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垂线段性质


汇英中学七年级数学组

1、直线相交时有几种情况? 斜交和垂直 2、怎样的两条直线我们称它们互相垂直? 两条直线相交,如果有一个角是直角。 3、一条直线仅有一条垂线。对吗? 有无数条 4、如图,过点P,Q画出线段或射线的垂线

自学方法:自学课本第119—120页
1.仔细观察探究中图10-6所有的线段,最短的 一条是线段_______;从而我们可以得出结 论:______________________________. 简单说成:____________. 2.______________________________,叫 做点到直线的距离.

3.在图10-6探究中哪条线段的长度是点P

到直线 的距离?

ι

线段、射线的垂线应怎么画呢?

P

Q

A

B

O

A

注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.

思考
在灌溉时,要把河中的水引到农田P 处,如何挖渠能使渠道最短?

p

二、概念

P

A

B

C

D

m

连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中,垂线段最短。 垂线段最短 简单说成:垂线段最短. 垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离。

解决应用 在灌溉时,要把河中的水引到 农田P处,如何挖渠能使渠道 最短?

垂线段最短
C

例、如图所示,在△ABC中∠ACB=90 ,CD⊥AB 于D。若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,则点A 到直线BC的距离为 4 cm,点B到直线AC 的距离 3 cm,点c到直线AB的距离 12 为 cm。 5
C

B
D

A

练习
1、 在直角三角形的三条边中哪一条 最长?

答:直角所对的边即斜边最长.

2.如图, AB⊥CD, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是( C )

(A) AC

(B) BC

(C) CD

(D) 不能确定 C

A

D

B

想一想: 已知: 如图AD<AE <AC<AB 能说AD的长是A到BC的 A 距离吗?

答:不能。
B D EC

B

1、如图,点A处是一座小屋, BC是一条公路,一人在O处。 A

. . O

P

(1)此人到小屋去,怎样走最近? 为什么?(连接AO,两点之间线段 最短) (2)此人要到公路去,怎样走最 近?为什么?(垂线段最短) 2、下列说法正确的是( D )

C

A

D C

(A)线段AB叫做点B到直线AC的距离。
(B)线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离 (C)线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 (D)线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离 B

3、如图所示,有两条高速公路l,m,点P为公路l上的一 个出口,现要经过点P建一连接两高速公路的一段通道, 欲使路程最短,应怎样施工?

过点P作直线m的垂线段PO P l m
O



4、 文峰学校第六届运动会上,701班一名运动员第五 跳打破了年级记录。如图A、B为这一跳的脚印落点, 起跳线为CD。请画图说明如何测量他的成绩。

C F
D
┓ ? ?

A

EB

解:过脚印B的后跟E作EF⊥CD,垂足为点F。
那么垂线段EF的长度就是这名运动员跳远的成绩。

5、如图所示,在△ABC中,∠ABC=90



①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD,过D点作三角 形ABD的AB边上的高DE。 AB ②点A到直线BC的距离是线段 的长度. 点B到直线AC的距离是线段 点D到直线AB的距离是线段 A 线段AD的长度是点 到直线 B E BD DE BD 的长度. 的长度 的距离.

A
D

C

6、已知点A,与点A的距离是5cm的直线可画( D ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条

7、如图2-22,AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC 于E.试比较四条线段AC,CD,DE和AB的大小
解:∵ AC⊥BC于C,(已知) ∴ AC<AB.(垂线的性质二) 又∵ CD⊥AD于D,(已知) ∴ CD<AC.(垂线的性质二) ∵ DE⊥CE于E,(已知) ∴ DE<CD.(垂线的性质二) ∴ AB>AC>CD>DE.

思考:如图,怎样测量 点A 到 直线m 的距离?
A

10m
B

20m

1.过点A画出直线m的垂线AB,垂足为B; 2.用直尺量出垂线段AB的长.

0m

m

例1、如图,量出(1)村庄A与货场B 的距离,(2)货场B到铁道的距离。 20m

30m

A 25m

B

0m

8m

C

10m

练习
1、如图, 1)画出线段BC的中点M,连结AM; 2)比较点B与点C到直线AM的距离。

9cm ∴BP=CQ

A Q

9cm C
20cm

B

M 0cm P 10cm

30c

2、如图,点M、N分别在直线AB、CD上, 用三角板画图, 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN 2)M点和N点的距离是线段____的长, MF 3)M点到CD的距离是线段____的长。 M A B ∴直线MF为所 求垂线。 D F C N

3、如图2-23,试用直尺或三角板量出: 1.城市A与城市B的距离. 2.城市A,B到大河l的距离.

G D M· C


问题1:长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处,请你 帮它画出爬行的最佳路线。并 F 说明理由。 问题2:若A处的蚂蚁想爬到 棱BC上,你认为它的最佳路线 是什么?

N
B

E

· A

问题3:若蚂蚁在点M处,想 爬到棱BC上,请你设计一条最 佳路线。

1、垂线性质2:垂线段最短。
2、点到直线的距离的应用。


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