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100测评网高一数学复习第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧


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第四讲

数列与探索性新题型的解题技巧

【命题趋向】 从 2007 年高考题可见数列题命题有如下趋势: 1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难 度易、中、难三类皆有. 2.数列中 an 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时 要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意: 1.数列是一种特殊的函数, 学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、 前 n 项和公式 等. 2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q) ,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运 算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意 q=1 和 q≠1 两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如 an 与 Sn 的转化;将一些数列转化成 等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳. 5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的 关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数 形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果. 7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并 能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答简 单的问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决简 单的问题. 4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位. 高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等 以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分度. 有关数列的试题经常是综合题, 经常把数列知识和指数函数、 对数函数和不等式的知识综合 起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高 考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查 函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本 数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题 转化为数学问题来解决. 【例题解析】 考点 1 正确理解和运用数列的概念与通项公式 理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.

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典型例题 例 1. (2006 年广东卷)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒 乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3,4,? 堆最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在 下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则

f ?3? ? _____ ; f (n) ? _____ (答案用 n 表示).

?
思路启迪:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分 别是 12,3,4, ?推测出第 n 层的球数。 解答过程:显然 f ?3? ? 10 . 第 n 堆最低层(第一层)的乒乓球数, a n ? a1 ? a 2 ? 当于 n 堆乒乓球的低层数之和,即 f ? n ? ? a1 ? a 2 ? 所以: f (n) ?
n ? n ? 1?? n ? 2 ? 6
? an ? n ? n ? 1? 2

,第 n 堆的乒乓球数总数相
? n2 ) ? 1 n ? n ? 1? ? . 2 2

? an ?

1 2 (1 ? 22 ? 2

例 2. (2007 年湖南卷理)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0-1 三 角数表.从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全行的数都为 1 的是第 行;第 61 行中 1 的个数是 . 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 ?? ??????????????? 思路启迪:计算图形中相应 1 的数量的特征,然后寻找它们之间的规律。 解:第 1 次全行的数都为 1 的是第 2 ? 1 =1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 2 2 ? 1 =3 行,第 3 次全行的数都为 1 的是第 23 ? 1 =7 行, · · · · · · ,第 n 次全行的数都为 1 的是第 2 n ? 1 行;第 61 行中 1 的个数是 25 ? 1 =32. 应填 2 n ? 1 ,32 考点 2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见的 类型进行解题。如“逐差法”若 a n ? a n ?1 ? n, 且 a1 ? 1 ;我们可把各个差列出来进行求和, 可得到数列 ?a n ? 的通项.
a n ? ? a n ? a n?1 ? ? ? a n?1 ? a n?2 ? ? ? ? a 2 ? a1 ? ? a1 ? n ? ? n ? 1? ?

? 2 ?1 ?

n ? n ? 1? . 2

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再看“逐商法”即 a n ?1 ? n ? 1 且 a1 ? 1 ,可把各个商列出来求积。 an
an ? a n a n ?1 a n ?1 a n ?2 a2 a1 ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? a1 2 1 ? n!

另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 例 3. (2007 年北京卷理) 数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等 2, 3, ) 比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式. 思路启迪: (1)由 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列列方程求 c ; (2)可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归纳 概括出 an 与 n 之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前 4 项的该数列的一个通项公式. 解: (I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1,a2,a3 成等比数列,所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) ,解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于
a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,

, an ? an?1 ? (n ?1)c ,
n(n ? 1) . c 2

所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

? (n ? 1)]c ?

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ) . 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1, 2, ) . 小结:从特殊的事例,通过分析、归纳、抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这是创 新意识的具体体现,这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引起足够的 重视. 例 4. (2006 年广东卷) 已知数列 ?xn ? 满足 x2 ? x1 ,xn ? 1 ? xn ?1 ? xn ?2 ? ,n ? 3, 4, ?. 若 lim xn ? 2 , n ??
2
2



( B ) (A)
3 2

(B) 3

(C) 4

(D)



思路启迪:对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用. 解答过程: 2xn ? x n?1 ? x n ?1 , ? x n ? x n ?1 ? xn ?2 ? xn .

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x 3 ? x 2 ? x1 ? x 3 ? ? ? ? 相叠加 x n ? x 2 ? x1 ? x 2 ? x n ? x n ?1 . ? x n ?1 ? x n ? 2 ? x n ?3 ? x n ?1 ? ? x n ? x n ?1 ? x n ? 2 ? x n ? ? x 4 ? x3 ? x 2 ? x 4
x2 ? x1 , 2

.1 ? 2 xn ? xn? 1 ? 2 x

lim ? 2x n ? x n ?1 ? ? lim 2x1 , lim x n ? 2 ,?2x1 ? 6 , x1 ? 3 .
n ?? n ??

n ??

解答过程 2:由 xn ? 1 ? xn ?1 ? xn ?2 ? 得:
2
1 1 x n + x n ?1 ? x n ?1 ? x n ?2 ? 2 2 ? x2 ? 1 x1 ? x1 , 2

1 ? ? xn ? 2 . lim ? x n ? x n ?1 ? ? x1 ,因为 lim n ?? n ?? 2 ? ?

