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韶关市2015届高三十校联考理科数学试题


韶关市 2015 届高三级十校联考理科数学试题
命题人 乳源高级中学莫绍贵 本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前, 考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、 考场号、 座位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试题与答题卡一并交回。 5.参考公式:如果事件 A, B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) P( B) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项符合题目要求。 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {y | y ? x2 ? 1} ,集合 N ? {x | y ? 4 ? x 2 } ,则

(CU M ) ? N ? (



A. (?2,?1) ;B. [?2,?1) ;C. [?2,1) ;D. [?2,1] 2.已知 a 是实数, A. 1 ;B. ?1 ;C.
a?i 是纯虚数,则 a 等于( 1? i



2 ;D. ? 2

? 2 x ? y ? 0, ? 3. 若实数 x, y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3 , 则实数 b 的值为 ( ? y ? ? x ? b, ? 9 9 A. 2 ;B. ? 2 ;C. ? ;D. 4 4



4.若两个向量 a 与 b 的夹角为 ? ,则称向量“ a ? b ”为“向量积” ,其长度

a ? b ? a ? b ? sin ? 。已知 a ? 1, b ? 5 , a ? b ? ?4 ,则 a ? b 等于(
A.-4;B.3;C.4;D.5



5.已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确 的是( )

A. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ;B. m ? ? , m ? n ? n // ? C. m / / n, m ? ? ? n ? ? ;D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ?

1

6.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 的函数解析式是( A. y ? 1 ? sin( 2 x ? 7. 已知椭圆 )

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象 4

?
4

) ;B. y ? cos2 x ? 1 ;C. y ? ? cos2 x ? 1 ;D. y ? cos2 x ? 1

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 ,点 P 在椭圆上,则 PF 1 ? PF 2 8 的最大值是( ) A. 8 ;B. 2 2 ;C. 10 ;D. 4 2 3 8.设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数(如 [2] ? 2 , [ ] ? 1 ) 。对于给定的 n ? N ? , 2

定义 C nx ?

5 n(n ? 1) ?(n ? [ x] ? 1) , x ? [1,??) ,则当 x ? [ ,3) 时,函数 f ( x) ? C8x 4 x( x ? 1) ?( x ? [ x] ? 1)

的值域为( ) 32 32 28 32 28 28 A. ( 4, ] ;B. (4, ] U ( ,28] ;C. [4, ) U ( ,28] ;D. [ ,28] 5 5 3 5 3 3 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分。每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题:第 9 至第 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9. ? ? 2 x ? e x ?dx ?
2 0

10.不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 的解集为 11.如图,按如下程序框图,若判断框内的条件为 i ? 9 ,则输出的结果为
开始

i ?1

S ?0

S ? S ? 2i

i ?i?2

结果


12.在 ( x ?
a x2

?



输出S

) 6 的展开式中常数项为 60 ,则常数 a 的值为

13.设偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则使 f (a ? 2) ? 0 成立的 a 的取值范 围是 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只 按第一题计分。

? x ? 1 ? cos? 14. (坐标系与参数方程选做题)曲线 C1 : ? ( ? 为参数)上的点到 ? y ? sin ?
曲线

2

1 ? x ? ?2 2 ? t , ? 2 ( t 为参数)上的点的最远距离为 C2 : ? ? 1 ?y ? 1? t , ? 2 ?

15.(几何证明选讲选做题)如图,若直角 ?ABC 的内切圆与 斜边 AB 相切于点 D ,且 AD ? 1 , BD ? 2 ,则 ?ABC 的面积 为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。须写出必要的 文字说明、证明过程和演算步骤。 ? 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? cos 2 x . 6 (1)若 f (? ) ? 1 ,求 sin ? cos ? 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调增区间.

C

A

D

B

17. (本小题 12 分)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选 手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已 3 1 1 知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 , , ,且各阶段通过与否相互 4 2 4 独立. (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ? ,求 ? 的分布列与方差.

18. (本小题满分 14 分)图(1)是长方体截去一个角后得到的几何体,其中底 面 ABCD 是正方形, H 为 AG 中点,图(2)是该几何体的侧视图。 (Ⅰ)判断两直线 EH 与 CD 的位置关系,并给予证明; (Ⅱ)求直线 EH 与平面 BCFE 所成角的大小。
G F 2 E H D C 2 3

A

B

图1

图 2 侧视图

3

19. (本小题满分 14 分)已知在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足
1 2 S n ? an (S n ? ) 。 2
(Ⅰ) 求 Sn 的表达式; (Ⅱ) 设 bn ?

Sn 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .证明 Tn ? 2n ? 1 2

20. (本小题满分 14 分)如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为 圆上一动点, 点 P 在 AM 上, 点 N 在 CM 上, 且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为曲线 E . (I)求曲线 E 的方程; (II) 若过定点 F (0,2) 的直线交曲线 E 于不同 的 两 点 G , H ( 点 G 在点 F , H 之间 ) , 且满足

FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 2 时,比较 f ( x) 与 1 的大小;

a ? ln x(a ? R) x ?1

9 时,如果函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2 1 1 1 1 (3)求证:对于一切正整数 n ,都有 ln( n ? 1) ? ? ? ? ? ? 3 5 7 2n ? 1

(2)当 a ?

4


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