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高二数学期末试卷人教版知识精讲.doc

高二数学期末试卷人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容: 期末试卷

【模拟试题】
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 1、已知抛物线 y ? ax 2 的准线方程是 y=-1,则 a 的值为( A. 4 2、若 ( x 2 ? A. 3 B. )

1 4

C. -4

D. ?

1 4


1 x

) n (n ? N*) 展开式中含有常数项,则 n 的最小值为(
B. 4 C. 5 D. 10

3、已知点 M 到定点(0,-10)与到定直线 y ? ? 程是(

18 5 的距离之比等于 ,则点 M 的轨迹方 5 3

) x 2 y2 x 2 y2 ? ?1 ? ?1 A. B. 9 26 36 64 y2 x 2 y2 x 2 ? ?1 ? ?1 C. D. 9 26 36 64 4、三个学校分别有 1 名,2 名,3 名学生获奖,这六名获奖者站成一排合影留念,要求同 校的任两名学生都不相邻,则不同的排法种数为( ) A. 144 种 B. 108 种 C. 120 种 D. 36 种 2 2 y x 5、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别为 F1,F2,抛物线y 2 ? 2bx的焦点 a b 为F,且F1F ? 3FF2,则椭圆的离心率为( )

2 5 2 5 4 B. C. D. 2 5 5 5 6、由数字 1,1,2,2,8 排列组成的五位数密码中,任取一个密码正好是“11228”的概 率是( ) 1 2 1 1 A. B. C. D. 15 15 30 60 2 2 y x 7、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右准线与一条渐近线交于点 A,右焦点为 F, a b 1 2 且?AOF的面积为 b( O为坐标原点),则双曲 线的两条渐近线的夹角 为( ) 2 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 1 8、若某人射击一次命中 目标的概率为 ,则此人射击 6次, 3次命中,且恰有 2次是连续 2 命中的概率是( ) 3 5 3 1 A. B. C. D. 16 16 32 16 A.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在题中横线上。 9、从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人主持元旦联欢会节目,其中男生甲与男生乙至少有 1 人在内,女生丙必须在内,则可选择的方案种数为____________(用数字作答) 。 10、顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线上一点(-3,y0)与其焦点间的距离等于 5, 则 y0=____________。 1 11、已知( x ? 3 ) n 的展开式中第二项与第 三项的系数之和等于 27,则n的值为 , x 且系数最大的项是第__________项。

3? 12、过抛物线y 2 ? 4x的焦点,且倾斜角为 的直线交抛物线于 A,B两点,O为坐标 4
原点,则△AOB 的面积等于____________。 13、如图所示电路中,四个方框处均为保险闸,框内数据为通电后保险闸跳闸的概率,假 定各保险闸间是否跳闸是相互独立的, 则通电后该电路不跳闸的概率是____________ (用分 数作答) 。

14、与椭圆

x 2 y2 ? ? 1具有相同的离心率且过 点(2, ? 3)的椭圆的标准方程是 4 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 64 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

15、已知抛物线 C': x 2 ? 8y,直线l : y ? kx ? 2。
(1)从抛物线 C’上任意一点 N 作 y 轴的垂线,垂足为 N’,求线段 NN’的中点 M 的 轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与(1)中曲线 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求证 OA⊥OB。 16、有 A,B,C,D,E,F,G 共 7 本不同的书。 (1)甲从中借 3 本书,其中 A、B 两本书中至少选 1 本,有多少种不同的借书方法? (2)甲、乙两人从中各借 3 本,有多少种不同的借书方法? (3)甲、乙、丙三人,一个人借 3 本,另两个人各借 2 本,有多少种不同的借书方法? 17、已知袋中装有编号为 1~9 的小球各一个,它们大小相同,若从中任取三个小球。求: (1)恰好有一球编号是 3 的倍数的概率; (2)至少有一球编号是 3 的倍数的概率; (3)三个小球的编号之和是 3 的倍数的概率。 18、已知箱子中有 10 件相同的产品,其中 2 件是次品,8 件是正品。从中随机抽取,每 次取一件,连续取三次。设“取出的三件中恰有一件是次品”为事件 A, “取出的三件中第 三件是正品”为事件 B。 (1)若采用有放回抽取,分别求事件 A,B 的概率;

