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2018版高中数学人教B版选修1-1学案:第二单元 2.2.2 双曲线的几何性质 Word版含答案


2.2.2 学习目标 双曲线的几何性质 1.了解双曲线的几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双 曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质. 知识点一 双曲线的几何性质 类比椭圆的几何性质,结合图象得到双曲线的几何性质如下表: x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) 标准方程 图形 范围 对称性 性质 顶点坐标 渐近线 离心率 b y=± x a c e= ,e∈(1,+∞) a a y=± x b 对称轴:________ 对称中心:________ 对称轴:________ 对称中心:________ 知识点二 双曲线的离心率 思考 1 如何求双曲线的渐近线方程? 思考 2 椭圆中,椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,在双曲线中,双曲线的“张口”大 小是图象的一个重要特征,怎样描述双曲线的“张口”大小呢? 梳理 双曲线的半焦距 c 与实半轴 a 的比叫做双曲线的 越大,双曲线的开口________. ,其取值范围是________.e 类型一 已知双曲线的标准方程求其简单性质 例 1 求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方 程 反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定 a,b 的值. (3)由 c2=a2+b2 求出 c 值,从而写出双曲线的几何性质. 跟踪训练 1 求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方 程. 类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 (3)求与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程. 反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤:①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴; ②设双曲线的标准方程;③根据已知条件或几何性质列方程,求待定系数;④求出 a,b,写 出方程. x2 y2 x2 y2 (2)①与双曲线 2- 2=1 共焦点的双曲线方程可设为 2 - 2 =1(λ≠0,-b2<λ<a2). a b a -λ b +λ x2 y2 x2 y2 ②与双曲线 2- 2=1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0). a b a b ③渐近线为 ax± by=0 的双曲线方程可设为 a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 跟踪训练 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 ; 5 (2)双曲线过点(3,9 2),离心率 e= 10 ; 3 1 (3)渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3). 2 类型三 与双曲线有关的离心率问题 例 3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率. 3 (1)双曲线的渐近线方程为 y=± x; 2 x2 y2 (2)双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离 a b 为 3 c. 4 反思与感悟 求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到 a,b,c 的关系式,再根据 c2=a2 c b c b +b2,直接求 a,c 的值.而在解题时常把 或 视为整体,把

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