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2006年高考数学压轴题精选精编


2006 年高考数学压轴题精选精编 1、 (本小题满分 14 分) 如图,已知点 N (?4 p, 0) (p>0,p 是常数) ,点 T 在 y 轴上,
y

???? ??? ? ? ???? ???? ? MT ? NT ? 0 ,MT 交 x 轴于点 Q,且 TM ? 2QM .
(Ⅰ)当点 T 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 E 的方程;(4 分) (Ⅱ)设直线 l 过轨迹 E 的焦点 F,且与该轨迹交于 A、B 两点,

M N O T Q x

过 A、B 分别作该轨迹的对称轴的垂线,垂足分别为 A1 , A2 , 求证: OF 是 OA1 和 OA2 的 等比中项; 分) (5 (Ⅲ) 对于该轨迹 E,能否存在一条弦 CD 被直线 l 垂直平分?若存在,求出直线 CD 的方程;若不存在,试说明理由。 分) (5

2、 (本小题满分 14 分) 设函数 f (x) 的定义域为 R,当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ,且对任意的实数 x 、 y ? R , 有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y). (Ⅰ)求 f (0) ; 分) (2 (Ⅱ)试判断函数 f (x) 在 (??, 0] 上是否存在最大值,若存在,求出该最大值,若不存在说明 理 由 ;( 5
2 2 f (an?1 ? an ) ?

分 )( Ⅲ ) 设 数 列

?a n ?

各 项 都 是 正 数 , 且 满 足

1 , (n ? N ? ) a1 ? f (0), f (an?1 ? 3an ? 2)
1 1 1 ,试比较 Sn 与 Tn 的 ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1

又设 bn ? ( ) n , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , Tn ?
a

1 2

大小.(7 分) 3、 (本题满分 13 分) 已知椭圆 c1 :

x2 ? y 2 ? 36(t ? 0) 的两条准线与双曲线 c2 : 5x2 ? y2 ? 36 的两条准线所 t
y P l A O Q x
为 坐

围成的四边形之面积为 12 6, 直线 l 与双曲线 c 2 的右支相交于

P, Q 两点(其中点 P 在第一象限),线段 OP 与椭圆 c1 交于点 A, O
标原点(如图所示). (I)求实数 t 的值;

(II)若 OP ? 3 ? OA , ?PAQ 的面积 S ? ?26 ? tan ?PAQ , 求直线 l 的方程. 4、 (本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: S1 ? ?1, Sn?1 ? 2Sn ? ?1(n ? N ? ), 数列 ?bn ? 的通 项公式为 bn ? 3n ? 4(n ? N ? ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)试比较 an 与 bn 的大小,并加以证明; ( III) 是否 存在 圆心在 x 轴 上的 圆 C 及 互不 相等 的正 整数 n、m、k, 得三 点 使

??? ?

??? ?

An (bn , an ), Am (bm , am ), Ak (bk , ak ) 落在圆 C 上?说明理由.
5、(本小题满分 14 分) 一次国际乒乓球比赛中,甲、乙两位选手在决赛中相遇,根据以往经验,单局比赛甲选手 胜乙选手的概率为0. 本场比赛采用五局三胜制, 6, 即先胜三局的选手获胜, 比赛结束. 设 全局比赛相互间没有影响,令ξ 为本场比赛甲选手胜乙选手的局数(不计甲负乙的局数) , 求ξ 的概率分布和数学期望(精确到 0.0001) . 6、(本小题满分 14 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) ,点(an,Sn)在直线 y=2x-3n 上. (1)若数列

?an ? c?成等比数列, 求常数C的值 ; 分) (5
(2)求数列 {a n } 的通项公式; 分) (3 (3)数列 ?an ? 中是否存在三项 它们可以构成等差数列 若存在, 请求出一组 适合条件的 , ? 项;若不存在,请说明理由. 分) (6 7、本小题 14 分) ( 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 a1 ? (1)问:数列 {

1 , +2S n S n?1=0(n ? 2) . a 2 n

1 } 是否为等差数列?并证明你的结论;(5 分) Sn

(2)求 S n 和 an ;(5 分) (3)求证: S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? ? ? S n ?
2 2 2 2

1 1 ? (4 分) 2 4n

8、 (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=

1 2 ax +bx,a≠0. 2

(Ⅰ)若 b=2,且 h(x)=f (x)-g (x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围;(7 分) (Ⅱ)设函数 f (x)的图象 C1 与函数 g (x)图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. (7 分) 9、 (本小题满分 14 分)

F 设抛物线 C1 :y 2 ? 4mx ( m ? 0) 的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 ;以 F1 、 2 为焦点,离
心率 e ?

1 的椭圆 C2 与抛物线 C1 的一个交点为 P . 2

(Ⅰ) m ? 1 时, 当 直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2 , 与抛物线 C1 交于 A1 、 2 , A 如果弦长 A1 A2 等于三角形 PF1 F2 的周长,求直线 l 的斜率. (Ⅱ)求最小实数 m ,使得三角形 PF1 F2 的边长是自然数. y

l

P

F1 F1

o

F2

x

10、 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数: f ( x) ? 2n?1 ( x n ? a) ? ( x ? a)n ,( x ? [0, ??), n ? N ? ) 求函数 f ( x) 的最小 值;

a n ? bn a?b n ?( ) (a ? 0 , b ? 0 , n ? N ? ) ; 2 2 n n n a n ? a 2 ? a3 ? ? ? a k a ? a 2 ? a3 ? ? ? a k n ?( 1 ) (Ⅲ)定理:若 a1 , a2 , a3 ?ak 均为正数,则有 1 k k 成立
(Ⅱ)证明: (其中 k ? 2, k ? N ? , k为常数) .请你构造一个函数 g ( x ) ,证明:

