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师大附中2011届高三第五次月考试卷


2011 届高三第五 湖南师大附中 2011 届高三第五次月考试卷



文科) 学(文科)

命题:吴锦坤 廖民先 贺仁亮 纪爱萍 张天平 刘继承 审题:朱海棠 杨希 本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共 21 个小题,考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分. 选择题: 个小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 合题目要求的. 1.已知复数 z = a + i ( a > 0, i 是虚单位),若 | z |= A. ?

1 3

B. ? i
2

1 3

1 5 ,则 的虛部是 z 1 C. ? i 5

( D. ?



1 5
( )

2.已知命题 p: ?x ∈ R, x ? x + A. ?x ∈ R, x ? x +
2

1 <0 4 1 2 C. ?x ∈ R, x ? x + < 0 4

1 ≥ 0 ,则命题 p 的否定 ?p 是 4 1 2 B. ?x ∈ R, x ? x + ≤ 0 4 1 2 D. ?x ∈ R, x ? x + ≥ 0 4
4 4 正视图 3 侧视图

3.某几何体的三视图如下,则该几何体的体积是 A. 12 B. 16 C. 48 D. 64





俯视图

x2 4.已知两定点 A(1,1),B(-1,-1),动点 P 满足 PA ? PB = ,则点 P 的轨迹是 ( 2
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 拋物线 (



5.在△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,AB=3,BC=2,AC= 7 ,则 sin∠ABD=



A.

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 3

6.从甲、乙两台机床生产的零件中各随机抽取 15 个进行检验,得某项指标的检验结果为: 甲:534,517,528,522,513,516,527,526,520,508,533,524,518,522,512 乙:512,520,523,516,530,510,518,521,528,532,507,516,524,526,514 画出上述数据的茎叶图: 甲 乙 8 50 7 8 7 6 3 2 51 0 2 4 6 6 8 8 7 6 4 2 2 0 52 0 1 3 4 6 8 4 3 53 0 2 则下列结论正确的是 ( A.甲、乙两台机床生产的零件的指标分布均不对称. B.甲、乙两台机床生产的零件的指标平均分在 510 左右. C.甲、乙两台机床生产的零件的指标众数分别是 520 和 516. D.甲、乙两台机床生产的零件的指标中位数分别是 522 和 520.
1



7.已知点 F 为抛物线 y2=-8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且 |AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为 ( ) A. 6 B.

2+4 2

C. 2 13
2

D.4+2 5
2

8.已知函数 f ( x ) 对任意自然数 x, y 均满足: f ( x + y ) = f ( x) + 2[ f ( y )] ,且 f (1) ≠ 0 ,则

f (2010) =
A.2010 B.2009 C. 1005 D. 1004





小题, 把答案填在题中横线上. 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中横线上 填空题: 9.不等式

x2 ? 2 x ? 3 ≥ x 的解集为 x ?1

.

10.阅读下面的流程图,若输入的数 a =10, b =32, c =70 则输出的数 a , b , c 的值分别 是 .

开始

输入 a、b、c

x=a

a=c

c=b

b=x

输出 a、b、c 结束

11.函数 f ( x ) = x + | x ? 2 | 的值域是

.

12.已知圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2 cos θ ,直线 l 的极坐标方程为 ρ cos θ ? 2 ρ sin θ + 7 = 0 ,则圆心 C 到直线 l 的距离是 .

?2 x + y ? 6 ≤ 0 ? 13.设不等式组 ? x + y ? 3 ≥ 0 表示的平面区域为 M,若函数 y = k ( x + 1) + 1 的图象经过区域 M,则实 ?y≤2 ?
数 k 的取值范围是 .

14.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, f (1) = 1 ,且对任意 x ∈ R 都有 f ( x + 4) = f ( x ) ,则

f (119) =

.

15.对于等差数列{ a n },有如下一个真命题: “若{ a n }是等差数列,且 a1 =0,s、t 是互不相等的正整数, 则 ( s ? 1) at ? (t ? 1)as = 0 ”.类比此命题,对于等比数列{ bn },有如下一个真命题: 若{ bn }是等比数列,且 b1 = 1 ,s、t 是互不相等的正整数,则 .