所以: x1 ? 3 . 解答过程 3:由 xn ? 1 ? xn ?1 ? xn ?2 ? 得:
2

? 1? ? 1? x n ? x n ?1 ? ? ? ? ? x n ?1 ? x n ?2 ? ? ? ? ? ? x n ?2 ? x n ?3 ? ???? ? 2 ? ? ? 2?
2
3

2

? 1? ? ?? ? ? 2?

n ?2

1? ? x 2 ? x1 ? ? ? ?? ? ? 2? x1 .

n ?1

x1 ,

从而 x3 ? x 2 ? ? ? 1 ? x1 ; x ? x ? ? ? 1 ? x ;??; x ? x ? ? ? 1 ? ? ? n n ?1 4 3 ? ? ? ? 1 ? 2? ? 2? ? 2?
? 1? ? 1? 叠加得: x n ? x 2 ? x1 ?? ?? ? ??? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 ?
2 3

n ?1

? 1? ??? ? ? 2?

n ?1

? ?. ? ?

n ?2 n ?2 ? 1? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ?? ?. x n ? x 2 ? x1 ?1 ? ? ? ? ? , lim x n ? lim ? x ? x 1 ? ? ? ? ? 2 1 ? ?? n ?? n ?? 6? 2 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

2?

x1 1 ? x1 , 从而 x1 ? 3 . 2 6

小结: 数列递推关系是近几年高高数学的热点, 主要是一些能转化为等差等比数列的递推关 系式。对连续两项递推 a n ? ka n-1 ? d ? n ? 2,k ? 1? ,可转化为
an ? d d ? ;对连续三项递推的关系 a ? ? k ? a n ?1 ? n ?1 ? 1? k 1? k ? ?

? ka n ? da n-1 ? n ? 2?

如果方程 x 2 ? kx ? d=0 有两个根 ? 、? ,则上递推关系式可化为
a n ?1 ? ? a n ? ? ? a n ? a n ?1 ? 或 a n ?1 ? ? a n ? ? ? a n ? a n ?1 ? .

考点 3 数列的通项 a n 与前 n 项和 Sn 之间的关系与应用
S1 a n 与 Sn 的关系: a n ? ? ? ?Sn ? Sn ?1 n=1 ,数列前 n 项和 S 和通项 a 是数列中两个重要的量, n n n?2

在运用它们的关系式 a n ? Sn ? Sn ?1 时,一定要注意条件 n ? 2 ,求通项时一定要验证 a 1 是否适

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合。解决含 a n 与 Sn 的式子问题时,通常转化为只含 a n 或者转化为只 Sn 的式子. 例 5. (2006 年辽宁卷) 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1? 也是等比数列, 则 Sn 等于( )

(A) 2n?1 ? 2 (B) 3n (C) 2n (D) 3n ? 1 命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。 过程指引因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1? 也是等比数列,则
(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1

即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C. 例 6.已知在正项数列{a n}中,S n 表示前 n 项和且 2 Sn ? a n ? 1 ,求 a n. 思路启迪:转化为只含 a n 或者只含 Sn 的递推关系式. 解答过程 1:由已知 2 Sn ? a n ? 1 ,得当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时, a n= S n-S n-1,代入已知有 2 Sn ? Sn ? Sn ?1 ? 1, Sn ?1 ? Sn ? 2 Sn ? 1.
Sn ?1 ?

?

Sn ?1 ,又 a n ? 0,Sn ? Sn ?1 ,故 Sn ?1 ? Sn ? 1.

?

2

Sn ? Sn ?1 ? 1,

? S ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,
n

Sn ? n 故 a n ? 2n ? 1 .

解答过程 2:由已知 2 Sn ? a n ? 1 ,得当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时 因为 S ? ? a n ? 1 ? ,所以 a ? ? a n ? 1 ? ? ? a n ?1 ? 1 ? . n n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
2 2 , a2 4a n ? a n ? 2a n ? a 2 n ?1 ? 2a n ?1 n ? 2a n ? a n ?1 ? 2a n ?1 ? 0

2

2

2

? an ? an?1 ?? an ? an?1 ? 2? ? 0 ,因为 a n ? 0 ,
所以 a n ? a n ?1 ? 2 ,所以 a n ? 2n ? 1 . 考点 4. 数列中与 n 有关的等式的理解与应用 对数列中的含 n 的式子,注意可以把式子中的 n 换为 n ? 1 得到另外的式子。也可以把 n 取 自然数中的具体的数 1,2,3?等,得到一些等式归纳证明. 例 7. (2006 年福建卷)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1,a n ?1 ? 2a n ? 1 (n∈N )
?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

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(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?1 ? 4b2 ?1 ? 4b3 ?1 ? ? 4bn ?1 ? ? a n ? 1?
bn

(n∈N*),证明: ?bn ? 是等差数列;

思路启迪:本小题主要考查数列基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。 把递推关系式变形转化
* 解答过程: (I)解: an?1 ? 2an ?1(n ? N ),

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

?an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.



an ? 22 ?1(n ? N * ).
b

(II)证法一: 4b1 ?1 ? 4b2 ?1 ? 4b3 ?1 ? ? 4bn ?1 ? ? a n ? 1? n ,

? 4(b1 ? b2 ?...? bn ) ? n ? 2nbn .
?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,
2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.