当 a1 , a2 , a3 ,?, ak , ak ?1 均为正数时,

n n n a1n ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 a ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 n ?( 1 ) . k ?1 k ?1

11、

本小题满分 14 分)

如图,在 ?OAB 中, | OA |?| OB |? 4 ,点 P 分线段 AB 所成的比 3 :1 ,以 OA 、 OB 所在 直线为渐近线的双曲线 M 恰好经过点 P ,且离心率为 2 . (Ⅰ)求双曲线 M 的标准方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? m ( k ? 0 , m ? 0 )与双曲线 M 交于不同的两点 E 、 F ,且 E 、

F 两点都在以 Q(0 , ? 3) 为圆心的同一圆上,求实数 m 的取值范围.

12、本小题满分 14 分 已知函数 f ( x) 是定义在 [?e , 0) ? (0 , e] 上的奇函数, x ? (0 , e] 时, f ( x) ? ax ? ln x 当 有 (其中 e 为自然对数的底, a ? R ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x ) ?

ln | x | 1 ( x ?[?e , 0) ? (0 , e] ) ,求证:当 a ? ?1 时, | f ( x) |? g ( x) ? ; | x| 2

(Ⅲ)试问:是否存在实数 a ,使得当 x ?[?e , 0) , f ( x) 的最小值是 3 ?如果存在, 求出实数 a 的值;如果不存在,请说明理由.

13、

(小题满分 14 分)

) ,令 y ? tan ? , x ? tan? 。 2 (Ⅰ)把 y 表示成 x 的不含 ? 、 ? 的函数 f ( x) (即写出 y ? f ( x) 的解析式) ; 锐角 ? 、 ? 满足 sin ? ? m cos(? ? ? ) ( m ? 0 , ? ? ? ?

?

?? ? ? (Ⅱ)当 ? ? ? , ? 时,求函数 y ? f ( x) 的最大值。 ?4 2?

14、

(本小题满分 14 分)

已知 F1 、 F2 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,直线 l : y ? 2 x ? 5 与椭 a 2 b2

圆 C 交于两点 P1 、 P2 ,椭圆中心 O 关于直线 l 的对称点恰好落在椭圆 C 的左准线 l ? 上。 (Ⅰ)求椭圆 C 的左准线 l ? 的方程; (Ⅱ)已知 F P1 ? OF2 , ? a 2 , F2 P ? OF2 成等差数列,求椭圆 C 的方程。 2 1 15 、 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 所 示 , 过 定 点 A(m,0)(m ? 0) 作 一 直 线 l 交 抛 物 线 C: (

???? ???? ?

5 9

????? ???? ?

y 2 ? 2 px( p ? 0) 于 P、Q 两点,又 Q 关于 x 轴对称点为 Q1,连结 PQ1 交 x 轴于 B 点.
(Ⅰ)求证:直线 PQ1 恒过一定点; (Ⅱ)若 AP ? ? AQ, 求证PB ? ? BQ . 1
4

y
6

Q P x

2

A
-5

O
-2

5

Q
-4

1

-6

16、 (本小题满分 14 分) 由原点 O 向三次曲线 y=x3-3ax2+b x (a≠0)引切线,切于不同于点 O 的点 P1(x1,y1),再由 P1 引此曲线的切线,切于不同于 P1 的点 P2(x2,y2),如此继续地作下去,……,得到点列{ P n(x n , y n)},试回答下列问题: (Ⅰ)求 x1; (Ⅱ)求 x n 与 x n+1 的关系; (Ⅲ)若 a>0,求证:当 n 为正偶数时, x n<a;当 n 为正奇数时, x n>a.

2006 年高考数学压轴题精选精编参考答案

???? ? ??? ? ??? ? 1. (Ⅰ)解: 设OM ? ( x, y), OA ? (0, a), OQ ? (b,0)
∵ NT⊥TQ

?b ? 0 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 则NT ? (4 p, a), TQ ? (b, ?a), 又NT ? TQ ? 0,?a2 ? 4 pb ①………………2 分

???? ???? ? ???? ? ???? 又?QM ? ( x ? b, y), TM ? ( x, y ? a), TM ? 2QM
由①② y 2 ? 2 px ? p ? 0? ……………………4 分

? x ? 2b ?? ? y ? ?a



(Ⅱ) 证明: 若直线 l 与 x 轴不垂直, 设其斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5分 设 A(x1,y1), B(x2,y2)则 | OA |? x1 ,| OB |? x2 ∵F (

p ), …… 2

p p , 0) ∴ | OF |? , 2 2

p ? k2 2 ? y ? k(x ? ) 2 2 2 p ? 0 ………………7 分 由? 2 消去 y 得 k x ? ( pk ? 2 p) x ? 4 ? y 2 ? 2 px ?
∴ x1 x2 ?

p2 4

∴ | OF |2 ?| OA | ? | OB | ……………………………………8 分

p p2 2 若直线 l 与 x 轴垂直, A1、2 与 F 重合,这时 x1 ? x2 ? , 则 A 也有 | OF | ?| OA | ? | OB |? 2 4
综上知 OF 是 OA1 和 OA2 的等比中项. ………………………………………………9 分 另证:∵ 抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 焦点为 F ?
2

?p ? ,0? , ?2 ?
p , 2

∴过焦点 F 的直线 l 的方程可设为 x ? my ? 代入抛物线方程得 y ? 2 pmy ? p ? 0 .
2 2

若设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y2 是该方程的两个根,
2 2 有 y1 y2 ? ? p2 ,由 y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 得 ( y1 y2 )2 ? 4 p2 x1 x2

p2 p2 ? p ? 2 ∴ x1 x2 ? ,又 OA1 ? OA2 ? x1 x2 ? ? ? ? ? OF , 4 4 ?2?
∴ OF 是 OA1 和 OA2 的等比中项;………………7 分 (Ⅲ)假设对于该抛物线,能存在一条弦 CD 被直线 l 垂直平分, 设C?