(2)若采用不放回抽取,分别求事件 A,B 的概率。 19、有 12 道选择题,每题 4 个答案中有且只有一个答案是正确的,如果某同学每题均任 意选择,那么他选对几道题的概率最大?请说明理由。 2 20、如图,M 是抛物线 y =x 上一点,动弦 ME,MF 分别交 x 轴于 A,B 两点,且|MA|=|MB|。 (1)若 M 为定点,证明直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹方程。

试题答案
一、选择题: 1、解析:由 y=ax 得 x 2 ?
2

1 y a

?准线方程为y ? ?
故选 B

1 1 1 即? ? ?1, ?a ? 4a 4a 4
1
r )r ? Cr n (?1) x 2n ? 5r 2 ,令2n

2 n ?r 2、解析:通项为 Tr ?1 ? C r (? n (x )

x 又n ? N * ,r ? Z且0 ? r ? n, ? n的最小值为 5。

?

5r 4n ? 0,得r ? , 2 5

故选 C 3、解析:由已知得离心率 e ?

5 ? 1,所以M点轨迹为双曲线,且焦 点在y轴上。 3

故选 D 4、解析:分两类。一类是一端有 3 人学校中的一同学
3 有2 ? A 3 3 ? A 3 ? 72种

另一类是两端都有 3 人学校的同学
2 1 有A 3 3 A 2 A 4 ? 48种

∴共有 72+48=120 种 5、解析:设 F1(-c,0) ,F2(c,0) ,

b b b 又F( , 0),又F1F ? 3FF2即( ? c, 0) ?( 3 c? , 0) 2 2 2 b 3b c c 2 ? ? c ? 3c ? , ? b ? c,e ? ? ? 2 2 a 2 2c
故选 A

y

F1 O F F2

x

6、解析:由数字 1,1.2,2,8 排成的五位数码有

A5 5 A2 2 ? A2 2

?

5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 30 2? 2

故所求概率为P ?
故选 B

1 。 30

b ? y? x ? ab a ? 7、解析:由 ? ?y ? 2 c ?x ? a ? c ? 1 ab 1 2 则S?AOF ? c ? ? b ?a ? b 2 c 2 ∴∠AOF=45°,∴两渐近线夹角为 2×45°=90°

故选 D

y

b y=a x

A O F x

x=a2 c
8、解析:将 2 次连续命中者看成一个元素与另一命中者插入未命中的三者形成的四个空 位中的 2 个,故所求概率

1 3 1 3 3 P ? A2 4 ( ) (1 ? ) ? 2 2 16
故选 A 二、填空题 9、解析:分含男生甲、乙之一和含甲、乙两类,故有
1 2 1 2 1 C1 (种) 1C 2 C 6 ? C1C 2 C 6 ? 30 ? 6 ? 36

故填空:36 2 10、解析:设抛物线方程为 y =-2px(p>0)

由| MN |?

p ? (?3) ? 5, ?p ? 4 2 2 ? y 2 ? ?8x,代入点(? 3,y 0), ?y0 ? 24

? y 0 ? ?2 6
故填空 ? 2 6

y M(-3,y0) F O

N x

11、解析: ( x ?

1 n ) 展开式中第二项与第三 项的系数之和为 x3 n(n ? 1) 2 2 C1 ? 27 n (?1) ? C n (?1) ? 27,即 ? n ? 2 n 2 ? 3n ? 54 ? 0, ?n ? 9或n ? ?(舍去) 6 1 r ? ( x ? 3 ) 9 ,第r ? 1项的系数为C 9 (?1) r x 4 ?r ? 4, 5时C9 ? C5 9且最大。

