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高三数学第二轮专题复习之平面向量

高三数学第二轮专题复习测试—平面向量
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.如图 1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点, 则向量 CD ? ( A. ? BC ? C. BC ? ) B. ? BC ? D. BC ?

1 BA 2

1 BA 2

1 BA 2

1 BA 2
( )

?7 1? 1 7? 2.与向量 a= ? , ?, b ? ? ? , ? 的夹解相等,且模为 1 的向量是 ? 2 2?
?2 2?

A. ? 4 , ? 3 ?
? ?5 ? 5?

4 3? ? 4 3? B. ? ? ,? ? 或?? , ? ? 5 5? ? 5 5?

? 2 2 1? ? 2 2 1? , ? 或?? ? 3 ,? 3? 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a ? ? b 与 ? b ? 2a 共线,则 ? =
? C. ? 2 2 , ? 1 ? ? ? 3 3? ?

D. ?

?

?





A.0 4.已知向量 a ?
3 1? A. ? ? ? ? 2 ,2? ? ?

B.-1

C.-2

D.0.5
3 ,则 b =

? 3,1?, b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ?
1 3? B. ? ? , ? ?2 ? 2 ? ?
1 3 C. ? ? , ?4 ? 3? ? 4 ? ?





D.(1,0)

5.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量 的数量积中最大的是( ) A. P1 P2 ? P1 P3 C. P1 P2 ? P1 P5 B. P 1P 2 ?P 1P 4 D. P1 P2 ? P1 P6

??? ? ??? ? ???? ??? ? 6.在 ?OAB 中, OA ? a , OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 ? 等
于 ( )

-1-

A. a ? (b ? a)
a ?b
2

B. a ? (a ? b) 2 a ?b

C. a ? (b ? a) a ?b

D. a ? ( a ? b)
a ?b

???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ???? ? 7.设 OM ? (1, 1 ) , ON ? (0,1) ,则满足条件 0 ? OP ? OM ? 1 , 0 ? OP ? ON ? 1 的动点 P 的 2
变化范围(图中阴影部分含边界)是 y y
2 1 2 1
1
x

y
1
x

( y



0

?1

0 1

0

12

x

?2

0 1

x

A. 8.将函数 f(x)=tan(2x+ A.(

B.

C.

D.

?
6

, ?1 )

? )+1 按向量 a 平移得到奇函数 g(x),要使|a|最小,则 a=( ) 3 ? ? ? B.( ? ,1 ) C.( ,1 ) D.( ? , ?1 ) 6 12 12

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9.已知向量 a 、 b 、 c 且 a ? b ? c ? 0 , | a |? 3 , | b |? 4 , | c |? 5 .设 a 与 b 的夹角为 ? 1 , b ? ? ? 与 c 的夹角为 ? 2 , a 与 c 的夹角为 ? 3 ,则它们的大小关系是
A. ?1 ? ? 2 ? ?3 B. ?1 ? ?3 ? ? 2 C. ? 2 ? ?3 ? ?1 D. ?3 ? ? 2 ? ?1 ( )

10.已知向量 a ? (m, n) , b ? (cos? , sin ? ) ,其中 m, n, ? ? R .若 | a |? 4 | b | ,则当

a ? b ? ?2 恒成立时实数 ? 的取值范围是
A. ? ? 2 或 ? ? ? 2 C. ? 2 ? ? ? B. ? ? 2 或 ? ? ? 2





D. ? 2 ? ? ? 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? o 11.已知 OA ? 1 , OB ? 3 , OA ? OB ? 0 ,点 C 在 ?AOB 内,且 ?AOC ? 30 ,设

??? ? ??? ? ??? ? m OC ? mOA ? nOB (m, n ? R) ,则 等于 n
A.





1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

-2-

12.对于直角坐标平面内的任意两点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,定义它们之间的一种“距 离”: AB ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 . 给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则 AC ? CB ? AB ; ②在 ?ABC 中,若 ?C ? 90o , 则 AC ? CB ? AB ;
2 2 2

③在 ?ABC 中, AC ? CB ? AB . 其中真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. ???? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ???? 13.在 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 MN ? _______.(用

?? a、 b 表示)

???? ? ??? ? ??? ? 14.已知 A? 2, ?1? , B ? ?1,1? , O 为坐标原点,动点 M 满足 OM ? mOA ? nOB ,其中 m, n ? R
且 2m2 ? n2 ? 2 ,则 M 的轨迹方程为 .