2

? c2 ? ? d 2 ? ,c?, D? , d ? ? c ? d ? , ………………………………8 分 ? 2p ? ? 2p ?

则 C、D 中点的坐标为 (

c2 ? d 2 c ? d , ) 4p 2

故 l 的方程为 y ?

c?d c?d ? c2 ? d 2 ?? x? ? 2 2p ? 4p

? ? ,…………………………10 分 ?

c?d c ? d ? p c2 ? d 2 ? ?p ? l 过焦点 F ? , 0 ? ,有 0 ? 又 ?? ? ? ? ,整理得 2 2p ? 2 4p ? ?2 ?

? c ? d ? ? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? ? 0, ? p ? 0,? 2 p2 ? c2 ? d 2 ? 0,? c ? d ? 0 , … … … … …
…12 分 这时直线 l 的方程为 y=0,从而直线 l 为抛物线 y 2 ? 2 px 的对称轴, 这和直线 l 与抛 物线有两个不同的交点矛盾,所以上假设不成立,故对于该抛物线,不存在一条弦 CD 被 直线 l 垂直平分. ……14 分 2.解: (Ⅰ)令 y ? 0, x ? ?1得f (?1) ? f (?1) f (0) …………………………1 分

f (?1)[1 ? f (0)] ? 0,
∵ f (?1) ? 0,? f (0) ? 1. …………………………2 分 ( Ⅱ ) 又 ∵ x ? 0时, f ( x) ? 0, ∴ 当 x ? 0时, 由 f ( x ? x) ? f ( x) f (? x) = 1 得

f ( x) ?

1 ? 0, f (? x)

故对于 x ? R, f ( x) ? 0. ……………………………………………………3 分 设 x1 ? x2 , 则 x1 ? x2 ? 0, 由已知得 f ( x1 ? x2 ) ? 1, ∴ f ( x1 ) ? f [( x1 ? x2 ) ? x2 ] ? f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? f ( x2 ) ……………………5 分 ∴函数 f (x) 在 R 上是单调递增函数. ………………………………………6 分 ∴函数 f (x) 在 (??, 0] 上存在最大值,f(x)max=f(0)=1…………………………7 分 Ⅲ 由
2 2 f (an?1 ? an ) ?

(

)

1 , (n ? N ? ) f (an?1 ? 3an ? 2)



2 2 f (an?1 ? an ) f (an?1 ? 3an ? 2) ? f (0),

即 f (an?1 ? an ? an?1 ? 3an ? 2) ? f (0),(n ? N )
2 2

?

∵函数 f (x) 是 R 上单调函数.
2 2 ∴ an?1 ? an ? an?1 ? 3an ? 2 ? 0 ……………………………………………………8 分 2 2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 3an ? 2 ? 0 2 ? an?1 ? an?1 ? (an ? 2)(an ?1) ? 0 ? (an?1 ? an ? 2)(an?1 ? an ?1) ? 0

∵数列 ?a n ? 各项都是正数,∴ an?1 ? an ? 2 ? 0 ∴ an?1 ? an ? 1 (n ? N ? ) ∴数列 ?a n ? 是首项 a1 ? f (0) ? 1 ,公差为 1 的等差数列,且 an ? n .……………10 分

?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1



Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? a1a2 a2 a3 an an?1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1



1 1 (1 ? n ) 1 1 2 1 n 2 2 ? 1 ? 1 ………………………12 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? 1 2 2 2 2n 1? 2
分 ∵当 n=1 时,

2n ? n ? 1
n n

∴ Tn ? Sn

? ? n 当 n ? 2 时, 2 ? ( 1 1 ) ?1 ?


n( n ? 1 ) ?? ? n ? 2

1

1 1 ? n 2 n ?1

∴ Tn ? Sn .……………………………………………………14 分

3、 (本题满分 13 分) 已知椭圆 c1 :

x2 ? y 2 ? 36(t ? 0) 的两条准线与双曲线 c2 : 5x2 ? y2 ? 36 的两条准线所 t

围成的四边形之面积为 12 6, 直线 l 与双曲线 c 2 的右支相交于 P, Q 两点(其中点 P 在第一 象限),线段 OP 与椭圆 c1 交于点 A, O 为坐标原点(如图所示).

(I)求实数 t 的值;

??? ? ??? ? (II)若 OP ? 3 ? OA , ?PAQ 的面积 S ? ?26 ? tan ?PAQ ,
求直线 l 的方程. (I) 由题意知椭圆 c1 : 解: 上,? 0 ? t ? 1. 椭圆 c1 的两条准线的方程为 y ?

y P l

x ? y 2 ? 36(t ? 0) 的焦点在 y 轴 t
……1 分

2

A O Q x

36 36 和y?? , 36 ? 36t 36 ? 36t

这两条准线相距

2 ? 36 12 ? , ……3 分 36 ? 36t 1? t

双曲线 c2 : 5x2 ? y 2 ? 36 的两条准线的方程为 x ?

