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高中数学第一轮复习系列1-集合


第一章 集合、命题逻辑与充要条件
第1讲 集合的概念 一、考纲研读
1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受 集合语言的意义和作用; 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义。

二、知识梳理
1.集合:某些指定的 集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称 ,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元 素,记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足: 、 与 ; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者 不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因 此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用 、 或 ; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 ;正整数集,记作 ; 整数集,记作 ;有理数集,记作 ;实数集,记作 。 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的 (或 B 包含 A) , 记作 A ? B(或 A ? B ) ; 集合相等: 构成两个集合的元素完全一样。 若 A ? B 且 B ? A, 则称 A 等于 B, 记作 A=B; 若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的 ,记作 A ? ? B; 个子集(其中 2n-1 个真子集) ;

(2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有

三、考点难点整合
考点 1 集合中元素的正确识别 [知识归纳]识别集合的元素关键是看竖线前面的符号是什么 [考点分析] 考查考生对集合概念的认识和理解 [例 1] 已知集合 P={x∈N|1≤x≤10},Q={x∈R|x2+x-6=0}, 则 P∩Q 等于( ) A. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 巩固训练 1
1

1-1.若集合 M={0,l,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0,x,y ∈M},则 N 中元素的个数为( A.9 1-2.设集合 A ? {x | x ? A. x ? A ) B.6 C.4 D.2

1 1 9 k ? , k ? Z } ,若 x ? ,则下列关系正确的是( ) 2 4 2
B. x ? A C. {x} ? A D. {x} ? A

考点 2 集合相等的含义及其运用 [知识归纳]集合相等要求集合里面的元素要完全一样。 [考点分析] 考查考生对集合相等概念的理解. [例 2] 已知 A={2,x,},B={2x,2 },A=B,在 x=( A.0 巩固训练 2 2-1. 设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? {0, A.1 B. ?1 B. ? 1 C.2 ) D. ? 2

b , b} ,则 b ? a ? ( a
C.2



D. ?2

考点 3 子集的考察 [知识归纳]集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) , 记作 A ? B。 [考点分析] 考察学生对集合子集概念的理解,注意求真子集时千万不要忘记空集 ? 是任何 非空集合的真子集。同时,A 不是 A 的真子集。 [例 3] 已知集合 A={1,2,3,4},那么 A 的真子集的个数是( ) A.15 B.16 C.3 D .4 巩固训练 3 3-1.设集合 M={a,b},则满足 M∪N ? {a,b,c}的集合 N 的个数为( ) A.1 B.4 C.7 D.8 3-2. 设集合 A ? (x, y) y ? 2x , B ? ?(x, y) y ? a,a ? R? ,则集合 A ( ) A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个

?

?

B 的子集个数最多有

四、当堂检测
1. 已知集合 M={ (x,y)|x+y=2} ,N={ (x,y)|x-y=4} ,那么集合 M∩N 为 A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} 2 2 2. 设集合 M={(x,y)|x +y =1,x∈R,y∈R},N={(x,y)|x2-y=0,x∈R,y∈R},则集合 M∩N 中元素的个数为( ) A .1 B .2 C. 3 D. 4 3. 设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是( ) A.1 B. 3 C. 4 D. 8 4. 已知 A ? {?1,3, m} ,集合 B ? {3, 4} ,若 B ? A ,则实数 m ? ___ 。 5. 第 29 届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加北京奥 运会比赛的运动员} ,集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员} ,集合C={参加北京奥
2

运会的女运动员} ,则下列关系正确的是( ) A.A ? B B.B ? C C.B ? C=A 6 . 用 符 号 ? 或 ? 填 空 : 0__________{0} ,

D.A ? B=C

a__________{a} ,

? __________Q ,

1 2 __________Z,-1__________R, 0__________N, 0

?.

第2讲
一、考纲研读

集合的基本运算

1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 3.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二、知识梳理
(1) 交集: 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集, 记为 ,即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (2)并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的 并集,记为 ,即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. (3)补集:一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做子集 A 在全集 S 中的补集(或余集) ,记为 即
S A={x|x∈S



且 x ?A}.

三、考点难点整合
考点 1 交集的应用 [知识归纳]交集就是取集合的公共元素 [考点分析] 考查考生对集合交集认识和理解 [例 1] (1)设集合 A= x 2 x ? 1 <3 ,B= x ? 3<x<2 ,则 A ? B 等于( ) A. x ? 3<x<2

?

