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北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学理试题

北京市朝阳区 2015 届高三上学期期末考试 数学试卷(理工类) (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 2015.1 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限 1? i 在复平面内对应的点所在的象限是 i C.第三象限 D.第四象限 B.第二象限 2. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点.若 AB 中点 M 到抛物线准线 的距离为 6,则线段 AB 的长为 A. 6 B. 9 C. 12 D.无法确定 3.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象为 C ,下面结论中正确的是 A.函数 f ( x) 的最小正周期是 ?? B.图象 C 关于点 ( ,0) 对称 C.图象 C 可由函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D.函数 f ( x) 在区间 (? ? 3 ? 6 ? 个单位得到 3 ? ? , ) 上是增函数 ?? 2 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是 A. 4 ? 2 6 C. B. 8 D. 4 3 4?2 3 5. ?,? 表示不重合的两个平面, m , l 表示不重合的两条直线.若 ? 第 1 页 共 23 页 ? ? m ,l ? ? , l ? ? ,则“ l ∥ m ”是“ l ∥ ? 且 l ∥ ? ”的 A.充分且不必要条件 C.充要条件 6.在 ?ABC 中, B ? B.必要且不充分条件 D.既不充分也不必要条件 π ,则 sin A ? sin C 的最大值是 4 B. A. 1? 2 4 3 4 C. 2 2 D. 2? 2 4 7.点 O 在 ?ABC 的内部,且满足 OA ? 2OB ? 4OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面 积之比是 A. 7 2 B. 3 C. 5 2 D.2 8. 设连续正整数的集合 I ? ?1,2,3,...,238? ,若 T 是 I 的子集且满足条件:当 x ? T 时, 7 x ? T ,则集合 T 中元素的个数最多是( ) A. 204 B. 207 C. 208 D. 209 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. i n ( π ?? ) 9. 角 ? 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点 P(1, 2) , 则s 的值是 . ;渐近线方程是 . 2 2 10.双曲线 C : x ? y ? ?( ? ? 0 )的离心率是 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 11.设不等式组 ? x ? 0, 表示平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一点 P ,则点 P ?y ? 0 ? 落在圆 x ? y ? 1内的概率为 2 2 . 12. 有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时, 1 点响 1 声, 2 点响 2 声, 3 点响 3 声, ……, 12 点响 12 声(12 时制) ,且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为 1 秒.在一次大 钟报时时,某人从第一声铃响开始计时,如果此次是 12 点的报时,则此人至少需等待 秒才能确定时间; 如果此次是 11 点的报时, 则此人至少需等待 秒才能确定时间. 第 2 页 共 23 页 13.在锐角 AOB 的边 OA 上有异于顶点 O 的 6 个点,边 OB 上有异于顶点 O 的 4 个点,加 上点 O ,以这 11 个点为顶点共可以组成 14.已知函数 f ( x) ? 个三角形(用数字作答) . sin πx ( x ? R ) .下列命题: π x ? π1? x ①函数 f ( x ) 既有最大值又有最小值; ②函数 f ( x ) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x ) 在区间 [? π, π] 上共有 7 个零点; ④函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增. 其中真命题是 . (填写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某 城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间 的 600 人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制 频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人” ,[40,60)为“中年 人” , [60,80]为“老年人”. 频率 组距 0.03 0.02 0.01 O 20 30 40 50 60 70 80 年龄 (Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ) 将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的人口分布的概率. 从该城市 20-80 年龄段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X ,求随机变量 X 的分 布列和数学期望. 1 6. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点,点 F 在边 BC 上移动. 第 3 页 共 23 页 (Ⅰ)若 F 为 BC 中点,求证: EF //平面 PAC ; (Ⅱ)求证: AE ? PF ; (Ⅲ)若

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