① ②

②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0,
nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.

③ ④

③-④,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

故 ?bn ? 是等差数列. 考点 5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差、等比数列中,已知五个元素 a1 , a n , n, d 或 q , Sn 中的任意三个,运用方程的思想, 便可求出其余两个, 即 “知三求二” 。 本着化多为少的原则, 解题时需抓住首项 a 1 和公差 (或 公比 q ) 。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 ( 1 )等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;等比数列 ?a n ? 中,若

m ? n ? p ? q ,则 a ma n ? a pa q .
(2)等差数列 ?an ? 中,Sn ,S2n ? Sn ,S3n ? S2n , Skn ? Sk?n?1? , 成等差数列。其中 Sn 是等差数列的
,?
k n 1 ? ?

前 n 项和;等比数列 ?an ? 中( q ? ?1 ) , S, S S ?n3 Sn2, ? Snk S n n 2 S, n

?

成等比数列。其中

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Sn 是等比数列的前 n 项和;
(3)在等差数列 ?an ? 中,项数 n 成等差的项 a n 也称等差数列. (4)在等差数列 ?an ? 中, S2n ?1 ? ? 2n ? 1? a n ; S2n ? n ? a n ? a n ?1 ? . 在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体 思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题 例 8. (2006 年江西卷)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 OB =a1 OA+a 200 OC ,且 A、 B、C 三点共线(该直线不过原点 O) ,则 S200=( ) A.100 B. 101 C.200 D.201 命题目的:考查向量性质、等差数列的性质与前 n 项和。 过程指引:依题意,a1+a200=1,故选 A 例 9. (2007 年安徽卷文、理) 某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以后每年 交纳的数目均比上一年增加 d(d>0), 因此,历年所交纳的储备金数目 a1, a2, ? 是一个 公差为 d 的等差数列. 与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而且 计算复利. 这就是说,如果固定年利率为 r(r>0),那么, 在第 n 年末,第一年所交纳的储备 - - 金就变为 a1(1+r)n 1,第二年所交纳的储备金就变成 a2(1+r)n 2,??. 以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证 Tn=An+ Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列. 命题目的: 本小题主要考查等差数列、 等比数列的基本概念和基本方法, 考查学生阅读资料、 提取信息、建立数字模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解: (I)我们有 Tn ? Tn?1 (1 ? r ) ? an (n ? 2). (II) T1 ? a1 , 对n ? 2 反复使用上述关系式,得
Tn ? Tn?1 (1 ? r) ? an ? Tn?2 (1 ? r) 2 ? an?1 (1 ? r) ? an ? ?
a1 (1 ? r ) n?1 ? a2 (1 ? r ) n?2 ? ? ? an?1 (1 ? r ) ? an ,



在①式两端同乘 1+r,得
(1 ? r )Tn ? a1 (1 ? r ) n ? a2 (1 ? r) n?1 ? ? ? an?1 (1 ? r) 2 ? an (1 ? r).



②-①,得

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rTn ? a1 (1 ? r ) n ? d [(1 ? r ) n ?1 ? (1 ? r ) n ? 2 ? ? ? (1 ? r )] ? a n d [(1 ? r ) n ? 1 ? r ] ? a1 (1 ? r ) n ? a n , r a r?d a r?d d 即Tn ? 1 2 (1 ? r ) n ? n ? 1 2 . r r r a1 r ? d a r?d d 如果记An ? (1 ? r ) n , Bn ? ? 1 2 ? n, 2 r r r 则Tn ? An ? Bn , ? a1 r ? d (1 ? r )为首项,以1 ? r (r ? 0)为公比的等比数列 ; r2 a r?d d d | Bn | 是以 ? 1 2 ? 首项,? 为公差的等差数列 . r r r 其中 | An | 是以

2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求 解的过程中适时应用. 考点 6 等差、等比数列前 n 项和的理解与应用 等差、 等比数列的前 n 项和公式要深刻理解, 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数. 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 Sn ? a1 ?1 ? q ? ? a1 ? a1 q n ( q ? 1 ) ,因此可以改写为
n

1? q

1? q 1? q

Sn ? aqn ? b (a ? b ? 0) 是关于 n 的指数函数,当 q ? 1 时, Sn ? na1 .
例 10. (2007 年广东卷理)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k= A.9 B.8 C.7 D.6 思路启迪:本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题 和解决问题的能力. 解:此数列为等差数列, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 10 ,由 5<2k-10<8 得到 k=8. 例 11. (2007 年湖北卷文) (本小题满分 13 分) 已知数列{an}和{bn}满足: a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 0, bn ? an an?1 (n ? N*) 且{bn}是以 q 为公比的等比数 列. (Ⅰ)证明: an?2 ? an q 2 ; (Ⅱ)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n , 证明数列 {cn } 是等比数列; (Ⅲ)求和: 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 .
a1 a2 a3 a4 a 2 n?1 a2n