?

?

?

?

?

B.

?x1<x<2?

C. x x> ? 3

D. x x<1

巩固训练 1 1-1.设集合 A ? {x | ?1 ≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B=( ) A. [0,2] A. {x | 0 ? x ? 1} B. [1,2] C. [0,4] D. [1,4] 1-2.已知集合 M ? {x | log 2 x ? 1}, N ? { x | x ?1} ,则 M B. {x | 0 ? x ? 2}

N= ( ) . C. {x | x ? 1} D. ?

考点 2 并集的应用 [知识归纳]并集就是取齐集合的所有元素,相同的只写一次,保证元素的互异性。 [考点分析] 考查考生对集合并集概念的认识和理解 [例 2] 设集合 M={4,5,6,8},集合 N={3,5,7,8}那么 M∪N=( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8} 巩固训练 2 2-1.若集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,则 A

B ? _____________

3

2-2. (2008 广州二模) 已知集合 M 满足 M ? ? ( 1, 2? ? ? 1, 2, 3? , 则集合 M 的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点 3 补集的应用 [知识归纳] 补集就是在全集里面除开已知集合的元素,剩下的元素构成的集合。 [考点分析] 考查考生对集合补集概念的认识和理解 [例 3] 设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ,集合 S ? {1,3,5} , T ? {3,6} , 则 CU ? S ?T ? 等于( ) A. ? B. {2, 4,7,8} C. {1,3,5, 6} D. {2, 4,6,8} 巩固训练 3 3-1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( uA)∪( uB)= ( A.{1,6} B.{4,5} C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7} A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

) ) .

3-2.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1, a ? 2,5? ,Cu A ? {2,4},则 a 的值为(

四、当堂检测
1.设集合 A ? {x | ?1 ≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B=( ) A [0,2] B [1,2] C [0,4] D [1,4] )

, 2, 3,, 4} A ? {1,, 2} B ? {2, 4} ,则 Cu ( A ? B) =( 2.设集合 U ? {1
A. {2} B. {3}

, 2, 4} C. {1

D. {1 , 4}

3.已知集合 A= ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0? , B ? ? x | 2 x ? 1 ? 3? , 则集合 A B =( ) A. ?x | 2 ? x ? 3?
2

B. ?x | 2 ? x ? 3?

C. ?x | 2 ? x ? 3?

D. ?x | ?1 ? x ? 3? D.M∪N=R )

4.设集合 M= {x| x ? x ? 0 },N = { x | |x| ? 2 },则( ) A.M∩N=Φ B.M∩N=M、 C .M∪N=M

, 2, 3 , 4, 5, 6? ,集合 A ? ?2, 3, 6? ,则集合 Cu A 等于( 5.已知全集 U ? ?1
, 4? A. ?1

B. ?4, 5?

, 4, 5? C. ?1

3, 6? D. ?2,

6.集合 P= ?x, y ? x ? y ? 0

?

?

,Q= ?x, y ? x ? y ? 2 ,则 A∩B= _ _。

?

?

7.已知集合 M={x|x<3} ,N={x|log2x>1} ,则 M∩N=____

8.已知集合 A={x||x|≤2, x∈R}, B={x|x≥a}, 且 A B, 则实数 a 的取值范围是____

4

集合复习题
一选择题、 1.下面给出的四类对象中,构成集合的是( ) D.倒数等于它本身的数 ) (D)a ? A

A.某班个子较高的同学 B.长寿的人 C. 2 的近似值 2.设 A={x|x≤4},a= 17 ,则下列结论中正确的是( (A){a}? (B)a ? A ≠ A 3.下面表示同一集合的是( ) (A)M={(1,2)},N={(2,1)} (C)M= ? ,N={ ? }

(C){a}∈A

(B)M={1,2},N={(1,2)} (D)M={x| x ? 2 x ? 1 ? 0} ,N={1}
2

4.下列四个命题:① ? ={0} ;②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的 子集;④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 5.已知全集 U={0,1,2,3}且 u A={2},则集合 A 的真子集共有( D.7 个 ) )

A.3 个 B.5 个 C.8 个 A ? B 等于( 6. 若集合 A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则集合 A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2<x<2} D.{x|0<x<1}