30 30 和x?? ,这两条准线相 5 5
…………4 分



2 30 . 5
上述四条准线所围成的四边形是矩形, 由题意知

1 12 2 30 ? ? 12 6, t ? . 5 5 1? t

1 .……………………………5 分 5 ??? ? ??? ? (II)设 A(m, n), 由 OP ? 3 ? OA 及 P 在第一象限得 P(3m,3n), m ? 0, n ? 0.
故实数 t 的值是

? A ? c1 , P ? c2 ,? 5m2 ? n2 ? 36,5m2 ? n2 ? 4, 解得 m ? 2, n ? 4,
即 A(2, 4), P(6,12).
2 2 , 设 Q( x, y)则 5x ? y ? 36.

……………………………8 分 ①

由 S ? ?26 tan ?PAQ, 得

? 1 ??? ???? ? AP ? AQ sin ?PAQ ? ?26 tan ?PAQ , 2


??? ???? ? ? AP ? AQ ? ?52 ,即 (4,8) ? ( x ? 2, y ? 4) ? ?52, x ? 2 y ? 3 ? 0.

……………………………10 分

51 ? x?? ? ?x ? 3 ? 19 联解① ②得 ? ,或 ? . 3 ? y ? ?3 ?y ? ? ? 19 ?
因点 Q 在双曲线 c 2 的右支,故点 Q 的坐标为 (3, ?3) . ……………………11 分

由 P(6,12), Q(3, ?3) 得直线 l 的方程为

y ?3 x ?3 ? , 即 5x ? y ? 18 ? 0. 12 ? 3 6 ? 3
……………………13 分

4、 (本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 和 Sn 满足:S1 ? ?1, Sn?1 ? 2Sn ? ? 1( ? N ? ) , ?bn ? 的通项 数列 n
? 公式为 bn ? 3 n ? 4 (n ? N ) .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)试比较 an 与 bn 的大小,并加以证明; (III)是否存在圆心在 x 轴上的圆 C 及互不相等的正整数 n、m、k, 使得三点

An (bn , an ), Am (bm , am ), Ak (bk , ak ) 落在圆 C 上?说明理由.
解: (I)? Sn?1 ? 2Sn ? ?1(n ? N ? ),

?Sn?1 ? 2Sn ? ?1, Sn?2 ? 2Sn?1 ? ?1(n ? N ? ),
两式相减得 an?2 ? 2an?1 ? 0, an?2 ? ?2an?1 (n ? N ? ). …………………………2 分 又 a1 ? S1 ? ?1, S2 ? 2S1 ? 3a1 ? a2 ? ?1, a2 ? ?2a1.

?a1 ? ?1, an?1 ? ?2an (n ? N ? ), 即数列 ?an ? 是首项为 ?1, 公比为 ?2 的等比数列,
其通项公式是 an ? ?(?2)n?1 (n ? N ? ). 分 另解一: ? S1 ? ?1, Sn?1 ? 2Sn ? ?1(n ? N ? ), ……………………………4

1 2 1 1 2 1? ? ? S1 ? ? ? , Sn ?1 ? ? ?2( Sn ? )(n ? N ? ), 即数列 ? S n ? ? 是首项为 ? , 公 3 3 3 3 3 3? ?
比为 ?2 的等比数列,其通项公式是 Sn ?

1 (?2) ? (n ? N ? ). …………………………2 分 3 3
n
n ?1 1 ? ? ( ?2) 1? ? ??? ? ? ? ?(?2) n ?1 , 3? ? 3 3?

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ? 又?a1 ? ?1,?an ? ?(?2)
n?1

? (?2) n ? 3

(n ? N ? ).

……………………………4 分

(II)(1) a1 ? ?1, b1 ? ?1; a2 ? 2, b2 ? 2; a4 ? 8, b4 ? 8.

? 当 n ? 1, 2, 4 时, an ? bn . ……………………………6 分

(2)当 n ? 2k ? 1(k ? N ? ) 时, a2k ?1 ? ?(?2)2k ? 0, b2k ?1 ? 6k ?1 ? 0,? an ? bn . ……………………………7 分 (3)当 n ? 2k (k ? N ? , k ? 3) 时,

a2k ? 22k ?1 ? 24 ? (1?1)2k ?5 ? 16(C20k?5 ? C1k?5 ) ? 32k ? 64, b2k ? 6k ? 4, 2
?an ? bn ? 26k ? 60 ? 18 ? 0, 即 an ? bn .
……………………………9 分

(III)不存在圆心在 x 轴上的圆 C 及互不相等的正整数 n、m、k, 使得三点

An , Am , Ak 落在圆 C 上. …………10 分
假设存在圆心在 x 轴上的圆 C 及互不相等的正整数 n、m、k, 使得三点 An , Am , Ak 即

An (3n ? 4, ?(?2)n?1 ), Am (3m ? 4, ?(?2)n?1), Ak (3k ? 4, ?(?2)k ?1 ) 落在圆 C 上.
不妨设 n ? m ? k , 设圆 C 的方程为: x2 ? y 2 ? Dx ? F ? 0 . 从而 9n2 ? 24n ? 16 ? 4n?1 ? (3n ? 4) D ? F ? 0 ① ② ③

9m2 ? 24m ? 16 ? 4m?1 ? (3m ? 4)D ? F ? 0 9k 2 ? 24k ? 16 ? 4k ?1 ? (3k ? 4)D ? F ? 0
由① ? ②, ② ? ③得

9(n ? m)(n ? m) ? 24(n ? m) ? (4n?1 ? 4m?1 ) ? 3(n ? m) D ? 0 9(m ? k )(m ? k ) ? 24(m ? k ) ? (4m?1 ? 4k ?1 ) ? 3(m ? k ) D ? 0
4n ?1 ? 4m?1 ? 3D ? 0 即 9(n ? m) ? 24 ? n?m 9(m ? k ) ? 24 ?
由④ ? ⑤得 ④

4m?1 ? 4k ?1 ? 3D ? 0 m?k



9(n ? k ) ?
整理得

4n ?1 ? 4m?1 4m?1 ? 4k ?1 ? ?0 n?m m?k

9(n ? k ) ?