命题目的: 本小题主要考查等比数列的定义, 通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算 技能,考查分析问题能力和推理能力. 解法 1: (I)证:由 bn?1 ? q ,有 an ?1an ? 2 ? an ? 2 ? q ,∴ an?2 ? an q2 (n ? N*) .
bn

an an ?1

an

(II)证: an ? qn?2q2 ,
?a2n?1 ? a2n?3q2 ? ? a1q2n?2 , a2n ? a2n?2q2 ?
? a2qn?2 ,

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?cn ? a2n?1 ? 2a2n ? a1q2n?2 ? 2a2q2n?2 ? (a1 ? 2a2 )q2n?2 ? 5q2n?2 .

??cn ? 是首项为 5,以 q2 为公比的等比数列.
1 (III)由(II)得 1 ? 1 q 2?2 n , 1 ? 2 q 2 ? 2 n ,于是 2n a a a2 n?1 a1
1 1 ? ? a1 a2
?

?

1 ?1 1 ?? ? ? a2 n ? a1 a3
?

?

1 ? ?1 1 ??? ? ? a2 n ?1 ? ? a2 a4
?

?

1 ? ? a2 n ?
? 1 ?. ? q 2 n?2 ?

1? 1 1 ?1 ? ? ? a1 ? q 2 q 4 a1

1 ? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? q 2 n?2 ? a2 ? q 2 q 4 ? 1 3? 1 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? a2 n 2 ? q q

1 ? 3? 1 1 ? ? 1? 2 ? 1 ? q 2 n ?2 ? 2 ? q q ? ? 1 ? ? 3n. ? 2 q ?
2 n?2

当 q ? 1 时, 1 ? 1 ?
a2

当 q ? 1 时, 1 ? 1 ?
a1 a2

?

1 3? 1 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? a2 n 2 ? q q

?

1 ? 3 ? 1 ? q ?2 n ? 3 ? q 2 n ? 1 ? . ?? ? ? ?? ? q 2 n?2 ? 2 ? 1 ? q ?2 ? 2 ? q 2 n ? 2 ( q 2 ? 1) ?

故1
a1

?

1 ? a2

?3 q ? 1, ? n, 1 ?2 ? ?? 2n a2 n ? ? ? q ? 1 ? ? ? ,q ? 1. 2n?2 2 ? ? ? ? q (q ? 1) ?

解法 2: (I)同解法 1(I) . (II)证:
cn?1 a2n?1 ? 2a2n?2 q 2 a2 n?1 ? 2q 2a2 n ? ? ? q 2 (n ? N* ) ,又 c1 ? a1 ? 2a2 ? 5 , cn a2 n?1 ? 2a2 n a2 n?1 ? 2a2 n

??cn ? 是首项为 5,以 q 为公比的等比数列.

2

(III)由(II)的类似方法得 a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 )q2n?2 ? 3q2n?2 ,
1 1 ? ? a1 a2 ? a ?a a ?a 1 ? 1 2? 3 4? a2 n a1a2 a3a4 ? a2 n?1 ? a2 n , a2 n ?1a2 n

a2 k ?1 ? a2 k 3q 2 k ?2 3 ?2k ?2 , k ? 1, 2, ,n . ? 4 k ?4 ? q a2k ?1a2k 2q 2
? 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 3 ? (1 ? q ?2 ? a2 k 2 ? q ?2 n? 2 ) .下同解法 1.

考点 7 数列与函数的迭代问题 由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目, 此类问题将函数与数列知识综 合起来, 考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用, 涉及的知识点由函数性 质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等,另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实 际背景, 它与当前国际数学主流之一的动力系统 (拓扑动力系统、 微分动力系统) 密切相关, 数学家们极为推崇, 函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中, 近几年又频频出现在高考 数学试题中. 例 12. (2006 年山东卷)已知数列{ an }中, a1 ? 1 、点(n、 在直线 y=x 上,其中 2an ?1 ? an)
2

n=1,2,3?. (Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 1, 求证数列?bn ?是等比数列;

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(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项;
Sn ? ?Tn ? 为等差数 (Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? 、 ? ? ? n ?

列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由. 思路启迪:利用等比的定义证明 bn 是等比数列;对 a n 可由已知用叠加法求出求。求出
a n 与 bn 便可顺利求出第三问.

解答过程: (I)由已知得

a1 ?

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2

3 3 1 3 a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4

又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ?1,
b a ? a ?1 ? n ?1 ? n ? 2 n ?1 ? bn an ?1 ? an ? 1
?{bn } 是以 ?

an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? 1 2 2 ? 2 ? . an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2

3 为首项,以 1 为公比的等比数列. 4 2
4 2 2 2

(II)由(I)知, bn ? ? 3 ? ( 1 )n ?1 ? ? 3 ? 1 , n
3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2

将以上各式相加得:
3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2
1 1 (1 ? n ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2

? an ?

