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【同步备课】高中数学(北师大版)必修三学案:1.5 估计总体的分布 参考学案1


总体分布的估计(一)
【目标引领】 1. 学习目标: 体会分布的意义和作用,学会列频率分布表,会画频率分布条形图、直方图, 会用频率分布表或分布条形图、直方图估计总体分布,并作出合理解释。在解决 问题过程中,进一步体会用样本估计整体的思想,认识统计的实际作用,初步经 历收集数据到统计数据的全过程,体会统计思维与确定性思维的差异。 2. 学法指导: 当总体中的个体取不同数值很少时,可用频率分布表或频率分布条形图估计 总体分布;当总体中的个体取不同数值较多,甚至无限时,可用频率分布表或频 率分布直方图估计总体分布。 【教师在线】 1. 解析视屏: (1) 频率分布表:当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布来估计 总体的频率分布。我们把反映总体频率分布的表格为频率分布表。 (2) 编制频率分布表的步骤: ① 求全距,决定组数和组距,组距=
全距 ; 组数

② 分组,区间一般左闭右开(为了遵循统计分组穷尽和互斥原则,所以统计 上规定,凡是总体某一个单位的变量值是相邻两组的界限值,这一个单位归入作 为下限值的那一组内,即所谓“上限不在内”原则) ; ⑶ 登记频数,计算频率,列出频率分布表。 (3) 条形图: 条形图是用宽度相同的条形的高度或长度来表示数据变动的图形。 条形图可以横置也可以纵置,纵置时又称为柱形图,也就是说,当各类别放在纵 轴时,称为条形图;当各类别放在横轴时,称为柱形图。 (4) 频率分布直方图: 直方图是用矩形的宽度和高度来表示频率分布的图形 (在 平面直角坐标中,横轴表示数据分组,即各组组距,纵轴表示频率) 。 (5)直方图与条形图的不同点: ① 条形图是用条形的长度表示各类别频数的多少,其宽度(表示类别)是固

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定的;直方图是用面积表示各组频率的多少,矩形的高度表示每一组的频率除以 组距,宽度则表示各组的组距,因此其高度与宽度均有意义。 ② 此外,由于分组数据具有连续性,直方图的各矩形通常是连续排列,而条 形图则是分开排列。 2. 经典回放: 例 1 :为检测某产品的质量,抽取了一个容量为 30 的样本,检测结果为一级 品 5 件,二级品 8 件,三级品 13 件,次品 4 件。 ⑴ 列出样本的频率分布表; ⑵此种产品为二级品或三级品的概率? ⑶能否画出样本分布的条形图? 分析:当总体中的个体取不同数值很少时,可用频率分布表或频率分布条形图估 计总体分布。解:频率分布表如下: 产品 一级品 二级品 三级品 次品 合计 频率分布条形图: 频数 5 8 13 4 30 频率 0.17 0.27 0.43 0.13 1

点评:频率分布表中通常有频数、累计频数,频率、累计频率等。其中所有 频数的和即样本容量的大小,而所有频率的和恰好为 1。

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例 2:为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了地区内 100 名年龄为 17.5 岁~18 岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg) 56.5 72 62 55 64 76 68.5 57 59 65.5 69.5 73.5 68.5 72 70.5 71 64 69.5 65.5 58.5 65 56 62.5 66.5 57 66 55.5 74 62.5 67.5 61.5 67 66 74 62.5 63.5 72.5 64.5 69.5 70.5 64.5 70 59.5 63 65 56 66.5 59 72 65 66.5 57.5 63.5 60 69 59.5 68 61.5 64.5 66 64 65.5 64.5 55.5 71.5 63.5 76 67 75.5 66.5 64.5 68 67.5 70 73 65 57.5 68 68.5 70 76 71 73 64.5 62 70 60 63.5 64 63 58.5 75 68 58 58 74.5 71.5 58 62 59.5