? ? 4k ?1 4n ? k 4m ? k (m ? k )(n ? k )( ? ) ? ( n ? m) ? ? 0 , ? (n ? m)(m ? k ) ? n?k m?k ?

? n ? m ? k ? 1,?
分 作函数 f ( x) ?

4n ? k 4m ? k ? . n?k m?k

……………………………12

4x x ? 4 x ln 4 ? 4 x 4 x ( x ? ln 4 ? 1) ( x ? 1), 由 f ?( x) ? ? ? 0 ( x ? 1), x x2 x2 4x ( x ? 1) 是增函数. x 4n ? k 4m ? k ? , 产生矛盾. n?k m?k

知函数 f ( x) ?

? n ? m ? k ? 1,? n ? k ? m ? k ? 1,

故不存在圆心在 x 轴上的圆 C 及互不相等的正整数 n、m、k, 使得三点 An , Am , Ak 落 在圆 C 上. ……………………………14 分 5、(本小题满分 14 分) 解:甲选手胜乙选手的局数作为随机变量ξ ,它的取值共有 0、1、2、3 四个值. 1)当ξ =0 时,本场比赛共三局,甲选手连负三局, 3 P(ξ =0)=(1-0.6) =0.064;(2 分) 2)当ξ =1 时,本场比赛共四局,甲选手负第四局,且前三局中,甲胜一局,
1 P(ξ =1)= C3 0.63 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.1152 ;(4 分)

3)当ξ =2 时,本场比赛共五局,甲选手负第五局,且前四局中,甲胜二局,
2 P(ξ =2)= C4 0.62 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.13824 ; (6 分)

4)当ξ =3 时,本场比赛共三局、或四局、或五局.其中共赛三局时,甲连胜这三局;共赛四 局时,第四局甲胜,且前三局中甲胜两局;共赛五局时,第五局甲胜,且前四局中甲胜两 局;
2 2 P(ξ =3)= 0.63 ? C3 0.63 ? (1 ? 0.6) ? C4 0.63 ? (1? 0.6)2 =0.68256(8 分)

ξ 的概率分布列为: ξ P 0 0.064 1 0.1152 2 0.13824 3 0.68256

(10 分) Eξ =0?P(ξ =0)+ 1? P(ξ =1)+2? P(ξ =2)+3? P(ξ =3) (12 分) =0?0.064+1?0.1152+2?0.13824+3?0.68256=2.43926?2.4394.(14 分) 6、(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知 Sn ? 2an ? 3n 及Sn?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1) , 分) (1

得 an?1 ? 2an ? 3 , 分)∴ (3

an?1 ? 3 ?2 an ? 3

? c ? 3 (5 分)

(2)? a1 ? S1 ? 2a1 ? 3, ? a1 ? 3 (1)知 : an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2 n?1 (6 分) 由

? an ? 3.2 n ? 3

n? N*

(8 分)

(3)设存在 S,P,r ? N * , 且S ? P ? r使as , a p , ar 成等差数列,(9 分)

?2a p ? as ? ar


(10 分)

2(3 ? 2 p ? 3) ? (3 ? 2 s ? 3) ? (3 ? 2 r ? 3) ? 2 p?s ?1 ? 1 ? 2 r ?s (*) 且s ? p ? r
(12分)

? 2 p?1 ? 2 s ? 2 r
因为 s、p、r ? N * 1+2
r ?s

? 2 p?2?1、r ?s 为偶数 2

为奇数 , (*)式产生矛盾.所以这样的三项不存在. (14分)
以上答案及评分标准仅供参考,如有其它解法请参照给分.

7、解: (1) S1 ? a1 ?

1 1 , ?2 2 S1

n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? ?2S n S n?1
所以,

1 1 ? ?2 S n S n ?1

即, {

1 } 是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn

(2)由(1)得:

1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n Sn
Sn ? 1 2n

当 n ? 2 时, an ? ?2S n S n?1 ? ? 当 n ? 1 时, a1 ? 所以,

1 . 2n(n ? 1)

1 , 2

?1 ? 2 (n ? 1) ? an ? ? 1 ?? (n ? 2) ? 2n(n ? 1) ?
(3)当 n ? 1 时, S1 ?
2

1 1 1 ? ? ,成立. 4 2 4 ?1
2 2 2 2

当 n ? 2 时, S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? ? ? S n ? =

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 2 4 4? 2 4?3 4 ? n2

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ) ? (1 ? ? ? ??? ? 4 2 3 n 4 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n

1 1 1 1 (1 ? 1 ? ) ? ? 4 n 2 4n 1 1 2 2 2 2 所以, S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? ? ? S n ? ? . 2 4n 1 2 8、解: (I) b ? 2时, h( x) ? ln x ? ax ? 2 x , 2 ?
则 h?( x) ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . x x

因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h ?(x ) <0 有解. 又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,而 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (II)证法一 设点 P、Q 的坐标分别是(x1, y1)(x2, y2) , ,0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 , 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? , x? x x1 ? x2 2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b ,则 x1 ? x2 2

2( x2 ? x1 ) a 2 a 2 a ? ( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x2 2 2 2

= y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 .

x2 ? 1) x2 x1 x 2(t ? 1) , t ? 1. ① ? . 设 t ? 2 , 则 ln t ? 所以 ln x2 1? t x1 x1 1? x1 2(
令 r (t ) ? ln t ?

