a = c 及正弦定理得 sin B- = sin C. 4 2 2 2 π 3 2 所以-cos 2B=sin C.又由 A= ,得 B+C= π . 4 4 3 ?3 ? ∴2B= π -2C,则 cos 2B=cos? π -2C?=-sin 2C. 2 ?2 ? 从而 sin 2C=sin C,即 2sin Ccos C=sin C. 又 sin C≠0,故 tan C=2. 2 5 5 (2)由 tan C=2,C∈(0,π )得 sin C= ,cos C= , 5 5
2 2

?π ? 又因为 sin B=sin(A+C)=sin? +C?, ?4 ?
3 10 所以 sin B= , 10 由正弦定理,c=

bsin C 2 2 = b.① sin B 3

9

1 π 又 S△ABC= bcsin A=3,A= , 2 4 所以 bc=6 2,② 联立①,②可求 b=3. 19.解 (1)在△OMP 中,∠OPM=45°,OM= 5,OP=2 2, 由余弦定理得,OM =OP +MP -2?OP?MP?cos 45°, 得 MP -4MP+3=0, 解得 MP=1 或 MP=3. (2)设∠POM=α ,0°≤α ≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM= 同理 ON= , sin(45°+α ) = , sin∠OPM sin∠OMP
2 2 2 2

OM

OP

OPsin 45°

OPsin 45° . sin(75°+α )

1 故 S△OMN= ?OM?ON?sin∠MON 2 1 OP sin 45° = ? 4 sin(45°+α )sin(75°+α ) = = sin(45°+α )[ = 1 sin(45°+α )sin(45°+α +30°) 1 3 1 sin(45°+α )+ cos(45°+α )] 2 2 1 3 1 α 2 sin (45°+α )+ sin(45°+α )cos(45°+ ) 2 2 2 1 3 1 [1-cos(90°+2α )]+ sin(90°+2α ) 4 4 1 3 3 1 + sin 2α + cos 2α 4 4 4 . 3 1 + sin(2α +30°) 4 2 1
2 2







因为 0°≤α ≤60°,30°≤2α +30°≤150°,所以当 α =30°时,sin(2α +30°)的最 大值为 1,此时△OMN 的面积取到最小值,即∠POM=30°时,△OMN 的面积的最小值为 8- 4 3.

10

?3 ? 20. 解 (1)f(x)=m?n= 3sin(2π -x)?sin? π -x?+cos x? cos(π +x)= 3sin xcos ?2 ?
x-cos2x
= π? 1 3 1 1 ? sin 2x- cos 2x- =sin?2x- ?- . 6? 2 2 2 2 ?

π π π 令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z. 2 6 2 π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 6 3 π π? ? ∴函数 y=f(x)的单调增区间是?kπ - ,kπ + ?,k∈Z, 6 3? ? π kπ π 令 2x- =kπ ,得 x= + ,k∈Z, 6 2 12 ∴函数 y=f(x)的对称中心是?

?kπ +π ,-1?,k∈Z. ? 2? ? 2 12

π? 1 1 1 ? (2)由 f(B)= ,得 f(B)=sin?2B- ?- = , 6? 2 2 2 ? π? π π 11π ? ∴sin?2B- ?=1,又 0<B<π ,∴- <2B- < , 6? 6 6 6 ? π π π 则 2B- = ,所以 B= . 6 2 3 由正弦定理得:sin A+sin C=

a+c sin B, b

13 3 a+c 3 即 = ? ,所以 a+c=13. 14 7 2 由余弦定理 b =a +c -2accos B 得:b =(a+c) -2ac-2accos B, 则 49=169-3ac,∴ac=40. 1 1 3 所以 S△ABC= acsin B= ?40? =10 3. 2 2 2
2 2 2 2 2

11


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