∴r=4 即第 5 项的系数最大。 故填空 9,5 12、解析:设直线 AB 的方程为 y=-(x-1) 2 即 x=1-y 代入 y =4x

得 y =4(1-y)即 y +4y-4=0 ? y1 ? y 2 ? ?4,y1 y 2 ? ?4

2

2

1 1 1 S?AOB ? | OF | ? | y1 ? y 2 |? ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4y1 y 2 ? (?4) 2 ? 4(?4) ? 2 2 2 2 2
故填空 2 2

y A O

y2=4x F(1,0) x

B
13、解析:所求概率为 P ? (1 ? 故填空

1 1 1 1 5 19 19 ? )(1 ? ? ) ? ? ? 2 3 4 5 6 20 24

19 24

x 2 y2 1 c b 1 3 ? ? 1的离心率e ? 即 ? 1 ? ( ) 2 ? , ?b2 ? a 2 14、解析:椭圆 4 3 2 a a 2 4
当焦点在 x 轴上时,设椭圆方程为

y2 x2 ? ?1 a2 3 a2 4

4 3 代入点(2, ? 3), 2 ? ?1 3 a a2 4 x 2 y2 ? a 2 ? 8,b 2 ? 6, ? 方程为 ? ?1 8 6 y2 x2 当焦点在y轴上时,设椭圆方程为 2 ? ?1 3 2 a a 4 3 4 代入点(2, ? 3), 2 ? ?1 3 2 a a 4 3y 2 4 x 2 25 25 ? a 2 ? ,b 2 ? , ? 方程为 ? ?1 3 4 25 25 3y 2 4 x 2 x 2 y2 ? ?1或 ? ?1 故填空 8 6 25 25
三、解答题 15、解: (1)设 M(x,y) ,N(x0,y0) ,则 N’(0,y0) ∵M 为 NN’中点

又 N(x0,y0)在抛物线 x =8y 上,∴(2x) =8y 即 x =2y(y>0)为所求

2

2

2

5分

y M

C' x2=8y N(x0,y0) x

N' O

?y ? kx ? 2 (2)由? 2 得x 2 ? 2(kx ? 2) x ? 2 y ? 2 即x ? 2kx ? 4 ? 0,设A(x1,y1 ),B(x 2,y 2 ),则x1 ? x 2 ? ?4
又y1 ? y 2 ?
2 x1 x 2 (?4) 2 ? 2 ? ?4 2 2 4 y y 4 ? k OB ? 1 ? 2 ? ? ?1 x1 x 2 ? 4

? k OA

? OA ? OB

10 分

y B A O x

16、解: (1)甲从 7 本不同的书借 3 本,其中 A、B 两本书中至少选 1 本的借书方法为
3 1 1 2 C3 C2 ) 7 ? C5 ? 25种(或者 2 C5 ? C 2 C5 ? 25

3分

(2)甲、乙两人从中各借 3
2 2 C3 7C4C2 (3) A2 2

3 本的借书方法为 C3 7 C4

? 140种

6分

? A3 3 ? 630种
10 分

即甲、乙、丙三人一个人借 3 本,另两人各借 2 本的借法有 630 种。
3 (或者:C1 3C7 2 ? C2 4C2

? 630)

17、解:设集合 M={3,6,9},N={1,2,4,5,7,8},S={1,4,7},Q={2,5,8} 从中任取三个小球共有 C 3 9 种,且它们是等可能的
2 (1)恰好有一球编号是 3 的倍数的取法有 C1 3C6 种

故所求概率P1 ?
C3 6

2 C1 3C6

C3 9

?

15 28

3分

(2)至少有一球编号是 3 的倍数的概率为

P2 ? 1 ?

2 2 1 3 C1 16 16 3C6 ? C3 C6 ? C3 ? (或者 P ? ? ) 2 3 3 21 C 9 21 C9

6分

(3)取出三个小球编号之和是 3 的倍数的取法共有
3 3 1 1 1 C3 3 ? C 3 ? C 3 ? C3 C 3 C 3种

故P3 ?

3 3 1 1 1 C3 3 ? C3 ? C3 ? C3C3C3

C3 9

?

5 14

10 分

18、解: (1)有放回的抽取三次可看成是 3 次独立重复试验,且每次取出次品的概率均为

1 4 ,取出正品的概率为 5 5

1 1 4 2 48 3分 则P(A) ? P3 (1) ? C1 3( ) ( ) ? 5 5 125 4 6分 P(B) ? 5 C1 C1 ? 8 2 C1 ? 10 2 4 48 或者:P(A) ? 3 2 3 ? ,P(B) ? 8 3 ? 125 5 10 10

3 (2)不放回的抽取三次共有 A 10 种取法,且它们是等可能的

则P(A) ? P(B) ?