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 , t ? 1. 则 r ?(t ) ? ? ? . 1? t t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

因为 t ? 1 时, r ?(t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1,?? )上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 则 ln t ?

2(t ? 1) . 这与①矛盾,假设不成立. 1? t

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 证法二:同证法一得 ( x2 ? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ). 因为 x1 ? 0 ,所以 (

x2 x x ? 1) ln 2 ? 2( 2 ? 1). x1 x1 x1

令t ?

x2 ,得 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1. ② x1
1 t

令 r (t ) ? (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1, 则r ?(t ) ? ln t ? ? 1.

1 1 t ?1 1 ? 2 ? 2 ,所以 t ? 1 时, (ln t ? ) ? ? 0. t t t t 1 1 故 ln t ? 在[1,+ ?) 上单调递增.从而 ln t ? ? 1 ? 0 ,即 r ?(t ) ? 0. t t
因为 (ln t ? ) ? ?

1 t

于是 r (t ) 在[1,+ ?) 上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 即 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1).这与②矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 9、解: (Ⅰ)已知 F2 (1,0) ,?c ? 1 e ? 故椭圆方程为

1 ? a ? 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 2

x2 y2 ? ? 1 ,即 3x2 ? 4 y 2 ? 12 .依题意知直线 l 存在斜率,设 l : y ? k ( x ? 1) 4 3


? y2 ? 4x 联立 ? ? y ? k ( x ? 1)

k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0

…………………………3 分

? 直线 l 与抛物线 C1 有两个交点,? k ? 0

设 A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ) ,弦 A1 A2 的中点 M ( x, y) ,由韦达定理得

x1 ? x2 ?

2k 2 ? 4 4 ?2? 2 , 2 k k

x1 x2 ? 1 …………………………………………..5 分

则 A1 A2 ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]

4 ? ( 1? k 2 ) [ ( 2 2 ? k

2

?)

?4 ] ? k ( 2 1

16 16 ?) ( k2 k 4

)

? 4 (1 ? k 2 )

(1 ? k 2 ) 1? k2 ? 4? 2 k4 k

………………………………………8 分 ………9 分

三角形 PF1 F2 的周长 ? 2a ? 2c ? 6 由

4(1 ? k 2 ) ? 6 解得 k ? ? 2 . k2

(Ⅱ)设椭圆长半轴为 a ,半焦距为 c ,由题设有 c ? m , a ? 2m , F1F2 ? 2m . 又设 PF1 ? r1 , PF2 ? r2 ,有 r1 ? r2 ? 2a ? 4m y 设 P( x0 , y0 ) ,对于抛物线 C1 , r2 ? x0 ? m ; 对于椭圆 C2 ,

l

r2 a ? x0 c
2

1 ?e? , 2
F1 F1

P

即 r2 ? (4m ? x0 ) …………………..12 分 由 x0 ? m ? (4m ? x0 ) 解得 x0 ? m

1 2

o

F2

x

1 2

2 3

5 ?r2 ? m 3

从而 r1 ? m

7 3

因此,三角形 PF1 F2 的边长分别是 m , m , m .…………………………………13 分 使得三角形 PF1 F2 的边长是连续的自然数的最小实数 m ? 3 . …….…………14 分

5 3

6 3

7 3

10、解: (Ⅰ)令 f '( x) ? 2n?1 nxn?1 ? n(a ? x)n?1 ? 0 得 (2 x)n?1 ? (a ? x)n?1 ?2 x ? a ? x ? x ? a ……………………………………2 分 当 0 ? x ? a 时, 2x ? x ? a 当 x ? a, f '( x) ? 0

? f '( x) ? 0

, ] 故 f ( x) 在 [ 0 a 上递减.

故 f ( x) 在 ( a ,?? ) 上递增.

所以,当 x ? a 时, f ( x) 的最小值为 f (a ) ? 0 ….……………………………………..4 分 (Ⅱ)由 b ? 0 ,有 f (b) ? f (a) ? 0 即 f (b) ? 2n?1 (an ? bn ) ? (a ? b)n ? 0

a n ? bn a?b n ?( ) (a ? 0 , b ? 0 , n ? N ? ) .………………………………………5 分 2 2 n n n a n ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 a ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 n ?( 1 ) (Ⅲ)证明:要证: 1 k ?1 k ?1

n n n n 只要证: (k ? 1)n?1 (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 )n n n n 设 g ( x ) ? (k ? 1)n?1 (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? x n ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? x)n …………………7 分

则 g '( x) ? (k ? 1)n?1 ? nx n?1 ? n(a1 ? a2 ? ? ? ak ? x)n?1

a1 ? a2 ? ? ? ak …………………………………………………….8 分 k a ? a2 ? ? ? ak 当0 ? x ? 1 时, g '( x) ? n[(kx ? x]n?1 ? n(a1 ? a2 ? ? ? ak ? x)n?1 k
令 g '( x) ? 0 得 x ?

