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2019人教A版数学必修五 3.4《基本不等式》 (1)导学案

2019 人教 A 版数学必修五 3.4《基本不等式》 (1)导学案
【学习目标】 学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥” 取等号的条件是:当且仅当这两个数相 等; 【重点难点】 教学重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式 的证明过程; 教学难点:基本不等式 等号成立条件。 【知识链接】 看书本 97、98 页填空 复习 1:重要不等式:对于任意实数 a,b ,有 a2 ? b2 ____ 2ab ,当 且仅当________时,等号成立.
复习 2:基本不等式:设 a,b?(0,??) ,则 a ? b _____ ab ,当且仅当____时, 不等式取等号. 2
【学习过程】 ※ 学习探究 探究 1:基本不等式 ab ? a ? b 的几何背景:
2 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人 民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
将图中的“风车”抽象成 如图,

在正方形 ABCD

中有 4 个全等的直角三角形. 设直

角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方 形的边长为____________.这样,4 个直角三角形的面积

的和是___________,正方形的面积为_________.由于 4 个直角三角形的面积______正方形的面积,

我们就得到了一个不等式: a2 ? b2 ? 2ab . 当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有_______________

结论:一般的,如果 a,b ? R ,我们有 a2 ? b2 ? 2ab 当且仅当 a ? b 时,等号成立. 探究 2:你能给出它的证明吗?

特别的,如果 a ? 0 , b ? 0 ,我们用 a 、 b 分别代替 a 、 b ,可得 a ? b ? 2 ab ,

通常我们把上式写作: ab ? a ? b (a>0,b>0) 2
问:由不等式的性质证明基本不等 ab ? a ? b ? 2
用 分析法证明:

证明:要证 a ? b ? ab 2

只要证

a?b?

要证(2),只要证 a ? b ? ____ ? 0

(1)
(2 ) (3)

要证 (3),只 要证 (_____? _____)2 ? 0 (4)

显然,(4)是成立的. 当且仅当 a=b 时,(4)中的等号成立.

3)理解基本不等式 ab ? a ? b 的几何意义 2
探究:课本第 98 页的“探究”
在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连

接 AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? a ? b 的几何解释吗? 2

结论:基本不等式 ab ? a ? b 几何意义是“半径不小于半弦” 2
评述: 1.如果把 a ? b 看作是正数 a 、 b 的等差中项, ab 看作是正数 a 、 b 的等比中项,那么该定理可以
2 叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中,我们称 a ? b 为 a 、 b 的算术平均数,称 ab 为 a 、 b 的几何平均数.本节定理还 可叙 2
述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
※ 典型例题 例 1 (1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最 短. 最短的篱笆是多少? (2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的 面积最大,最大面积是多少?
.
※ 动手试试 练 1. x ? 0 时,当 x 取什么值时, x ? 1 的值最小?最小值是多少?
x

练 2. 已知直角三角形的面积等于 50,两条直角边各为多少时,两条直角边的各最小,最小值是多 少?

【学习反思】 ※ 学习小结
在利用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等号.

※ 知识拓展 两个正数 x, y
1.如果和 x ? y 为定值 S 时,则当 x ? y 时,积 xy 有最大值 1 S 2 . 4
2. 如果积 xy 为定值 P 时,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 P .

【基础达标】 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1. 已知 x ? 0,若 x+ 81 的值最小,则 x 为( ). x
A. 81 B. 9 C. 3 D.16

2. 若 0 ? a ?1, 0 ? b ?1且 a ? b ,则 a ? b 、 2 ab 、 2ab 、 a2 ? b2 中最大的一个是( ).

A. a ? b B. 2 ab C. 2ab D. a2 ? b2 3. 若实数 a,b,满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是( ).

A.18 B.6

C. 2 3

D. 3 2

4. 已知 x≠0,当 x=_____时,x2+ 81 的值最小,最 小值是________. x2
5. 做一个体积为 32 m3 ,高为 2 m 的长方体纸盒,底面的长为_______,宽为________时,用纸最少.

【拓展提升】 1. (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? (2)把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?

2. 一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m ,问这个矩形的长、宽各为多少 时,菜园的面积最大?最大面积是多少?