2 3 C1 2 C8 A 3

3 A10 2 A1 8A9 ? 3 A10

?

7 15

9分 12 分

4 5

19、解:由题意知,该同学每题选对的概率为 ,且均选 12道题可看成是 12次独立重复 试验。 则他恰好选对 k 道题的概率为

1 4

1 K 1 K P12 (K) ? C12 ( ) (1 ? )12?K (K ? 0, 1, ?12) 4 4 ?P (K) ? P12 (K ? 1) 由? 12 ?P12 (K) ? P12 (K ? 1)
? K 1 K 3 12 ? K K ?1 1 K ?1 3 13? K C12 ( ) ( ) ? C12 ( ) ( ) ? ? 4 4 4 4 即? 1 3 1 ?C K ( ) K ( )12 ? K ? C K ?1 ( ) K ?1 ( 3 )11? K 12 ? 12 4 4 4 4 ? K K ?1 ? ?C ? 3C12 ? ? 12K K ?1 ? ?3C12 ? C12 12! 12! ? ? K!(12 ? K )! ? 3 ? ( K ? 1)! (13 ? K )! ? ?? 12! 12! ?3 ? ? ? K!(12 ? K )! (K ? 1)! (11 ? K )!

4分

3 ?1 ? ? ?13 ? K ? 3K 9 13 ? K 13 ? K ?? ?? ? ?K? 4 4 ?3K ? 1 ? 12 ? K ? 3 ? 1 ? ?12 ? K K ? 1 又K ? N * , ?K ? 3 10 分
故该同学选对其中 3 道题的概率最大。 20、解: (1)设直线 ME 的斜率为 k(k>0) ∵|MA|=|MB|,∴直线 MF 的斜率为-k
2 2 设M(y 0 ,y 0 ),E( y1 ,y1 ),F( y 2 2,y 2 )

? 2 ?y ? y 0 ? k (x ? y 0 ) 1 ? ky 0 联立方程组? ? ky 2 ? y ? y 0 (1 ? ky 0 ) ? 0 ? y1 ? y(舍) y1 ? 0 k ?y 2 ? x ?

同理(只要将 y1中k换成 ? k)得y 2 ? ?
? k EF ? y1 ? y 2
2 y1

1 ? ky 0 k

1 1 1 7分 ? ?? 为定值 y1 ? y 2 1 ? ky 0 1 ? ky 0 2y 0 ? ? k ?k (或:设M(x 0,y 0 ),E(x 1,y1 ),F(x 2,y 2 ), ? | MA |?| MB | , ? k ME ? ?k MF y ? y0 y ? y0 2 2 即 1 ?? 2 又x 1 ? y1 ,x 2 ? y 2 2,x 0 ? y 0 x1 ? x 0 x2 ? x0 y ? y0 y2 ? y0 1 1 ? 1 ?? 2 ? ?? ? y1 ? y 2 ? ?2 y 0 2 2 2 y1 ? y 0 y2 ? y0 y1 ? y 0 y2 ? y0 y ? y 2 y1 ? y 2 1 1 ? k EF ? 1 ? 2 ? ?? 为定值) 2 x 1 ? x 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 2y 0 y2 2 ?
(2)当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,∴k=1

由( 1 )y1 ?

1 ? ky 0 2 ? 1 ? y 0, ? x1 ? y1 ? (1 ? y 0 ) 2 , ?E((1 ? y 0 ) 2 , 1 ? y0 ) k 1 ? ky 0 2 y2 ? ? ? ?(1 ? y 0 ), ? x 2 ? (1 ? y 0 ) 2 , ?F((1 ? y 0 ) 2 , ? (1 ? y 0 )),M( y 0 ,y 0 ) k 2 2 ? (1 ? y 0 ) 2 ? (1 ? y 0 ) 2 ? y 0 2 ? 3y 0 x ? ? ? ? 3 3 设G ( x,y),则? ? y ? 1 ? y 0 ? [?(1 ? y 0 )] ? y 0 ? ? y 0 ? y 0 ? 0, ?y ? 0 ? 3 3 ? 1 2 12 分 消去参数y 0,得y 2 ? x ? (y ? 0)为所求。 9 27


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