? n(a1 ? a2 ? ? ? ak ? x)n?1 ? n(a1 ? a2 ? ? ? ak ? x)n?1 ? 0
a1 ? a2 ? ? ? ak a ? a ? ? ? ak ] 上递减,类似地可证 g ( x)在 ( 1 2 , ??) 递增 k k a ? a2 ? ? ? ak a ? a ? ?? ak 所以 当x ? 1 时,g ( x) 的最小值为 g( 1 2 ) ………………10 分 k k
故 g ( x)在 [0, 而

a1 ? a2 ? ?? ak a ? a ? ?? ak n a ? a ? ?? ak n n n n ) ? (k ? 1)n?1[a1 ? a2 ? ?? ak ? ( 1 2 ) ] ? (a1 ? a2 ? ?? ak ? 1 2 ) k k k ( k ? 1) n ?1 n n n n [k ( a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? ( a1 ? a2 ? ? ? ak ) n ? ( k ? 1)( a1 ? a2 ? ? ? ak ) n ] = kn ( k ? 1) n ?1 n n n n [k ( a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? k ( a1 ? a2 ? ? ? ak )n ] = kn ( k ? 1) n ?1 n ?1 n n n [k ( a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? ( a1 ? a2 ? ? ? ak ) n ] = n ?1 k a ? a2 ? ? ? ak n n n 由定理知: k n?1 (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak )n ? 0 故 g ( 1 )?0 k a ? a ? ?? ak ?ak ?1 ?[0, ??) ? g(ak ?1 ) ? g( 1 2 )?0 k g(
n n n n 故 (k ? 1)n?1 (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 )n
n n n a1n ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 a ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 n ?( 1 ) .…………………………..14 分 k ?1 k ?1

即:

11、

(Ⅰ)因为双曲线 M 的离心率为 2 ,所以可设双曲线 M 的方程为

x2 y2 ? 2 ?1, a 2 3a
由此可得渐近线的斜率 k ? ? 3 ? ?BOx ? 60? ,从而 B(2 , 2 3) , A(2 , ? 2 3) .

又因为点 P 分线段 AB 所成的比为 3 :1 ,故 P(2 , 3) ,代入双曲线方程得 a 2 ? 3 ,故双曲线

M 的方程为
x2 y2 ? ? 1; 3 9

(Ⅱ)如图所示,由方程组

? y ? kx ? m ? 2 ? (k 2 ? 3) x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 9 ? 0 , ?x y2 ? ?1 ? 9 ?3
设 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ,线段 EF 的中 点为 N ( x0 , y0 ) ,则有

?k 2 ? 3 ? 0 ?k 2 ? 3 ? ? . ?? 2 ? 2 2 2 2 2 ?? ? 4k m ? 4(k ? 3)(m ? 9) ? 0 ?m ? 9 ? 3k ? ?
由韦达定理得 x0 ?

……①

x1 ? x2 km 3m , y0 ? kx0 ? m ? ? 2 .因为 E 、 F 两点都在以 ?? 2 2 k ?3 k ?3 Q(0 , ? 3) 为圆心的同一圆上,所以 NQ ? EF ,即
k NQ ? y0 ? 3 ?3m ? 3k 2 ? 9 1 ? ? ? ? 3k 2 ? 4m ? 9 . x0 ? 0 ?km k
……②

?m2 ? 9 ? 4m ? 9 9 ? 由①、②得 ?4m ? 9 ? 0 ? m ? 4 or ? ? m ? 0 . 4 ?m ? 0 ?
12、 (Ⅰ)当 x ?[?e , 0) 时, ? x ? (0 , e] ,故有 f (? x) ? ?ax ? ln(? x) ,由此及 f ( x) 是 奇函数得 ? f ( x) ? ?ax ? ln(? x) ? f ( x) ? ax ? ln(? x) ,因此,函数 f ( x) 的解析式为

?ax ? ln(? x) f ( x) ? ? ?ax ? ln x
(Ⅱ)证明:令 F ( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?

(?e ? x ? 0) ; (0 ? x ? e)

1 。当 0 ? x ? e 时,注意到 x ? ln x ,故有 2 ln x 1 ln x 1 F ( x) ?| x ? ln x | ? ? ? x ? ln x ? ? . x 2 x 2

①当 0 ? x ? 2 时,注意到 x ? 1 ? ln x ,故

1 1 1 1 2?x ? 1? ? 1? F ( x) ? x ? ?1 ? ? ln x ? ? x ? ?1 ? ? ( x ? 1) ? ? ? ? ?0; x? 2 x? 2 x 2 2x ? ?

1 1 ? ln x x 2 ? x ? 1 ? ln x 4 ? 2 ? 1 ? ln 2 ? ? ? ? 0 ,故函 x x2 x2 x2 数 F ( x) 在区间 [2 , e] 上是增函数,从而有
②当 2 ? x ? e 时,有 F ?( x) ? 1 ?

ln 2 1 3 ? ? (1 ? ln 2) ? 0 。 2 2 2 1 因此,当 0 ? x ? e 时,有 | f ( x) |? g ( x) ? 。 2 F ( x) ? 2 ? ln 2 ?
又因为 F ( x) 是偶函数,故当 ?e ? x ? 0 时,同样有 F ( x) ? 0 ,即 | f ( x) |? g ( x) ? 综上所述,当 a ? ?1 时,有 | f ( x) |? g ( x) ? ; (Ⅲ)当 x ?[?e , 0) 时, f ( x) ? ax ? ln(? x) ? f ?( x) ? a ? ①若 ? ? a ? 0 ,则 f ?( x) ? a ?