3 ? n ? 2. 2n

(III)解法一: 存在 ? ? 2 ,使数列 { S n ? ?Tn } 是等差数列.
n Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 1 1 ? ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 21 22 2

1 1 (1 ? n ) 1 n 2 ? 3n 3 n 2 ? 3n n(n ? 1) 2 2 ?? n ? ? 3. ? 3? ? ? 2n ? 3(1 ? n ) ? 2 2 2 2 1 2 1? 2

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3 1 ? (1 ? n ) 3 1 3 3 4 2 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? ? ? (1 ? n ) ? ? ? n ?1 . 1 2 2 2 2 1? 2

数列 { S n ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 Sn ? ?Tn ? An ? B, ( A 、 B 是常数 )
n n

即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn,
2 2 又 Sn ? ?Tn ? ? 3 ? n ? 3n ? 3 ? ? (? 3 ? 3 ) ? n ? 3n ? 3(1 ? ? )(1 ? 1 ) . n n n ?1

2

2

2

2

2

2

2

? 当且仅当1 ? ?

2

S ? ?Tn 为等差数列. ? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { n } n n

解法二:存在 ? ? 2 ,使数列 { S n ? ?Tn } 是等差数列. 由(I) 、 (II)知, an ? 2bn ? n ? 2 ,? S n ? 2T ? n(n ? 1) ? 2n .
2

Sn ? ?Tn ? n

n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 2 ? ? Tn . 2 n n

又 T ? b ? b ? ??? ? b ? n 1 2 n

3 1 ? (1 ? n ) 4 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . 1 2 2n 2 2n?1 1? 2

Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) . n 2 n 2 2

? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { S n ? ?Tn } 是等差数列.
n

(5) S ? 2 ? 22 ? 222 ? n

? 22
n

2

例 13(2007 年陕西卷理) 已知各项全不为零的数列 {ak } 的前 k 项和为 Sk, 且 Sk ? (Ⅰ)求数列 {ak } 的通项公式; (II)对任意给定的正整数 n (n ? 2) ,数列 {bk } 满足 bk ?1 ? k ? n (k ? 1,2,?, n ? 1), bk a k ?1
b1 ? 1.求b1 ? b2 ? ? ? bn .

1 a k a k ?1 ( k ?N*) , 其中 a1 ? 1. 2

思路启迪:注意利用 bk ?

bk bk ?1 ? ? bk ?1 bk ?2

?

b2 ? b1 解决问题. b1

解: (Ⅰ)当 k ? 1 ,由 a1 ? S1 ?

1 a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2

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当 k ≥ 2 时,由 ak ? S k ? S k ?1 ?

1 1 ak ak ?1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) ? 2ak . 2 2

因为 ak ? 0 ,所以 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 .从而 a2m?1 ? 1 ? (m ? 1) ? 2 ? 2m ? 1.

a2m ? 2 ? (m ? 1) ? 2 ? 2m , m ? N* .故 ak ? k (k ? N* ) .
(Ⅱ)因为 ak ? k ,所以

bk ?1 n?k n?k . ?? ?? bk ak ?1 k ?1

所以 bk ?

bk bk ?1 b (n ? k ? 1)(n ? k ? 2) ? ? ? ? 2 ? b1 ? (?1) k ?1 ?1 bk ?1 bk ?2 b1 k ? (k ? 1) ? ? ? 2 ? 1

1 k ? (?1) k ?1 ? C n (k ? 1,2, ? , n). n 1 1 2 3 n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? (?1) n ?1 Cn 故 b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? ? ? n? 1 1 0 1 2 n ? {1 ? [C n ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n ? C n ]} ? . n n
考点 8 数列综合应用与创新问题 数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点, 全面考察数学知识的掌握和运用的情 况,以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等,涉及的数学思想方 法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。 例 14. (2006 年湖南卷)在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2?Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi >Pj(即前面某数大于后面某数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数 称为该排列的逆序数. 记排列 (n ? 1)n(n ? 1) ? 321的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 , 排列 321 的逆序数 a 3 ? 6 .求 a4、a5,并写出 an 的表达式; 命题目的:考查排列、数列知识.
n(n ? 1) . 2 例 15 . 设 f ( x) 是 定 义 在 ( 0 ,?? )上 的 单 调 可 导 函 数 . 已 知 对 于 任 意 正 数

过程导引:由已知得 a 4 ? 10, a 5 ? 15 , a n ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ?

x ,都有

2 1 ,且 f (1) ? a ? 0 . f [ f ( x) ? ] ? x f ( x)

(Ⅰ)求 f (a ? 2) ,并求 a 的值; (Ⅱ)令 an ? 1 , n ? N ? ,证明数列 ?an ? 是等差数列; f ( n) (Ⅲ)设 kn 是曲线 y ? f ( x) 在点 (n2 , f (n2 )) 处的切线的斜率( n ? N ? ) ,数列 {kn } 的前 n 项和 为 Sn ,求证: ?4 ? Sn ? ?2 . 思路启迪:根据已知条件求出函数 f ? x ? 的关系式,求出 a n 的递推关系式然后可求解题中要 求. 解答过程: (Ⅰ)取 x ? 1, f (a ? 2) ? 1 ;
a

