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浙大第二章随机变量及其分布_图文

第二章 随机变量

应用数理学院

第一节 随机变量
一、随机变量概念的产生 在实际问题中,随机试验的结果可以用数 量来表示,由此就产生了随机变量的概念.

1、有些试验结果本身与数值有关(本身 就是一个数). 例如,掷一颗骰子面上出现的点数; 每天从郑州下火车的人数; 昆虫的产卵数;

七月份郑州的最高温度;

2、在有些试验中,试验结果看来与数值无 关,但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说,把试验结果数值化.
正如裁判员在运动 场上不叫运动员的 名字而叫号码一样, 二者建立了一种对 应关系.

这种对应关系在数学上理解为定义了一种 实值函数.
e.

X(e)

?

R

这种实值函数与在高等数学中大家接触到 的函数一样吗?

(1)它随试验结果的不同而取不同的值, 因而在试验之前只知道它可能取值的范围, 而不能预先肯定它将取哪个值.
(2)由于试验结果的出现具有一定的概 率,于是这种实值函数取每个值和每个确 定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在样本空间上的实值函数为

简记为 r.v.(random variable)

二、引入随机变量的意义
有了随机变量,随机试验中的各种事件, 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如:单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示,它是一个随机变量. 事件{收到不少于1次呼叫} ? { X {没有收到呼叫}

? 1}

{X= 0} ?

三、随机变量的分类 通常分为两类: 所有取值可以逐个 离散型随机变量 一一列举 随 如“取到次品的个数”, 机 “收到的呼叫数”等. 全部可能取值不仅 变 无穷多,而且还不能 量 一一列举,而是充满 连续型随机变量 一个区间. 例如,“电视机的寿命”,实 际中常遇到的“测量误差”等.

随 机 变 量

离散型随机变量

连续型随机变量

这两种类型的随机变量因为都是随机变 量,自然有很多相同或相似之处;但因其取 值方式不同,又有其各自的特点.

学习时请注意它们各自的特点和描述方法.

第二节 离散型随机变量
设X是一个离散型随机变量,它可能取 的值是 x1, x2 , … . 为了描述随机变量 X ,我们不仅需 要知道随机变量X的取值,而且还应知道 X取每个值的概率.

一、离散型随机变量概率分布的定义
定义 1 :设 xk(k=1,2, …) 是离散型随 机变量X所取的一切可能值,称

为离散型随机变量X的概率分布或分布 律,有的书上也称概率函数.
其中 pk (k=1,2, …) 满足: k=1,2, … (1) pk ? 0,
用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布

P( X ? xk )? pk , k ? 1,2,? k=1,2,… …

(2)? pk ?1
k

(

二、常见的离散型随机变量的概率分布

(I) 两点分布
? 来源 设E是一个只有两种可能结果的 随机试验,用Ω ={?1, ?2}表示其样本空间. P({?1})=p , P({?2})=1-p X(?)=

1, ?= ?1
0, ?= ?2

(II)

二项分布

每次试验成功的概率都是p,这样的n次 独立重复试验称作n重贝努里试验,简称贝 努里试验或贝努里概型.

用X表示n重贝努里试验中事件A(成功) 出现的次数,则

P( X ?k )?C p (1 ? p)
k n k

n ?k

, k ? 0,1,?, n

称r.v.X服从参数为n和p的二项分布,记作 X~B(n,p)

注: 贝努里概型对试验结果没有等可能 的要求,但有下述要求: (1)每次试验条件相同; (2)每次试验只考虑两个互逆结果A或 A , P( A ) ? 1 ? p ; 且P(A)=p , (3)各次试验相互独立.

二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.

(III) 泊松分布
泊松分布的定义及图形特点
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为:

p(k ; ? ) ?: P{ X ? k} ?e

??

?

k

k!

, k ?0,1,2,??,

其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为 λ的 泊松分布,记作X~P(λ ).

我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大 洪水、意外事故等等

由泊松定理,n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.

第三节 连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.

一、连续型r.v.及其概率密度函数的定义

对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数 f(x) , x? ( ??,??) ,使得对任意 a ? b , 有

P (a ? X ? b) ? ? f ( x )dx
a

b

则称 X为连续型r.v.,称 f(x)为 X 的概率密度函 数,简称为概率密度或密度.

概率密度函数的性质
1o 2o

f ( x) ? 0

?

?

??

f ( x)dx ? 1
f (x)

这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.