2

小题, 解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤。 三.解答题:本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤。 解答题: 16. ( 本 题 满 分 12 分 ) 设 锐 角 △ ABC 的 三 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 向 量 m = (1, sin A + 3 cos A) ,n = (sin A, (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a = 2 , c = 4 3 sin B ,且△ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围.

3 ) ,已知 m 与 n 共线. 2

17.(本题满分 12 分) 2009 年底,某商业集团根据相关评分标准,对所属 100 家商业连锁店进行了年度考核评估,并依据 考核评估得分(最低分 60 分,最高分 100 分)将这些连锁店分别评定为 A、B、C、D 四个类型,其考核 评估标准如下表: 评估得分 评定类型 [60,70) D [70,80) C [80,90) B [90,100] A

考核评估后,对各连锁店的评估分数进行统计分析,得其频率分布直方图如下: 频率 (Ⅰ)估计该商业集团各连锁店评估得分的中位数; 组距 (Ⅱ)假设该商业集团所有商业连锁店的评估得分互不相同, 将所有 A 类型连锁店按评估得分从高到低依次编号为 A1,A2,A3,…;所有 D 类型连 锁店按评估得分从高 到低依次编号为 D1,D2,D3,…,现从 A、D 两类型 连锁店中各随机抽取 1 家对各项评估指标进行比较分 析,记被抽取的两家连锁店分别为 Ai,Dj,求 i+j≥35 的概率. 0.040 0.025 0.020 0.015 O 60 70 80 90 100 分数

3

18.(本题满分 12 分) 如图,在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 ACD,BC=BD=5,AC=4,CD= 4 2 . (Ⅰ)求该四面体的体积; (Ⅱ)求二面角 A-BC-D 大小的正弦值. A

B

D

C

19.(本题满分 13 分) 某化工厂打算投入一条新的生产线生产某种化工产品,但需要经过环保部门审批同意后方可投入生 产.已知该生产线连续生产 n 个月的累积产量为 f ( n) =

1 n(n + 1)(2n ? 1) 吨,但如果月产量超过 96 吨, 2

就会给周边环境造成污染,环保部门将责令停产一段时间,再进入下一个生产周期. (Ⅰ)请你代表环保部门给该生产线拟定一个 最长的生产周期; (Ⅱ)按环保管理条例,该生产线每月需要缴纳 a 万元的环保费.已知这种化工产品每吨的售价为 0.6 万 元,第 n 个月的生产成本为 g ( n) = 最长的生产周期内每月都有盈利?

8 2 2 n ? n ? 1 万元.当环保费用 a 在什么范围内时,该生产线在 5 5

4

20.(本题满分 13 分)
2 2 已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,其渐近线与圆 x + y ? 10 x + 20 = 0 相切.

过点 P ( ?4, 0) 作斜率为

7 的直线 l ,交双曲线 左支于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,且满足 4

| PA | ? | PB |=| PC |2 .
(Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)设点 M 为双曲线上一动点,点 N 为圆 x + ( y ? 2) =
2 2

1 上一动点,求|MN|的取值范围. 4

21.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) =

1 3 a +1 2 x ? x + bx + a ( a, b ∈ R ) ,其导函数 f ′( x) 的图象过原点. 3 2

(Ⅰ)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 的图象在 x = 3 处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x < 0 ,使得 f ′( x ) = ?9 ,求 a 的最大值; (Ⅲ)当 a > 0 时,确定函数 f ( x ) 的零点个数.

5

届高三第七次月考试卷数学(文科) 湖南师大附中 2010 届高三第七次月考试卷数学(文科)答案
个小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 合题目要求的. 合题目要求的. 1.【解析】由 | z |= 所以

5 ,得 a 2 + 1 = 5 ,即 a = ±2 .又 a > 0 ,则 z = 2 + i .
P

1 1 2?i 2 1 1 = = = ? i ,其虚部为 ? ,故选 D. z 2+i 5 5 5 5
C D

2. 【解析】全称命题的否定是特称命题,同时否定结论,故选 A. 3.【解析】该几何体在四棱锥 P-ABCD,其中底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,且 AD=4,AB=3,PA=4,