再取 x ? a ? 2 ? f ( 1 ? 2 ) ? a ? f (1), 1 ? 2 ? 1 ,
a a?2 a a?2

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则 a ? 2 ,或-1(舍去). (Ⅱ)设 f ( x) ? t ,则 f (t ? 2 ) ? 1 ,再令 x t , 2 1 2 1 2 x ?t ? ? f ( ? ) ? t ? f ( x),? ? ?x x t t?2 t t?2 x x 即 xt 2 ? t ? 2 ? 0,? t ? 2 , 或 ? 1 ,又 f (1) ? a ? 0 ,
x x x

则 f ( x) ? t ? 2 , an ? 1 ? n ,
x

f ( n)

2

由 an ?1 ? an ? 1 , n ? N ? ,所以 ?an ? 是等差数列.
2

(3)由(2)得 f ( x) ? 2 ,? f ?( x) ? ? 22 , 则 kn ? f ?(n 2 ) ? ? 24 ,
x x n

所以 Sn ? ?2(1 ? 1 ? 1 ? 4 4
2 3

?

1 ) ? ?2 ; n4

又当 n ? 2 时, kn ? ? 2 ? ? 2 ? ? 4 2
n n

2 1 1 ? ?2( ? ), (n ? 1)n n ?1 n

则 Sn ? ?2[1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ?
2 2 3

?(

1 1 1 ? )] ? ?2[1 ? (1 ? )] ? ?4 , n ?1 n n

故 ?4 ? Sn ? ?2 . 例 16. (2007 年广东卷理)
? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) ,f '( x) 是 f(x)的导数; 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 , 设 a1 ? 1 ,
an ?1 ? an ? f ( an ) (n=1,2,??) f '(an )

(1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 a n >a; a ?? (3)记 bn ? ln n (n=1,2,??) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
an ? a

思路启迪: (1)注意应用根与系数关系求 ? , ? 的值; (2)注意先求 f '( x) ; (3)注意利用 ? , ? 的关系. 解: (1)∵ f ( x) ? x2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , ∴? ?
?1 ? 5 ?1 ? 5 . ,? ? 2 2
1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 4 4 ? an ? ? an ? 2 2an ? 1 2an ? 1

(2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1

5 1 1 5 ?1 5 ?1 = (2an ? 1) ? 4 ? ,∵ a1 ? 1 ,∴由基本不等式可知 a2 ? ? 0(当且仅当 a1 ? 4 2an ? 1 2 2 2

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时取等号) ,∴ a2 ?
5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,??, an ? . ? 0 同,样 a3 ? ? ? (n=1,2,??) 2 2 2 (a ? ? )(an ? ? ) an ? ? ? (an ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ? ? , (3) an ?1 ? ? ? an ? ? ? n 2an ? 1 2an ? 1
(an ? ? ) 2 (a ? ? )2 1? ? 3?5 n ? l n 2l ? n , 同理 an ?1 ? ? ? n ,bn ?1 ? 2bn , 又 b1 ? l 2an ? 1 2an ? 1 1?? 3? 5 3 ? 5 2

an ?1 ? ? ?

3? 5 . 2 【专题训练与高考预测】 Sn ? 2(2n ? 1)ln

一.选择题 1.已知{a n }是等比数列, 且 a n >0, a 2 a 4 +2 a 3 a 5 +a 4 a 6 =25, 那么 a 3 + a 5 的值等于 ( A.5 B.10 C.15. 2.在等差数列{a n }中,已知 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 20,那么 a 3 等于( A.4 B.5 C.6 D7.
S5 32
n ??



D.20 ) )

3.等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 S10 ? 31 ,则 lim Sn 等于(
A. 2 3 B.? 2 3

C.2

D.-2

4.已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,?,n,?时,其抛物线在 x 轴上截得 的线段长依次为 d1,d2,?,dn,?,则 lim (d1+d2+?+dn)的值是(
n ??

)

A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题 5.已知 a,b,a+b 成等差数列, a,b,ab 成等比数列, 且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值范围是_________. 6.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项为 _________. 7.设 zn=( 1 ? i )n, (n∈N*), 记 Sn=|z2-z1|+|z3-z2|+?+|zn+1-zn|, 则 lim Sn=_________.
2
n ??

8.作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再 作内切圆,如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________. 9.从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,再用水加满;这样倒 了 n 次,则容器中有纯酒精_________升. 10.据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议 《政府工作报告》 “2001 年国内生产总值达到 95933 : 亿元,比上年增长 7.3%, ”如果“十·五”期间(2001 年~2005 年)每年的国内生产总值都按 此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元. 三、解答题 11.已知:在等比数列{a n }中,S n = a 1 + a 2 + a 3 +?+ a n ,若 S 10 =5,S 20 =15。求:S 30 的 值. 12.项数为奇数的等差数列{a n }中,奇数项之和为 80,偶数项之和为 75,求此数列的中间项 和项数. 13.数列{a n }中,前 m 项(m 为奇数)的和为 77,其中偶数项之和为 33,且 a 1 -a m =18, 求这个数列的通项公式. 14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0.