面积为1

o

x

对 f(x)的进一步理解

若x是 f(x)的连续点,则: x ? ?x f ( t )dt P ( x ? X ? x ? ?x ) ? lim ? lim x ? x ?0 ?x ?0 ?x ?x =f(x)
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值,恰好是 X落在区间 ( x, x ? ?x ]上的概率与区间长度 ?x 之比的极限. 这里,如果把概率理解为质量, f (x)相当于线密度.

f (x)

o

x

要注意的是,密度函数 f (x)在某点处a 的高度,并不反映X取值的概率. 但是,这 个高度越大,则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说,在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.

若不计高阶无穷小,有:

P{x ? X ? x ? ?x} ? f ( x )?x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x ? ?x ] 的 概率近似等于 f ( x )?x .
f ( x )?x 在连续型r.v理论中所起的作用与

P( X ? xk ) ? pk 在离散型r.v理论中所起的

作用相类似.

二、随机变量的分布函数
设X(?)是一个随机变量. 称函数 F(x):= P{X≤x},-∞<x<∞ 为随机变量X的分布函数.

?定义

?

分布函数的性质

(1)?a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) (2)F(x)是一个右连续的函数 (3) ?x?R1 ,总有0≤F(x)≤1(有界性),且

x?? ?

lim F ( x ) ? 0,
x ? ??

lim F ( x ) ? 1.
x ??

记 lim F ( x )为F ( ??)


记 lim F ( x )为F (? )
x ??

F ( ??) ? 0,

F (?) ? 1.

离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量X的分布律为 pk:= P{X=xk} , k=1,2,…, X的分布函数

? ? ? ? ? F ( x) ? P{ X ? x} ? P? X ? x ? k ? ? x ?x ? k ?

? F ( x) ?

xk ? x

? P?X

? xk ? ?

xk ? x

?p

k

分布函数F(x)是一个右连续的函数,在 x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下 图(图2.2.1)所示

连续型 r.v.的分布函数
若 X 是连续型r.v., X~ ~ f (x) , 则 F(x) = P(X ? x) =

?

x

??

f (t )dt

即分布函数是密度函数的可变上限的 定积分. 由上式可得,在 f (x)的连续点,

dF ( x ) ? f ( x) dx

三、常见的连续型随机变量
正态分布、均匀分布、指数分布

(I)正态分布
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 德莫佛(De Moivre)最早 发现了二项分布的一个近似公 式,这一公式被认为是正态分 布的首次露面. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广,所以通 常称为高斯分布.
德莫佛

(1) 正态分布的定义
若r.v. X 的概率密度为

1 f ( x) ? e , ??? x ?? ? 2? 其中 ? 和 ? 都是常数,? 任意,? >0, 则称X服从参数为 ? 和 ? 的正态分布.
记作 X ~ N ( ? , ? 2 )

( x ? ? )2 ? 2? 2

(Normal)

f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.

) (2) 正态分布 N ( ? , ? 2 的图形特点

正态分布的密度曲线是一条关于 ? 对 称的钟形曲线. 特点是“两头小,中间大,左右对称”.

正态分布 N ( ? ,? 2 ) 的图形特点

? 决定了图形的中心位置,? 决定了图形
中峰的陡峭程度.

1 f ( x) ? e ? 2?

( x ? ? )2 ? 2? 2

, ??? x ??

令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)

故f(x)以μ为对称轴,并在x=μ处达到最大 值: 1 f (?) ? 2??

1 f ( x) ? e ? 2?

( x ? ? )2 ? 2? 2

, ??? x ??

当x→ ?∞时,f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时,越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。

1 f ( x) ? e ? 2?

( x ? ? )2 ? 2? 2

, ??? x ??

用求导的方法可以证明, x=μ?σ 为f (x)的两个拐点的横坐标。 这是高等数学的内容,如果忘记了,课下 再复习一下。

(II)均匀分布(Uniform)
若 r.v. X的概率密度为: ? 1 ? , a? x?b f ( x) ? ? b ? a ? 其它 ? 0,

f ( x)

a

b

则称X服从区间( a, b)上的均匀分布,记作: X ~ U[ a , b ]

(注:X ~ U(a, b))

若X ~ U[a, b],则对于满足 a ? c ? d ? b

的c,d, 总有
P{c ? X ? d } ? ?

b

a

d ?c f ( x)dx ? b?a

均匀分布常见于下列情形:
如在数值计算中,由于四舍五 入,小数 点后某一位小数引入的误差,例如对小数点 后第一位进行四舍五 入时,那么一般认为误 差服从(-0.5, 0.5)上的均匀分布。

(III)指数分布:若 r.v X具有概率密度

??e f ( x) ? ? ?0

? ?x

x?0 ??0 x?0

则称 X 服从参数为 ? 的指数分布. 常简记为 X~E( ? ) . 指数分布常用于可靠性统计研究 中,如元件的寿命.


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