15.在Δ ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值为 . 16.已知向量 OA ? (3,?4),OB ? (6,?3),OC ? (5 ? m,?3 ? m) ,若点 A、B、C 能构成三角 形,则实数 m 满足的条件是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (

1 ?1 , ) , b ? (2, cos2x) .(1)若 x ? (0, ? ] , sin x sin x 2
3

试判断 a 与 b 能否平行?(2)若 x ? (0, ? ] ,求函数 f ( x) ? a ? b 的最小值.

18.(本小题满分 12 分)(2006 年湖北卷)设函数 f ?x? ? a ? ?b ? c? ,其中向量
-3-

(1)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期; 对称,求长度最小的 d .

a ? ?sin x,? cos x ?, b ? ?sin x,?3 cos x ? , c ? ?? cos x, sin x?, x ? R .

(2)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心

19.(本小题满分 12 分)(2006 年全国卷 II)已知向量 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),
-4-

π π - <θ< . 2 2 (1)若 a⊥b,求 θ; (2)求|a+b|的最大值.

??? ? ???? ??? ? ???? 20.(本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, AB ? AC ? AB ? AC ? 2 .
-5-

??? ? 2 ???? 2 (1)求 AB ? AC 的值;

(2)当 △ ABC 的面积最大时,求 ?A 的大小.

21.(本小题满分 12 分)(2006 陕西卷)如图,三定点 A(2,1),B(0,-1),C(-2,1); 三动 点 D,E,M 满足 AD ? t AB, BE ? t BC, DM ? t DE, t ?[0,1]
-6-

(1)求动直线 DE 斜率的变化范围; (2)求动点 M 的轨迹方程.
y C M -2 -1 O E -1 B 1 D 2 x A

22.(本小题满分 14 分)已知点 P 是圆 x ? y ? 1上的一个动点,过点 P 作 PQ ? x 轴于
2 2

点 Q ,设 OM ? OP ? OQ . (1)求点 M 的轨迹方程;
-7-

???? ?

??? ? ????

(2)求向量 OP 和 OM 夹角的最大值,并求此时 P 点的坐标

??? ?

???? ?

y P

O

Q

x

参考答案
1. CD ? CB ? BD ? ? BC ?

1 BA ,故选 A. 2
-8-

? ? ? 2.B 设所求向量 e =(cos ? ,sin ? ),则由于该向量与 a, b 的夹角都相等,故

a?e | a |?| e|

?

b?e | b || e |

? a ?e ? b?e ? c o? s ?

7 2

1 1 s i?n ? 2 2

c? os ?

7 2

3cos ? =-4sin ? , ? ? s in

为减少计算量,可将选项代入验证,可知 B 选项成立,故选 B. 3.D 依题意知向量 a ? ? b 与 2a ? b 共线,设 a ? ? b ? k ( 2a ? b ),则有

?

?

?

?

?1 ? 2k ? 0 ,解得 k ? 0.5 ,选 D. (1 ? 2k )a ? (k ? ?)b ? 0 ,所以 ? ?k ? ? ? 0
1 ? x? , 2 2 ? ? 2 ? x ? y ? 1, ? 4.解选 B.设 b ? ? x, y ? ( x ? y) ,则依题意有 ? ? ? ? 3x ? y ? 3. ? y ? 3 . ? ? 2
???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? 5.解析:利用向量数量积 PP PP PP 1 2? 1 i (i = 1, 2,3, 4,5,6) 的几何意义:数量积 PP 1 2? 1 i 等于 P 1P 2 的长度 ???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? 与 P1 Pi 在 P1 P2 的方向上的投影 PP 的乘积.显然由图可知 P1 P3 在 P1 P2 P 1P 2 1 i cos < PP 1 2 , PP 1 i >

方向上的投影最大.所以应选(A). 6.B ? AD ? ? AB,? OD ? OA ? ? OB ? OA , 即得

???? ??? ?

?

