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2019年高二人教版数学选修1-1练习:3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

高中数学选修精品教学资料

?基础梳理 1.极值的概念. 如果函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小,f′(a)= 0,而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则把点 a 叫做 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函 数 y=f(x)的极小值;如果函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数 值都大,f′(b)=0,而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则把点 b 叫做 y=f(x)的极大 值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 2.求函数 y=f(x)的极值的一般方法. 解方程 f′(x)=0.当 f′(x)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值.,?自测自评 1.下面说法正确的是(B) A.可导函数必有极值 B.函数在极值点一定有定义 C.函数的极小值不会超过极大值 D.函数在极值点处导数一定存在 2.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开 区间(a,b)内极小值有(A)

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.函数 y=1+3x-x3 有极小值________,极大值__________. 解析:∵y=1+3x-x3,∴y′=3-3x2,令 y′=0,得 x=±1,且 y′在区间(-∞,-1),(- 1,1),(1,+∞)上的正负性依次为-,+,-. ∴当 x=-1 时,y=-1 是极小值; 当 x=1 时,y=3 是极大值. 答案:-1 3

1.函数 y=2x3-x2 的极大值为(A) A.0 B.-9 27 27 C.0, D. 16 16 1 解析:y′=6x2-2x,令 y′>0,解得 x<0,x> , 3 1 令 y′<0,解得 0<x< , 3 ∴当 x=0 时,取得极大值 0,故选 A. 1 2.若函数 y=x3-2mx2+m2x, 当 x= 时, 函数取得极大值, 则 m 的值为(C) 3 1 1 A. 或 1 B. 3 3 C.1 D.都不对 1 3.若函数 y= x3+x2+ax 在 R 上没有极值点,则实数 a 的取值范围是________. 3 解析:f′(x)=x2+2x+a,∵f(x)在 R 上没有极值点,∴Δ=4-4a≤0,∴a≥1. 答案:a≥1 4.求函数 f(x)=-x(x-2)2 的极值. 解析:函数 f(x)的定义域为 R. f(x)=-x(x2-4x+4)=-x3+4x2-4x, ∴f′(x)=-3x2+8x-4=-(x-2)(3x-2), 2 令 f′(x)=0 得 x= 或 x=2. 3 列表:

从表中可以看出, 2 当 x= 时,函数有极小值, 3 2? 2? 2 ? 2 32 -2 =- . 且 f? =- ?3? 3? 3 ? 27 当 x=2 时,函数有极大值, 且 f(2)=-2(2-2)2=0. 2 5.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 与 x=1 时都取得极值.求 a、b 的值与函数 3 f(x)的单调区间. 解析:因为 f(x)=x3+ax2+bx+c,则 f′(x)=3x2+2ax+b.

2 12 4 ? - ?= - a+b=0, ?f′? 3? 9 3 ? 依题意得,? ? ?f′(1)=3+2a+b=0, 1 ? ?a=-2, 解得? ?b=-2. ?

即 f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).函数 f′(x),f(x)的变化情况见下表:

2? ? 2 ? 所以函数 f(x)的递增区间是? ?-∞,-3?与(1,+∞),递减区间是?-3,1?.

1.f′(x0)=0 是函数 y=f(x)在 x=x0 处有极值点的(C) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 解析:y=f(x)在 x=x0 处有极值点时不仅要 f′(x0)=0,而且还要 x0 左右的增减性相异.故 f(x0)=0 是 y=f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 2.已知函数 y=f(x)(x∈R)有唯一的极值,并且当 x=1 时,f(x)存在极小值,则(C) A.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 B.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 C.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 D.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 解析:考查函数极小值的概念,只不过换成了符号语言,抓住极小值的定义即可得出答案 C. 3.函数 y=1+3x-x3(D) A.极小值-1,极大值 1 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-2,极大值 2 D.极小值-1,极大值 3 解析:y′=3-3x2,令 y′=0,得 x=± 1, 易判断当 x=1 时,有极大值 y=3, 当 x=-1 时,有极小值 y=-1.故选 D. 4.已知函数 y=2x3-ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的一个递增区间是(B) A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 解析:y′=6x2-2ax+36, ∵x=2 为极值点, ∴当 x=2 时,y′=6×4-2a×2+36=0, 解得 a=15,∴y′=6x2-30x+36, 令 y'=0,得 x=2,x=3, ∴y′>0 时,x<2 或 x>3,故选 B. 5.函数 f(x)=x3-3bx+3b 在区间(0,1)内有极小值,则(A) A.0<b<1 B.b<1