B A

1 如图. V = ? 4 ? 3 ? 4 = 16 ,故选 B. 3
4.【解析】设点 P(x,y),则 PA = (1 ? x, 1 ? y ) , PB = ( ?1 ? x, ? 1 ? y ) . 所以 PA ? PB = (1 ? x )( ?1 ? x ) + (1 ? y )( ?1 ? y ) = x 2 + y 2 ? 2 . 由已知 x + y ? 2 =
2 2

x2 x2 y 2 ,即 + = 1 ,所以点 P 的轨迹为椭圆,故选 B. 2 4 2 9+4?7 1 = ,则∠ABC=60°,从而∠ABD=30°, 2 ?3? 2 2

5.【解析】由余弦定理,得 cos ∠ABC = sin∠ABD=

1 ,故选 A. 2

6.解:甲、乙两台机床生产的零件的指标中位数按从小到大是第 8 个数,分别是 522 和 520,故选 D. 7.【解析】抛物线的准线方程为 x=2,因为|AF|=4,由抛物线定义可得,点 A 的横坐标为-2,取 点 A(-2,4).因为原点 O 关于准线的对称点为 B(4,0),则 |PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|= 2 13 ,故 选 C. 8.【解析】取 x=y=0,得 f(0)=0. 取 x=0,y=1,得 f(1)=f(0)+2[f(1)]2,即 f(1)=2[f(1)]2. 因为 f (1) ≠ 0 ,则 f (1) =

1 1 2 .取 x = n, y = 1 ,得 f (n + 1) = f (n) + 2[ f (1)] = f (n) + . 2 2

即 f (n + 1) ? f (n) =

1 n ,所以 f (n) = ,从而 f (2010) = 1005 ,故选 C. 2 2

小题, 把答案填在题中横线上. 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中横线上 填空题: 9.【解析】不等式化为

x2 ? 2 x ? 3 x+3 ? x ≥ 0 ,即 ≤ 0 ,所以 ?3 ≤ x < 1 . x ?1 x ?1

10.【解析】由图知,a=c=70,c=b=32,b=x=a=10. 11.【解析】因为当 x ∈ ( ?∞, 2] 时, f ( x ) = 2 ;当 x ∈ (2, +∞) 时, f ( x ) = 2 x ? 2 > 2 ,故 f ( x ) 的值域 是[2,+∞).
6

12.【解析】圆 C 的直角坐标方程是 x + y ? 2 x = 0 ,直线 l 的直角坐标方程是 x ? 2 y + 7 = 0 .
2 2

所以圆心 C(1,0)到直线 l 的距离 d =

8 8 5 = . 5 5
y

13.【解析】作可行域,如图.因为函数 y = k ( x + 1) + 1 的图象是过 点 P(-1,1),且斜率为 k 的直线 l,由图知,当直线 l 过点 A(1,2)时, k 取最大值

A P O B x

1 1 1 1 ,当直线 l 过点 B(3,0)时,k 取最小值 ? ,故 k ∈ [ ? , ] . 2 4 4 2

14.【解析】由 f ( x + 4) = f ( x ) 知, f ( x ) 是周期 为 4 的周期函数. 所以 f (119) = f (29 × 4 + 3) = f (3) = f (4 ? 1) = f ( ? 1) = f (1) = 1 .

15.【解析】设等比数列{ bn }的公比为 q,若 b1 =1,则

bt s ?1 (q t ?1 ) s ?1 = =1. bs t ?1 (q s ?1 )t ?1

小题, 解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤。 三.解答题:本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤。 解答题: 16.【解】 (Ⅰ)因为 m∥n,则 sin A(sin A + 3 cos A) =

3 3 2 ,即 sin A + 3 sin A cos A = .(2 分) 2 2
(5 分)

所以

1 ? cos 2 A 3 3 3 1 π + sin 2 A = ,即 sin 2 A ? cos 2 A = 1 ,即 sin(2 A ? ) = 1 . 2 2 2 2 2 6

A 是锐角,则 2 A ?

π
6

=

π
2

,所以 A =

π
3

.