??? ? ??? ?

?

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? OD ? ?1 ? ? ? OA ? ? OB ? ?1 ? ? ? a ? ?b, 又? OD 是 AB 边上的高,?OD ? AB ? 0 即
???? ??? ? ??? ? 2 OD ? OB ? OA ? 0,? ? ??1 ? ? ? a ? ?b ? ? ? ? b ? a ? ? 0 ,整理可得 ? ? b ? a ? ? a ? (a ? b), 即得

?

?

??

a ? ? a ? b ? ,故选 B. a ?b
2

7.A

设 P 点坐标为 ( x, y ) ,则 OP ? ( x, y) .由 0 ? OP ? OM ? 1 , 0 ? OP ? ON ? 1 得

??? ? ???? ?

??? ? ????

?0 ? 2 x ? y ? 2 ,在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即 ? ?0 ? y ? 1
可,选 A.

-9-

? )+1 的图象向下平移 1 个单 3 k? ? k? ? ? (k ? Z ) 个单位.即应按照向量 a ? (? ? ,?1)( k ? Z ) 进 位,再向右平移 ? 2 6 2 6 ? 行平移.要使|a|最小,应取 a=( , ?1 ),故选 A. 6 ? ? ? ? 9.B 由 a ? b ? c ? 0 得 c ? ?(a ? b) ,两边平方得 | c |2 ?| a |2 ? | b |2 ?2| a || b | cos?1 ,
8.A 要经过平移得到奇函数 g(x),应将函数 f(x)=tan(2x+

? ? ? ? ? ? ? 将 | a |? 3 , | b |? 4 , | c |? 5 代入得 cos?1 ? 0 ,所以 ?1 ? 900 ;同理,由 a ? b ? c ? 0 得

4 3 a ? ?(c ? b) ,可得 cos ? 2 ? ? , cos ? 3 ? ? ,所以 ?1 ? ?3 ? ?2 . 5 5
10. B 由已知得 | b |? 1 ,所以 | a |?

m 2 ? n 2 ? 4 ,因此

a ? b ? m cos? ? n sin ? ? m 2 ? n 2 sin(? ? ? ) ? 4 sin(? ? ? ) ? 4 ,由于 a ? b ? ?2 恒
2 成立,所以 ? ? 4 ,解得 ? ? 2 或 ? ? ?2 .

11.答案 B∵ OA ? 1 , OB ? 3 , OA ? OB ? 0

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 1 AB ? O 4 2 ???? ??? ? ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 3 ??? ? 1 ??? ? ∴ OC ? OA ? AC ? OA ? AB ? OA ? (OB ? OA) ? OA ? OB 4 4 4 4 3 1 m ∴m ? ,n ? 即 ?3 故本题的答案为 B. A C 4 4 n 12.答案 B 取特殊值、数形结合
∴△ABC 为直角三角形,其中 AC ? 在 ?ABC 中, ?C ? 90 ,不妨取 A(0,1), C(0,0),B(0,1),则
o

B

∵ AB ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 此时 AC 2 ? CB 2 ? 2 、 AB 即命题②、③是错误的.
2



AC ? 1 、 BC ? 1 、 AB ?|1 ? 0 | ? | 0 ? 1|? 2

? 4 、 AC 2 ? CB 2 ? AB 2 ; AC ? CB ? AB
C B

设如图所示共线三点 A ( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则

|| AC || =| x1 ? x3 |? | y1 ? y3 | ?| AC? | ? | CC? |
= | AB? | ? | B?C? | ? | C?C?? | ? | C??C | A
- 10 -

C ??

B?

C?

= | AB? | ? | B?B | ? | BC?? | ? | C??C |

|| AB ||?| x1 ? x2 |? | y1 ? y2 | ?| AB? | ? | BB? | || BC ||?| x2 ? x3 |? | y2 ? y3 | ?| BC?? | ? | C??C |


AC ? CB ? AB

即命题①是正确的.

综上所述,真命题的个数 1 个,故本题的答案为 B. 13.解:由AN ? 3NC得4AN ? 3AC =3(a ? b) , AM ? a ?

????

????

????

??? ?

? ?

???? ?

?