试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计 解:按照下列步骤获得样本的频率分布. (1)求最大值与最小值的差.在上述数据中,最大值是 76,最小值是 55,它们的 差(又称为极差)是 76—55=21)所得的差告诉我们,这组数据的变动范围有多大. (2)确定组距与组数.如果将组距定为 2,那么由 21÷2=10.5,组数为 11,这个组 数适合的.于是组距为 2,组数为 11. (3)决定分点.根据本例中数据的特点,第 1 小组的起点可取为 54.5,第 1 小组的 终点可取为 56.5,为了避免一个数据既是起点,又是终点从而造成重复计算,我 们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样,所得到的分组是 [54.5,56.5) , [56.5,58.5) ,…, [74.5,76.5). (4)列频率分布表,如表① 分组 频数累计 频率分布表 频数 2 6 10 10 14 频率 0.02 0.06 0.10 0.10 0.14

[54.5,56.5) 2 [56.5,58.5) 8 [58.5,60.5) 18 [60.5,62.5) 28 [62.5,64.5) 42

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[64.5,66.5) 58 [66.5,68.5) 71 [68.5,70.5) 82 [70. 5,72.5) 90 [72.5,74.5) 97 [74.5,76.5) 100 合计 (5)绘制频率分布直方图.频率分布 直方图如图所示 在得到了样本的频率后, 就可以 对相应的总体情况作出估计.例如可 以估计体重在 [64.5,66.5)kg 的 学生最多,约占学生总数的 16%;体 重小于 58.5kg 的学生较少, 约占 8%; 等等

16 13 11 8 7 3 100

0.16 0.13 0.11 0.08 0.07 0.03 1.00

频率/ 组距

54.5

56.5 58.5 60.5

62.5 64.5 66.5

68.5 70.5 72.5

74.5

76.5

体重

点评:由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率,这个图形的面积反映 了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面,频率分步表比较 准确,频率分布直方图比较直观,它们起着相互补充的作用. 【同步训练】 1.在用样本频率估计总体分布的过程中,下列说法中正确的是( )21 世纪教育 A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 2. 一个容量为n的样本,分成若干组,已知某数的频数和频率分别为 50 和 0.25, 则n= . )

3. 一个容量为 32 的样本, 已知某组的样本的频率为 0.25, 则该组样本的频数为 ( A.2 B.4 C.6 D.8
人数(人) 20 15 -410 5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时)

4.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机

调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用右侧 的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )
( B ) 0.9 小时

( A) 0.6 小时 (C ) 1.0 小时

( D) 1.5 小时
频率 组距

5. (江西卷) 为了解某校高三学生的视力情况, 随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力 情况,得到频率分布直方图,如右,由于 不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频 数成等比数列, 后 6 组的频数成等差数列,
0. 0. 3 1

视力
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

设最大频率为 a, 视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b, 则 a, b 的值分别为 ( A.0,27,78 C.2.7,78 B.0,27,83 D.2.7,83



6.用条形图表示下表中关注不同广告的人数、频率。 广告类型 商品广告 服务广告 金融广告 房地产广告 人数 112 51 9 16 比例 频率%

0.560 56 0.255 25.5 0.045 4.5 0.080 8 0.050 5 0.010 1 1.000 100

招生招聘广告 10 其他广告 合计 2 200

【拓展尝新】 7.下表给出了某学校 120 名 12 岁男生的身高统计分组与频数(单位:cm) .

区 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 间

-5-

人 5 数

8

10

22

33

20

11

6

5

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率) ; (2)画出频率分布直方图; (3)根据累积频率分布,估计小于 134 的数据约占多少百分比.

【解答】 1.C 2.200 3.B 4.B

5.A 6.解:人数分布条形图如下
某市居民关注不同类型广告人数分布图

150 100 50 0

人数

商品广 告

服务广 告

金融广 告

房地产 广告

招生招 聘广告

频率分布条形图如下

频率% 60 50 40 30 20 10 0

商品广告

服务广告

金融广告

房地产广 告

招生招聘 广告

其他广 告

7.解: (1)样本的频率分布表与累积频率表如下: 区 间 人 数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158)

-6-

其他广告

频 率 累 积 频 率

1 24

1 15

1 12

11 60

11 40

1 6

11 120

1 20

21 世

1 24

1 24

13 120 21



23 120

1 8

13 20

49 60

109 120

23 24

1

(2)频率分布直方图如下:

(3)根据累积频率分布,小于 134 的数据约占

23 ?100% ? 19.2% . 120

-7-


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