(6 分)

(Ⅱ)因为 a = 2 , c = 4 3 sin B ,则

1 1 ac sin B = × 2 × 4 3 sin 2 B = 4 3 sin 2 B 2 2 1 ? cos 2 B = 4 3× = 2 3 ? 2 3 cos 2B . 2 1 由已知, 2 3 ? 2 3 cos 2 B < 3 ,即 cos 2 B > . 2 S△ ABC =
因为 B 是锐角,所以 0 < 2 B <

(8 分) (10 分)

). (12 分) 3 6 6 17.【解】 (Ⅰ)因为 0.015 ×10 = 0.15 , 0.04 × 10 = 0.4 ,在频率分布直方图中,中位数左边和右
(2 分) (4 分)

π

,即 0 < B <

π

,故角 B 的取值范围是 (0,

π

边的面积相等,所以中位数在区间[70,80)内. 设中位数为 70+x,则

x 0.5 ? 0.15 = ,解得 x=8.75. 10 0.4

估计该商业集团各连锁店评估得分的中位数是 78.75 分. (5 分) (Ⅱ)由直方图可知,A 类型连锁店的频数是 0.025×10×100=25,D 类型连锁店的频数是 0.015×10×100=15,所以该商业集团 A 类型连锁店共有 25 家,D 类型连锁店共有 15 家. 所以 i∈{1,2,3,…,25},j∈{1,2,3,…,15}. (7 分) 若 i+j≥35,则 20≤i≤25,j≤15. 当 i=20 时,j=15,有 1 种抽取方法;
7

当 i=21 时,j=14,15,有 2 种抽取方法; 当 i=22 时,j=13,14,15,有 3 种抽取方法; 当 i=23 时,j=12,13,14,15,有 4 种抽取方法; 当 i=24 时,j=11,12,13,14,15,有 5 种抽取方法; 当 i=25 时,j=10,11,12,13,1 4,15,有 6 种抽取方法. 记“i+j≥35”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件数为 1+2+3+4+5+6=21. 又从 A,D 两类型连锁店中各随机抽取 1 家的方法总数为 25×15=375. 所以 P ( A) =

(10 分)

21 7 7 = ,故 i+j≥35 的概率是 . 375 125 125

(12 分)

18.【解析】 (Ⅰ)因为 AB⊥平面 ACD,则 AB⊥AC,AB⊥AD. 又 BC=BD=5,则 Rt△BAC≌Rt△BAD. 所以 AD=AC=4,从而 AB=3. 因为 CD= 4 2 ,则△ACD 为直角三角形,AC⊥AD. 所以 VABCD=VB-ACD= (3 分) (4 分) (6 分)

1 1 1 S△ACD×AB= × ×4×4×3=8,故该四面体的体积为 8. 3 3 2

(Ⅱ)如图,作 AO⊥平面 BCD,垂足为 O,过点 O 作 OE⊥BC,垂足为 E, 连结 AE,易得 AE⊥BC,所以∠AEO 为二面角 A-BC-D 的平面角. A 在 Rt△BAC 中,AB=3,AC=4,BC=5,AE⊥BC,则 AE=

(8 分)

AB ? AC 12 = . BC 5

(9 分) B E O (10 分) (11 分) D

又 BC=BD=5,CD=4 2 ,则

1 C S?BCD = × 4 2 × 17 = 2 34 . 2 1 24 24 6 34 因为 VA-BCD=8,则 S△BCD×AO=8,所以 AO= = = . 3 S?BCD 2 34 17
6 34 AO 5 34 在 Rt△AOE 中,sin∠AEO= = 17 = . 12 AE 34 5 5 34 故二面角 A-BC-D 的正弦值为 . 34
19.【解】 (Ⅰ)设第 n 个月的产量为 an 吨,则 a1 = f (1) = 1 . 当 n ≥ 2 时, an = f ( n) ? f ( n ? 1) = 3n ? 2n .
2

(12 分) (1 分) (3 分) (4 分)

又 a1 = 1 满足上式,所以 an = 3n ? 2n( n ∈ N *) .
2

令 3n ? 2n ? 96 ≤ 0 ,得 ?
2

16 ≤ n ≤ 6 .又 n ∈ N ? ,则 n = 1, 2, 3, 4,5, 6 . 3
(6 分)

故最长生产周期是 6 个月.