???? ? 3 ? ? ? 1? 1? 1? MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b . 4 2 4 4
14. x 2 ? 2 y 2 ? 2

1? b ,所以 2

设 M ( x, y ) ,则 OM ? ( x, y) ,又 OA ? (2,?1),OB ? (?1,1) ,所以

由 OM ? mOA ? nOB 得 ( x, y) ? (2m,?m) ? (?n, n) ,于是 ?

???? ?

??? ?

??? ?

? x ? 2m ? n ,由 ? y ? ?m ? n

2m2 ? n2 ? 2 消去 m, n 得 M 的轨迹方程为: x 2 ? 2 y 2 ? 2 .
15. ? 2 如图,设 AO ? x ,则 OM ? 2 ? x ,所以
A O B C

OA ? (OB ? OC) ? OA ? 2OM ? ?2 ? OA ? OM

?2x(2 ? x) ? 2x 2 ? 4x ? 2( x ? 1) 2 ? 2 ,
???? ? ??? ? ??? ? 故当 x ? 1 时, OM ? mOA ? nOB 取最小值-2.
16. m ?
M

1 2

因为 OA ? (3,?4),OB ? (6,?3),OC ? (5 ? m,?3 ? m) ,所以

AB ? (3,1), BC ? (?m ? 1,?m) .由于点 A、B、C 能构成三角形,所以 AB 与 BC 不共
3 1 1 ? ,解得 m ? ,故当点 A、B、C 能构 ? m ?1 ? m 2 1 成三角形时实数 m 满足的条件是 m ? . 2 1 ?1 ? ? cos 2 x ? ? 2 ,因为 x ? (0, ] , 17.解析:(1)若 a 与 b 平行,则有 sin x sin x 2
线,而当 AB 与 BC 共线时,有

sin x ? 0 ,所以得 cos 2 x ? ?2 ,这与 | cos2 x |? 1 相矛盾,故 a 与 b 不能平行.
- 11 -

(2)由于 f ( x) ? a ? b ? 为 x ? (0,

2 ? cos2 x 2 ? cos2 x 1 ? 2 sin 2 x 1 ,又因 ? ? ? ? 2 sin x ? sin x sin x sin x sin x sin x

?
3

] ,所以 sin x ? (0,

3 ] , 于是 2

2 sin x ?

1 1 1 2 ,即 sin x ? 时取等 ? 2 2 sin x ? ? 2 2 ,当 2 sin x ? sin x 2 sin x sin x

号.故函数 f ( x) 的最小值等于 2 2 . 18.解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a· (b+c)=(sinx,-cosx)· (sinx-cosx,sinx-3cosx)

=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ 2 sin(2x+
所以,f(x)的最大值为 2+ 2 ,最小正周期是

3? ). 4

2? =? . 2

(Ⅱ)由 sin(2x+

3? k? 3? 3? ? )=0 得 2x+ =k. ? ,即 x= ,k∈Z, 4 2 8 4

于是 d=(

k? 3? k? 3? 2 ? ,-2), d ? ( ? ) ? 4 , k∈Z. 2 8 2 8

因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k=1,此时 d=(― 19.解析:解:(Ⅰ)若 a⊥b,则 sinθ+cosθ=0,
由此得 π π tanθ=-1(- <θ< ),所以 2 2 π θ=- ; 4

? ,―2)即为所求. 8

(Ⅱ)由 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ)得 |a+b|= (sinθ+1)2+(1+cosθ)2= 3+2(sinθ+cosθ) π = 3+2 2sin(θ+ ), 4 π π 当 sin(θ+ )=1 时,|a+b|取得最大值,即当 θ= 时,|a+b|最大值为 2+1. 4 4 ??? ? ???? ? AB ? AC ? 2, ??? ? 2 ???? 2 ? 20.解:(Ⅰ)由已知得: ? ??? 因此, AB ? AC ? 8 . ?2 ??? ? ???? ???? 2 AB ? 2 AB ? AC ? AC ? 4. ? ? ??? ? ???? ? ???? AB ? AC 2 1 ??? (Ⅱ) cos A ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? , S△ABC ? AB ? AC sin A 2 AB ? AC AB ? AC

?

? ???? 1 ??? AB ? AC 1 ? cos2 A 2
- 12 -

?