1 . 2

1 2

1 ax ? 1 : ? x x

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? f ( x) 在区间 [?e , 0) 上是减 x e x e e 函数,故此时函数 f ( x) 在区间 [?e , 0) 上没有最小值; 1 e
②若 a ? ? ,则令 f ?( x) ? 0 ? x ?

1 e

1? 1 ? ? (?e , 0) ,且 f ( x) 在区间 ? ?e , ? 上是减函数, a? a ?

1 ?1 ? ?1? ? 1? 而在区间 ? , 0 ? 上是增函数,故当 x ? 时, [ f ( x)]min ? f ? ? ? 1 ? ln ? ? ? . a ?a ? ?a? ? a?
?1? ? 1? 令 f ? ? ? 3 ? 1 ? ln ? ? ? ? 3 ? a ? ?e 2 . ?a? ? a?
综上所述,当 a ? ?e 2 时,函数 f ( x) 在区间 [?e , 0) 上的最小值是 3.

(0 ? x ? m) ?9 ? a 13、 (Ⅰ) y ? ? ,其中 0 ? a ? 5 ; ?9 ? ( x ? m)n ? a ( x ? m)
(Ⅱ) 二月份的用水量超过最低限量, 一、 三月份的用水量没有超过最低限量, m ? 3 , 且
n ? 6,a ? 2。

14、 y ? f ( x) ?

mx ; (1 ? m) x 2 ? 1

(Ⅱ)证明 f ( x) 在 [1 , ? ? ) 上是减函数,从而当 x ? 1 时, ymax ? (Ⅰ) x ? ?4 ; (Ⅱ)

m 。 m?2

x2 y2 ? ? 1。 8 4

15、解: (Ⅰ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,而 Q1 与 Q 关于 x 轴对称,则 Q1 ( x2 ,? y 2 ) 分

2

PQ 直线方程为: y ? y1 ? k PQ ( x ? x1 ), 其中k PQ ?

y 2 ? y1 2p ? x2 ? x1 y1 ? y 2

则 PQ: y ?

yy yy 2 px 2 px ? 1 2 ,同理PQ1 : y ? ? 1 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 yy 2 pm ? 1 2 于是y1 y 2 ? ?2 pm. y1 ? y 2 y1 ? y 2
2 px 2 pm 2p ? ,即y ? ( x ? m) y1 ? y 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2
………………… (8

又 PQ 过点(m,0) ,则 0 ?

因此 PQ1 直线方程可改写为: y ?

因此可知 PQ1 直线恒过点 (? m,0) … 分) (Ⅱ)连结 AQ1,因为 Q 与 Q1 关于 x 轴对称,A 在 x 轴上 所以在△APQ1 中,AB 平分∠PAQ1. 而 AP ? ? AQ 由内角平分线定理可知:

| AP | | PB | ? | AQ1 | | BQ1 |

AP, AQ 同向?? ? 0. ? AP |? ? | AQ1 | 于是 | PB |? ? | BQ1 | , |
……(14

而又 B,P,Q1 三点共线, PB 、 BQ1 同向, ? ? 0.于是PB ? ? BQ . … 1 分) 16、(1)由 y=x3-3ax2+b x, ① 得 y′=3x2-6ax+b. 过曲线①上点 P1(x1, y1)的切线 l1 的方程是
3 y ? ( x1 ? 3ax12 ? bx1 ) ? (3x12 ? 6ax1 ? b)( x ? x1 ),( x1 ? 0). 3 2 2 由它过原点,有 ?x1 ? 3ax1 ? bx1 ? ? x1 (3x1 ? 6ax1 ? b),

? 2 x13 ? 3ax12 ( x1 ? 0),? x1 ?

3a . 2

4分

(2)过曲线①上点 Pn+1(xn+1,yn+1)的切线 ln+1 的方程是
3 2 2 y ? ( xn?1 ? 3axn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6axn?1 ? b)( x ? xn?1 ). ,由 ln+1 过曲线①上点 P n(x

n,

yn),有 xn ? 3axn ? bxn ? ( xn?1 ? 3axn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6axn?1 ? b)(xn ? xn ?1),
3 2 3 2 2

∵x n-xn+1≠0,以 x n-xn+1 除上式,得
2 2 2 xn ? xn xn?1 ? xn?1 ? 3a( xn ? xn?1 ) ? b ? 3xn?1 ? 6axn?1 ? b, 2 2 xn ? xn xn?1 ? 2xn?1 ? 3a( xn ? xn?1 ) ? 0, 以 x n-xn+1 除之,得 x n+2xn+1-3a=0.

9



(3)解法 1 由(2)得 xn ?1 ? ?

1 3 1 xn ? a,? xn ?1 ? a ? ? ( xn ? a). 2 2 2

a 1 故数列{x n-a}是以 x 1-a= 为首项,公比为- 的等比数列, 2 2

a 1 n ?1 1 (? ) ,? xn ? [1 ? (? ) n ]a. 2 2 2 1 n 1 n ∵a>0,∴当 n 为正偶数时, xn ? [1 ? (? ) ]a ? [1 ? ( ) ]a ? a; 2 2 1 n 1 n 当 n 为正奇数时, xn ? [1 ? (? ) ]a ? [1 ? ( ) ]a ? a. 2 2 1 3 1 3 1 1 3 3 解法 2 ? xn ?1 ? ? xn ? a,? xn ? ? xn ?1 ? a = ? (? xn ? 2 ? a ) ? a 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 n ?1 3 1 1 2 1 n ?2 = (? ) xn ? 2 ? a (1 ? ) == (? ) x1 ? a[1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ] = 2 2 2 2 2 2 2 2 ? xn ? a ?


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