1 C.b>0 D.b< 2 解析:问题等价于方程 f′(x)=3x2-3b=0 在区间(0,1)内有解,并且其较大的解必须在区间 (0,1)内.于是得到 0< b<1,即 0<b<1.故选 A. 6.设函数 f(x)=x3-mx2-nx 的图象与 x 轴切于点(1,0),则 f(x)的极值为(A) 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为 27 4 C.极大值为 0,极小值为- 27 4 D.极大值为- ,极小值 0 27 解析:根据导数的几何意义,得到 f(1)=0,且 f′(1)=0, ? ?f(1)=1-m-n=0, 即? 解得 m=2,n=-1,此时 f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1), ?f′(1)=3-2m-n=0, ? 1? 4 再依据求极值的方法,可以得到极大值为 f? ?3?=27,极小值为 f(1)=0.故选 A. x2+a 7.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 解析:本题考查对极值定义的理解. 2x(x+1)-(x2+a) 依题意有 f′(x)= , 2 (x+1) f′(1)=0,解得 a=3. 答案:3 8.已知三次函数 f(x)的图象经过原点,并且当 x=1 时有极大值 4,当 x=3 时有极小值 0,则 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 ________________________________________________________________________. 解析:依题意,可设 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0), 则 f′(x)=3ax2+2bx+c,于是 f′(1)=3a+2b+c=0, a=1, ? ? f′(3)=27a+6b+c=0, 解得?b=-6, f(1)=a+b+c=4, ? ?c=9. f(3)=27a+9b+3c=0, ∴f(x)=x3-6x2+9x. 答案:f(x)=x3-6x2+9x 点评:典型的待定系数法解题,本题的条件有多余,所以要注意验根. 9.若函数 f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为________. 解析:f(x)=x3-2cx2+c2x f′(x)=3x2-4cx+c2, ∴f′(2)=c2-8c+12=0,c=2 或 c=6. 当 c=2,f′(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2), 2 当 <x<2,f′(x)<0,当 x>2,f′(x)>0, 3 ∴当 x=2 时有极小值. 当 c=6 时,f′(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6), 当 2<x<6 时,f′(x)<0,当 x<2 时,f′(x)>0, ∴当 x=2 时有极大值. ∴c=6 符合题意. 答案:6

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10.(2013· 惠州三模)已知函数 f(x)=x3-3ax(a∈R). (1)当 a=1 时,求 f(x)的极小值; (2)若直线 x+y+m=0 对任意的 m∈R 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的取值范围. 解析:(1)∵当 a=1 时,f′(x)=3x2-3, 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0. 当 x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1]和[1,+∞)上单调递增. ∴f(x)的极小值是 f(1)=-2. (2)f′(x)=3x2-3a,直线 x+y+m=0,即 y=-x-m,依题意得,切线斜率 k=f′(x)=3x2-3a ≠-1,即 3x2-3a+1=0 无解. 1 ∴Δ=0-4×3(-3a+1)<0,∴a< . 3 1 1 11.(2013· 惠州一模)已知 f(x)=ln x,g(x)= x3+ x2+mx+n,直线与函数 f(x)、g(x)的图象都 3 2 相切于点(1,0). (1)求直线的方程及 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)-g′(x)[其中 g′(x)是 g(x)的导函数],求函数 h(x)的极大值. 解析:(1)∵直线是函数 f(x)=ln x 在点(1,0)处的切线,∴其斜率 k=f′(1)=1. ∴直线的方程 y=x-1. 又∵直线与 g(x)的图象相切,且切于点(1,0), 1 1 ∴g(x)= x3+ x2+mx+n 在点(1,0)的导函数值为 1. 3 2 ?m=-1, ? ?g(1)=0, ? ? ?? 1 ?g′(1)=1 ? ?n=6. ? 1 1 1 ∴g(x)= x3+ x2-x+ . 3 2 6 (2)∵h(x)=f(x)-g′(x)=ln x-x2-x+1(x>0). 1-2x2-x (2x-1)(x+1) 1 ∴h′(x)= -2x-1= =- . x x x 1 令 h′(x)=0,得 x= 或 x=-1(舍去). 2 1 当 0<x< 时,h′(x)>0,h(x)单调递增; 2 1 当 x> 时,h′(x)<0,h(x)单调递减. 2 1 因此,当 x= 时,h(x)取得极大值. 2 1? 1 1 ∴[h(x)]极大值=h? ?2?=ln2+4. ?体验高考 1(2014· 新课标全国卷Ⅱ)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p∶f′(x0)=0;q∶x=x0 是 f(x)的 极值点,则(C) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 即不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析:当 f′(x0)=0 时,x=x0 不一定是 f(x)的极值点, 比如,y=x3 在 x=0 时,f′(0)=0,但在 x=0 的左右两侧 f′(x)的符号相同,因而 x=0 不是 3 y=x 的极值点. 由极值的定义知,x=x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)=0.

综上知,p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. x a 3 2.(2014· 重庆卷)已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 4 x 2 1 切线垂直于 y= x. 2 (1)求 a 得值; (2)求函数 f(x)的单调区间和极值. 1 a 1 解析:(1)对 f(x)求导数得 f′(x)= - 2- , 4 x x 1 由 f(x)在点(1,f(1))处切线垂直于直线 y= x, 2 3 5 知 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 4 4x 2 2 1 5 1 x -4x-5 则 f′(x)= - 2- = , 4 4x x 4x2 令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数; 由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. 3.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的 切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 解析:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4.故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2)由(1)知 f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, 1? x f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)? ?e -2?. 令 f′(x)=0,得 x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. - 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e 2). 2 -x 4.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x e . (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 解析:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞). - f′(x)=-e xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0;当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2) - =4e 2. (2)设切点为(t,f(t)),则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 f(t) t 2 m(t)=t- =t+ =t-2+ +3. f′(t) t-2 t-2

由已知和①式得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 2 令 h(x)=x+ (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时, x h(x)的取值范围为[2 2,+∞); 当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时, m(t)的取值范围是(-∞,0)∪ [2 2+3,+∞). 综上,l 在 x 轴的截距的取值范围是(-∞,0)∪ [2 2+3,+∞).


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