1 2

??? ? 2 ???? 2 ??? ? 2 ???? 2 1 AB ? AC ? AB ? AC cos2 A ? 2

??? ? 2 ???? 2 AB ? AC ? 4

? 2 ???? 2 ?2 ? ??? ??? ? ???? 1 ? AB ? AC ? ? ? 4 ? 3 .(当且仅当 AB ? AC ? 2 时,取等号), ? ? 2 ? 2 ? ? ?
当 △ ABC 的面积取最大值 3 时, cos A ? ??? ? ???? ?

??? ? ???? AB ? AC

AB ? AC

? 1 ,所以 ?A ? . 2 3
?2 ?? ?2

解:(I)由条件知: a ? b ? 0 且 (a ? 2b)2 ? a ? 4b ? 4a? b ? 4b
2

?

?

?

?

?2

a a ?b ? ? , 4 ? ? a ?b 1 ?? , 设 a和b 夹角为 ? ,则 cos ? ? 4 | a || b | ? ? ? ? ? ? ? arc cos 1 ,故 a和b 的夹角为 ? ? arc cos 1 , 4 4 ? ? ? (Ⅱ)令 a和(a ? b) 的夹角为 ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 1 ?2 10 ? ? a ? b ? a ? b ? 2a? b ? 2a ? a ? a , 2 2 2 1 2 2 a ? a 10 4 ? cos ? ? a ? (a ? b) ? a ? a ? b ? ? 4 10 | a || a ? b | | a || a ? b | |a| |a| 2 ? ? ? ? a和(a ? b) 的夹角为 arccos 10 .
4

→ → → → 21.解析:如图,(Ⅰ)设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, BE = t BC, ?xD=-2t+2 ?xE=-2t 知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2). ∴? 同理 ? . ?yD=-2t+1 ?yE=2t-1 yE-yD 2t-1-(-2t+1) y ∴kDE = = = 1-2t. xE-xD -2t-(-2t+2) A C ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[-1,1]. → → → → → M D (Ⅱ) 如图, OD=OA+AD = OA+ tAB x → → → → → 1 2 -2 -1 O = OA+ t(OB-OA) = (1-t) OA+tOB, E → → → → → → → → OE=OB+BE = OB+tBC = OB+t(OC-OB) -1 B → → =(1-t) OB+tOC, 第 21 题解法图 → → → → → → → → → → OM = OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE-OD)=(1-t) OD+ tOE → → → = (1-t2) OA + 2(1-t)tOB+t2OC .
- 13 -

→ → → 设 M 点的坐标为(x,y),由OA=(2,1), OB=(0,-1), OC=(-2,1)得 2 2 ?x=(1-t )·2+2(1-t)t·0+t ·(-2)=2(1-2t) ? 消去 t 得 x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[-2,2]. 2 2 2 ?y=(1-t) ·1+2(1-t)t·(-1)+t ·1=(1-2t) 故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[-2,2] 22.解析:(1)设 P( x? , y? ) , M ( x, y ) ,则 OP ? ( x? , y? ) , OQ ? ( x? ,0) ,

??? ?

????

???? ? ??? ? ???? OM ? OP ? OQ ? (2x? , y? )
1 ? ? x ? 2 x? x2 ? x? ? x 2 2 ?? ?? , ? x ? y ? 1, ? ? y2 ? 1. 2 ? ? 4 ? y ? y? ? ? y? ? y
(2)设向量 OP 与 OM 的夹角为 ? ,则

??? ?

???? ?

??? ? ???? ? 2 x?2 ? y?2 ( x?2 ? 1)2 OP ? OM ? ???? ? ? cos ? ? ??? ? , 3x?2 ? 1 | OP | ? | OM | 4 x?2 ? y?2
令 t ? 3x?2 ? 1 ,则 cos ? ?

1 (t ? 2)2 1 4 2 2 , ? t? ?4 ? 3 t 3 t 3

当且仅当 t ? 2 时,即 P 点坐标为 (?

3 6 ,? ) 时,等号成立. 3 3
3

??? ? ???? ? ? OP 与 OM 夹角的最大值是 arccos 2 2 .

- 14 -


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