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2018版高中数学人教B版选修1-1学案:第二单元 2.2.2 双曲线的几何性质 Word版含答案

2.2.2 学习目标 双曲线的几何性质 1.了解双曲线的几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双 曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质. 知识点一 双曲线的几何性质 类比椭圆的几何性质,结合图象得到双曲线的几何性质如下表: x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) 标准方程 图形 范围 对称性 性质 顶点坐标 渐近线 离心率 b y=± x a c e= ,e∈(1,+∞) a a y=± x b 对称轴:________ 对称中心:________ 对称轴:________ 对称中心:________ 知识点二 双曲线的离心率 思考 1 如何求双曲线的渐近线方程? 思考 2 椭圆中,椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,在双曲线中,双曲线的“张口”大 小是图象的一个重要特征,怎样描述双曲线的“张口”大小呢? 梳理 双曲线的半焦距 c 与实半轴 a 的比叫做双曲线的 越大,双曲线的开口________. ,其取值范围是________.e 类型一 已知双曲线的标准方程求其简单性质 例 1 求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方 程 反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定 a,b 的值. (3)由 c2=a2+b2 求出 c 值,从而写出双曲线的几何性质. 跟踪训练 1 求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方 程. 类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 (3)求与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程. 反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤:①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴; ②设双曲线的标准方程;③根据已知条件或几何性质列方程,求待定系数;④求出 a,b,写 出方程. x2 y2 x2 y2 (2)①与双曲线 2- 2=1 共焦点的双曲线方程可设为 2 - 2 =1(λ≠0,-b2<λ<a2). a b a -λ b +λ x2 y2 x2 y2 ②与双曲线 2- 2=1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0). a b a b ③渐近线为 ax± by=0 的双曲线方程可设为 a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 跟踪训练 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 ; 5 (2)双曲线过点(3,9 2),离心率 e= 10 ; 3 1 (3)渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3). 2 类型三 与双曲线有关的离心率问题 例 3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率. 3 (1)双曲线的渐近线方程为 y=± x; 2 x2 y2 (2)双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离 a b 为 3 c. 4 反思与感悟 求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到 a,b,c 的关系式,再根据 c2=a2 c b c b +b2,直接求 a,c 的值.而在解题时常把 或 视为整体,把关系式转化为关于 或 的方程, a a a a 解方程求之,从而得到离心率的值.在本题的(2)中,要注意条件 0<a<b 对离心率的限制,以 保证题目结果的准确性. x2 y2 跟踪训练 3 已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x a b 轴的双曲线的弦,如果∠PF2Q=90° ,求双曲线的离心率. 类型四 直线与双曲线的位置关系 例 4 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1. (1)如果直线与双曲线有两个公共点,求 a 的取值范围; (2)如果直线与双曲线只有一个公共点,求 a 的取值范围; (3)如果直线与双曲线没有公共点,求 a 的取值范围. 反思与感悟 直线与双曲线的位置关系问题的求解要注意常用方法的应用,即将直线方程代 入双曲线的标准方程,得到一元二次方程,这个方程的根就是直线与双曲线交点的横 (纵)坐 标.利用根与系数的关系可以解决有关弦长、弦中点、轨迹等问题. (1)直线与双曲线的位置的判断方法 直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解,有时也要结合图形进行求解. y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y 消去 y, 2- 2=1, ? ?a b 得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0.① 当 b2-a2k2=0 时,①式为一次方程,仅有一解,此时直线与双曲线的渐近线平行,与双曲线 有一个公共点,相交; 当 b2-a2k2≠0 时, 若 Δ>0,直线与双曲线有两个公共点,相交; 若 Δ=0,直线与双曲线有一个公共点,相切; 若 Δ<0,直线与双曲线没有公共点,相离. (2)对于弦长的问题,通常结合两点间的距离公式或弦长公式求解. x2 跟踪训练 4 设双曲线 C: 2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于不同的两点 A,B,求双曲 a 线 C 的离心率 e 的取值范围. 1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ) A.2 C.4 2 2 B.2 2 D.4 2 ) x y 2.设双曲线 + =1 的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为( a 9 A.-4 C.2 B.-3 D.1 x2 y2 3.已知双曲线 2- =1(a>0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于( a 5 3 4 A

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