7. 已知全集 U=R,集合 A={x|x+1<0}, B={x|x-3<0},那么集合(C U A) ? B 等于( A.{x| ?1 ? x ? 3 } C.{x|x<-1} B.{x|-1<x<3} D.{x|x>3}

)

2 8. 设全集 U=R,A={ x ?N| 1 ? x ? 10 },B={ x ?R| x ? x ? 6 ? 0 },则下图中阴影部分表示的集

合为(

)

9.若 M={x|x>1},N={x|x≥a},且 N ? M,则( A.a>1 B.a≥1 C.a<1 10.已知集合
A. a? 1 C. a? 0

A.{2} C.{-3,2}

B.{3} D.{-2,3}

) D.a≤1

A ? ?x | ?3 ? x ? 5?,B ? ?x | a ? 1 ? x ? 4a ? 1?, 且A ? B ? B , B ? ? ,则实数 a

的取值范围是(

) .
B. 0 ? a? 1 D.? 4? a ? 1

二.填空题 11.由所有偶数组成的集合可表示为{
x x?

}.

5

12. 若集合 A={x| x ? 1 },B={x| x ? 4 },则 A ? B ?
2

. 个.

13. 已知集合 M={a,0}, N={1, 2}, 且 M∩N={1}, 那么 M∪N 的真子集有 14.对于集合 A={2,4,6},若 a ? A,则 6-a ? A,那么 a 的值是__________.

15.已知集合 M={x|-1≤x<2} ,N={x|x—a≤0} ,若 M∩N≠ ? ,则 a 的取值范围 是 . 16. 已 知 集 合 A={ x ? R||x-1|<2},Z 为 整 数 集 , 则 集 合 A ? Z 中 所 有 元 素 的 和 等 于 . 17. 已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9} 的子集 , 且 A ? B ? 于 . CR ( A ? B) 等 C U B) ? A ? {9}, 则 A 等

2 18. 已 知 全 集 U=R, 集 合 A={x| 3 ? x ? 7 },B={x| x ? 7 x ? 10 ? 0 }, 则

于 . 三、解答题 19.(1)设全集 I 是实数集,集合 M={x| x ? 3 ? 0

x 2 ? x+12},求

C I M)? N ;

(2)已知全集 U=R,集合 A={x|(x+1)(x-1)>0},B={x| ?1 ? x ? 0 },求 A ? ( C U B) .

20. 已知 A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若 a=1,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? R,求实数 a 的取值范围.

21.已知集合 A= x ? R ax ? 3x ? 2 ? 0, a ? R .
2

?

?

(1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围
王新敞
奎屯 新疆

22.集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若 B A,求实数 m 的值.

6

第3讲

命题逻辑与充要条件

教学目标: (1)了解命题的意义. (2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会对命题的充要性作出判断. (3)简单的逻辑联结词:了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 教学重点:必要条件、充分条件与充要条件的意义,逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义 教学难点:命题的否定,必要条件、充分条件与充要条件的判断. 知识梳理 1.命题与逻辑联结词 (1)命题:能够判断其真假的语句,因此疑问句、祈使句都不是命题. (2)若一个命题是正确的,该命题叫真命题;若一个命题不正确,该命题叫假命题. 由命题的概念,一个命题不是真命题就是假命题。 (3) 由简单命题用逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”联结起来组成的命题叫复合命题.若用 小 写字母 p、q 表示命题,则复合命题的基本形式是“p 或 q”,“ p 且 q”以及“ 非 p”. (4)逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系,A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.逻辑联结词 “且”可以与集合中的“交”相联系,A∩B={x|x∈A,且 x∈B}。逻辑联结词“非”,可以与集合中 的“补”相联系 ,CuA={x|x∈U,且 x ? A}. 2、真值表 (1)一个简单命题的真假易于判断,但一个复合命题的真假不一定容易判断,真值表 是判断复合命题真假的有力工具。 (2)对一个复合命题,如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻辑联结词,只要逐 一判断简单命题的真假,就可以很容易用真值表判断这个复合命题的真假. (3)真值表中,“非 p”形式的复合命题的真假与 p 相反;“p 且 q”形式的复合命题,当 且仅当 p、q 都为真时为真,其余情况均为假;“p 或 q”形式的复合命题,当且仅当 p、q 都 为假时为假,其余情况都为真. 3. 常用正面词语的否定如下表: 正面词语 等于 小于 大于 是 都是 否定 不等于 不小于(大于或等于) 不大于(小于或等于) 不是 不都是(至少有一个不是) 正面词语 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定 某个 某些 至少有两个 一个也没有