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(1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1、S2、?、S12 中哪一个值最大,并说明理由. 15.已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,由{an}中的部分项组成的数列 a b1 ,a b2 ,?,a b n ,?为等比数列,其中 b1=1,b2=5,b3=17. (1)求数列{bn}的通项公式;
n Tn (2)记 Tn=C 1 b +C 2 b +C 3 n b3+?+C n bn,求 lim n 1 n 2
n ??

4n ? bn

.

16.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的 前 n 项和 S10 及 T10. 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=(m+1)-man.对任意正整数 n 都成立,其中 m 为常数, 且 m<-1. (1)求证:{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比 q=f(m),数列{bn}满足:b1=

1 a1,bn=f(bn-1)(n≥2,n∈N*).试问当 m 3

为何值时, lim (bn ? lg a n ) ? lim 3(b1b2 ? b2 b3 ? ? ? bn ?1bn ) 成立?
n ?? n ??

18.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145. (1)求数列{bn}的通项 bn; (2)设数列{an}的通项 an=loga(1+ 1 )(其中 a>0 且 a≠1),记 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 试
bn

比较 Sn 与

1 logabn+1 的大小,并证明你的结论. 3 b 元, n

19.某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案如下:首 先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小, 由 1 到 n 排序, 第 1 位职工得奖金

然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工, 按此方法将奖金逐一发给每位职工, 并将最后剩余部 分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和 b 表示 ak(不必 证明); (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,?,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b).
n ??

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【参考答案】 一.选择题 1.解法一:因为{a n }是等比数列,设{a n }的公比为 q,由 a n >0 知 q>0, 因 a 2 a 4 +2 a 3 a 5 + a 4 a 6 =25, 所以,a 1 q a 1 q 3 +2a 1 q 2 a 1 q 4 +a 1 q 3 a 1 q 5 =25, 即[a 1 q 2 (1+ q 2 )] 2 =25,? a 1 q 2 (1+ q 2 )=5, 得 a 3 + a 5 = a 1 q 2 +a 1 q 4 = a 1 q 2 (1+ q 2 )=5 . 故选择答案 A .
2 2 解法二:因{a n }是等比数列,? a 2 a 4 = a 3 ,a 4 a 6 = a 5 , 2 2 +2 a 3 a 5 + a 5 =25, 即(a 3 + a 5 ) 2 =25. ? 原式可化为 a 3

因 a n >0 , ? a 3 + a 5 = 5 , 故选择答案 A 2. 解法一:因为{a n }是等差数列,设其首项为 a 1 ,公差为 d, 由已知 a 1 + a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 20 有 5 a 1 +10d = 20, ? a 1 +2d = 4, 即 a 3 = 4.故选择答案 A. 解法二:因{a n }是等差数列,所以 a 1 + a 5 = a 2 + a 4 =2 a 3 , 由已知 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 20 得 5 a 3 = 20,? a 3 = 4. 故选择答案 A 3.解析:利用等比数列和的性质.依题意, S10 ? 31 ,而 a1=-1,故 q≠1,
S5 32

∴ S10 ? S5 ? 31 ? 32 ? ? 1 ,根据等比数列性质知 S5,S10-S5,S15-S10,?,也成等比数列,且它的
S5 32 32

1 公比为 q5,∴q5=- 1 ,即 q=- .
32

2

∴ lim S n ? a1 ? ? 2 .
n ??

1? q

3

故选择答案 B. 4.解析:当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1 由|x1-x2|= ? ,得 dn=
a 1 , n(n ? 1)

∴d1+d2+?+dn

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1? ? ? ??? ? ? 1? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1 n,?1 1 ? lim (d1 ? d 2 ? ? ? d n ) ? lim (1 ? ) ? 1. n ?? n ?? n ?1 ?

故选择答案 A. 二、5.解析:解出 a、b,解对数不等式即可. 故填答案:(-∞,8) 6.解析:利用 S 奇/S 偶= n ? 1 得解.
n

故填答案:第 11 项 a11=29.
1 ? i n?1 1 ? i n 2 7.解析 : 设cn ?| zn?1 ? zn |?| ( ) ?( ) |? ( ) n?1, 2 2 2
1 2 2 [1 ? ( ) n ] 1 ? ( ) n 2 2 . ? Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2 ? 2 2? 2 1? 2

? lim Sn ?
n ??

1 2? 2 2 ? ? 1? . 2 2 2? 2
2

故填答案:1+ 2 . 8.解析:由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an},可得 an= a ,正三角形的内切圆构
2 n?1

成等比数列{rn},可得 rn= 3 1 a,
6 2 n?1

∴这些圆的周长之和 c= lim 2π (r1+r2+?+rn)= 3 3? a2,
n ??

2

面积之和 S= lim π (n2+r22+?+rn2)= ? a2
n ??