8

3 8 2 2 1 4 2 n ? 1) ? a > 0 ,得 a < n 2 ? n + 1 . (8 分) 5 5 5 5 5 1 2 4 设 ? ( n) = n ? n + 1 ,据题意,当 n = 1, 2, 3, 4,5, 6 时, a < ? ( n) 恒成立,则 a < ? ( n) min . 5 5 1 2 4 1 1 1 2 (12 分) 因为 ? ( n) = n ? n + 1 = ( n ? 2) + ,则当 n=2 时, ? ( n) min = . 5 5 5 5 5 1 故当环保费用 a ∈ (0, ) 时,该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利. (13 分) 5
(Ⅱ)由 (3n ? 2n) ? ( n ? 20.【解】 (Ⅰ)设双曲线的渐近线方程为 y = kx ,因为渐近线与圆 ( x ? 5) + y = 5 相切,则
2 2

1 1 = 5 ,即 k = ± ,所以双曲线的渐近线方程为 y = ± x . 2 2 k +1
2

5k

(2 分)

设双曲线方程为 x 2 ? 4 y 2 = m ,将 y =

7 ( x + 4) 代入双曲线方程,整理得 4
(4 分) (5 分)

3 x 2 + 56 x + 112 + 4m = 0 .
所以 x A + xB = ?

56 112 + 4m , x A xB = . 3 3

因为 | PA | ? | PB |=| PC |2 ,点 P,A,B,C 共线,且点 P 在线段 AB 上,则

( xP ? xA )( xB ? xP ) = ( xP ? xC ) 2 ,即 ( xB + 4)(?4 ? x A ) = 16 .
所以 4( x A + xB ) + x A xB + 32 = 0 . 于是 4 ? ( ? (7 分) (8 分)

56 112 + 4m )+ + 32 = 0 ,解得 m = 4 . 3 3
x2 ? y2 = 1. 4
2

故双曲线方程是 x 2 ? 4 y 2 = 4 ,即
2

(9 分)

(Ⅱ)设点 M(x,y),圆 x + ( y ? 2) =

1 的圆心为 D,则 x 2 ? 4 y 2 = 4 ,点 D(0,2). 4 2 2 36 36 2 2 2 2 2 2 所以 | MD | = x + ( y ? 2) = 4 y + 4 + ( y ? 2) = 5 y ? 4 y + 8 = 5( y ? ) + ≥ . (11 分) 5 5 5
所以 | MD |≥

6 5 1 12 5 ? 5 ,从而 | MN |≥| MD | ? ≥ . 5 2 10 12 5 ? 5 , +∞) . 10
(13 分)

故|MN|的取值范围是 [

21.【解】(Ⅰ)因为 f ′( x ) = x 2 ? ( a + 1) x + b ,由已知, f ′(0) = 0 ,则 b = 0 . 所以 f ′( x ) = x ( x ? a ? 1) . (2 分)

9

当 a = 1 时, f ( x ) =

1 3 x ? x 2 + 1 , f ′( x) = x( x ? 2) ,则 f (3) = 1 , f ′(3) = 3 . 3

(3 分) (4 分) (5 分)

故函数 f ( x ) 的图象在 x = 3 处的切线方程为 y ? 1 = 3( x ? 3) ,即 3 x ? y ? 8 = 0 . (Ⅱ) 由 f ′( x ) = ?9 ,得 x ( x ? a ? 1) = ?9 . 当 x < 0 时, ? a ? 1 = ? x ?

9 9 9 = (? x) + (? ) ≥ 2 (? x) ? (? ) = 6 ,所以 a ≤ ?7 . x x x

(7 分) (8 分)

当且仅当 x = ?3 时, a = ?7. 故 a 的最大值为 ?7 . (Ⅲ) 当 a > 0 时, x, f ′( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ′(x) f(x)

(-∞,0) + ↗

0 0 极大值

(-∞,a+1) - ↘

a+1 0 极小值

(a+1,+∞) + ↗

(10 分)

因为 f ( x ) 的极大值 f (0) = a > 0 ,

1 1 1 1 (11 分) f ( x) 的极小值 f (a + 1) = a ? (a + 1)3 = ? [a 3 + 3(a ? ) 2 + ] < 0 , 6 6 2 4 1 2 3 3 14 因为 f ( x ) = x [ x ? (a + 1)] + a ,则 f ( ( a + 1)) = a > 0 .又 f ( ?2) = ? a ? < 0 . (12 分) 3 2 2 3 3 所以函数 f ( x ) 在区间 (?2, 0), (0, a + 1), ( a + 1, (a + 1)) 内各有一个零点. 2 故函数 f ( x ) 共有三个零点. (13 分)

10


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