4.充要条件: (1)若 p ? q,但 p q,则说 p 是 q 的充分而不必要条件(q 成立的充分条件是 p) ; (2)若 p q,但 p ?q,则说 p 是 q 的必要而不充分条件(q 成立的必要条件是 p) ; (3)若 p q,且 p q,则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件. (4)若既有 p ? q,又有 q ? p,就记作 p ? q.此时,p 既是 q 的充分条件,p 又是 q 的必 要条件,我们就说,p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件.(当然此时也可以说 q 是 p 的充 要条件)

7

三、典型例题分析
典型例题 例 1.分别指出下列复合命题的构成形式: (1)x=2 或 x=3 是方程 x2?5x+6=0 的根 (2)? 既大于 3 又是无理数 (3)直角的大小不等于 90? (4)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 例 2.分别写出由下列各种命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的复合命题,并判断它们的 真假: (1)p:末位数字是 0 的自然数能被 5 整除 q:5?{x|x2+3x-10=0} (2)p:四边都相等的四边形是正方形 q:四个角都相等的四边形是正方形 (3)p: 0 ? ? ; q:

?x | x

2

? 3x ? 5 ? 0 ? R
q: 不等式 x2+2x?8<0 的解集是: {x| x<-4

?

(4) p: 不等式 x2+2x?8<0 的解集是: {x|-4<x<2} 或 x> 2}

例 3.判断下列命题的真假: (1)(x?2)(y+3)=0 是(x?2)2+(y+3)2=0 的充要条件。 (2)x2=4x+5 是 x 4 x ? 5 ? x 的必要条件。
2

(3)内错角相等是两直线平行的充分条件。 (4)ab<0 是 |a+b|<|a?b| 的必要而不充分条件。

提高题: 例 4. 已知 p: x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q: 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.若 p 或 q 为 真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

例 5.已知 A 是 D 的充分条件,D 是 B 的必要条件又是 C 的充分条件,B 是 C 的必要条件.
8

问: (1)A 是 C 的什么条件?A 是 B 的什么条件? (2)A、B、C、D、中有几对互为充要条件

当堂检测 一、选择题 1.命题 p 与命题“非 p” A.可能都是真命题 C.有且只有一个是真命题

( B.可能都是假命题 D.以上情况都有可能



2. 已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 题的是( ) A. (?p) ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) ) D. (?p) ? (?q)

3. 已知 p : 2 ? 2 ? 5, q : 3 ? 2 ,则下列判断中,错误的是( (A)p 或 q 为真,非 q 为假 (C)p 且 q 为假,非 p 为真

(B) p 或 q 为真,非 p 为假 (D) p 且 q 为假,p 或 q 为真

4. 已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的( ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.下列几个说法:①“x<1”是“x<2”的必要条件;②“xy=0”是“x=0”的充分条件;③“x2+y2=0” 是 “x=0” 的 充 分 条 件 ; ④ “x2<1” 是 “x>-1” 的 充 分 条 件 , 其 中 正 确 的 命 题 是 ( ) A.②、③、④ B.③、④ C.①、③ D.②、④ 二、填空题
3 2 6.已知命题 p :"若a ? 1, 则a ? a " ;命题 q :"若a ? 0, 则a ?

1 ,则在“p 或 q”,“p 且 a

q” , “非 p”,“非 q”四个命题中,真命题是 。 7.已知命题 p:0 是自然数,命题 q: 9 是无理数,则命题“非 p”,“非 q”,“p 或 q”,“p 且 q” 中,假命题是 。 2 8.命题“若 x≠?1,则 x +2x+1>0”的否定形式是 ;

9

9. ⑴“

,”是“

”成立的

条件; 条件;

⑵“三角形全等”是“三角形面积相等”成立

⑶“方程 的 条件

的有两个不等的实数解”是“

”成立







条件 条件

⑸“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的

⑹ 三、解答题:





条件

10.已知命题 p:π 是无理数,命题 q: 2 是有理数,写出命题“非 p”,“非 q”,“p 或 q”,“p 且 q”并判断它们的真假。

11.完成下表:

B

A 是 B 的什么条件 B 是

的什么条件

是有理数

是实数



是奇数

是偶数

是 4 的倍数

是 6 的倍数

10


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