9

故填答案:周长之和 3 3 π a,面积之和 ? a2
2

9

9.解析:第一次容器中有纯酒精 a-b 即

a(1- b a
a

)升,第二次有纯酒精

a(1- b a

b a(1 ? ) a b, )- a

即 a(1- b )2 升,故第 n 次有纯酒精 a(1- b )n 升.
a

故填答案:a(1- b )n
a

10.解析:从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项,以 7.3%为公比的 等比数列,∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 故填答案:120000. 三、11. 解:因为 {a n }为等比数列, 所以 S 10 ,S 20 -S 10 ,S 30 -S 20 是等比数列. 即 5,15-5,S 30 -15 是等比数列,得 5(S 30 -15)=10 2 ,? S 30 =35.

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12.解:设等差数列{a n }共有 2n-1 项,S 1 =80,S 2 =75,则
S1 n 80 16 = = = , S 2 n ? 1 75 15

得 n=16,所以 2n-1=2×16-1=31 即此数列共有 31 项. 又由{a n }的项数为 2n-1,知其中间项是 a n ,故 a n = S 1 -S 2 =80-75=5, ? a 16 =5. 13. 解: 设等差数列{a n }中, 前 m 项的和为 S m , 其中奇数项之和为 S 1 , 偶数项之和为 S 2 , 由题意得 S m =77,S 2 =33,S 1 = S m -S 2 = 44, 令 m=2n-1 则
S1 n 4 = = ,得 n =4, S 2 n ?1 3

? m=7, ? a 4 =S 1 -S 2 =11,又 a 1 -a 7 =18,得首项为 20,公差为-3,

故通项公式为 a n =-3 n+23.
? ?a3 ? a1 ? 2d ? 12, 14.(1)解:依题意有: ? 12 ? 11 ? d ? 0, ?S12 ? 12a1 ? 2 ? 13? 12 ? S13 ? 13a1 ? d ? 0. ? 2 ?

解之得公差 d 的取值范围为- 24 <d<-3.
7

(2)解法一:由 d<0 可知 a1>a2>a3>?>a12>a13,因此,在 S1,S2,?,S12 中 Sk 为最大值
a3 ? (k ? 3)d ? 0 的条件为:ak≥0 且 ak+1<0,即 ? ? ?a3 ? (k ? 2)d ? 0

kd ? 3d ? 12 ,∵d<0,∴2- 12 <k≤3- 12 . ∵a3=12,∴ ? ? ?kd ? 2d ? 12

d

d

∵- 24 <d<-3,∴ 7 <- 12 <4,得 5.5<k<7.
7 2

d

因为 k 是正整数,所以 k=6,即在 S1,S2,?,S12 中,S6 最大. 解法二:由 d<0 得 a1>a2>?>a12>a13,因此,若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥0, 且 ak+1<0,则 Sk 是 S1,S2,?,S12 中的最大值.由等差数列性质得,当 m、n、p、q∈N*,且 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.所以有:2a7=a1+a13= 2 S13<0,∴a7<0,a7+a6=a1+a12= 1 S12>0,∴a6
13 6

≥-a7>0,故在 S1,S2,?,S12 中 S6 最大. 解法三:依题意得: Sn ? na1 ? n (n ? 1)d ? n(12 ? 2d ) ? d (n2 ? n)
2 2 d 1 24 d 24 1 24 ? [n ? (5 ? )]2 ? (5 ? ) 2 ,? d ? 0,?[n ? (5 ? )]2 最小时,Sn 最大; 2 2 d 8 d 2 d

∵- 24 <d<-3,∴6< 1 (5- 24 )<6.5.从而,在正整数中,
7 2 d

当 n=6 时, [n- 1 (5- 24 )]2 最小,所以 S6 最大.
2 d

15.解:(1)由题意知 a5 =a1·a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d) ? a1d=2d2,
2

∵d≠0,∴a1=2d,数列{ abn }的公比 q= a5 ? a1 ? 4d =3,
a1 a1

∴ abn =a1·3n

-1



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又 abn =a1+(bn-1)d= bn ? 1 a1
2




由①②得 a1·3n 1= bn ? 1 ·a1.∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n 1-1.


2

0 1 n 2 n 1 2 n (2)Tn=C 1 n b1+C n b2+ ? +C n bn=C n (2 · 3 - 1)+C n · (2 · 3 - 1)+ ? +C n (2 · 3

-1



n 2 2 n 2 1)= 2 (C 1 32+?+C n 3n)-(C 1 -(2n-1)= 2 · 4n-2n+ 1 , n +C n · n · n +C n +?+C n )= [(1+3) -1]

3

3

3

3

2 n 1 2 1 n 1 1 n ? 4 ? 2n ? ?( ) ? ( ) Tn 2 3 3 2 3 4 ? lim n ? lim n ? lim 3 ? . n ?1 n?? 4 ? bn n?? 4 ? 2 ? 3 ? 1 n?? 1 ? 1 ? ( 3 ) n?1 ? ( 1 ) n 3 2 4 4

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