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4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式


4.3.1空间直角坐标系
4.3.2空间两点间的距离

一、复习:
我们知道,数轴Ox上的点M,可用与它对应的实 数x表示;直角坐标平面上的点M可以用一对有序实 数(x,y)表示. 当建立空间直角坐标系后,空间中的点可用有 序实数组(x,y,z)表示.

如何确定空中飞行的飞机的位置?

二、新课:
1.空间直角坐标系的定义

以单位正方体 OABC ? D ?A ? B ?C ? 的顶点O为原点,分别以射线 OA,OC,O D ? 的方向 为正方 向,以线段OA,OC,O D ? 的 长为单位长,建立三条数轴: x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一 x 个空间直角坐标系 O ? xyz

z D' C' A' O C y A B B'

O为坐标原点, x轴, y轴, z轴叫坐标轴,通过每两 个坐标轴的平面叫坐标平面.

(1)空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示? (2)给定有序实数组( 1,2,3),如何确定它在 空间直角坐标系中的位置? 右手直角坐标系: 在空间直角坐标系 中,让右手拇指指 向x轴的正方向,食 指指向y轴的正方 向,如果中指指向z 轴的正方向,则称 这个坐标系为右手 直角坐标系.

z D'

C'
A' B'

O
C y x A B

2.空间直角坐标系上点M的坐标: z 有序实数组(x,y,z) 叫做点M在此空间直角 坐标系中的坐标,记 R 作M(x,y,z)其中x叫 做点M的横坐标,y叫 做点M的纵坐标,z叫做 点M的竖坐标. O P x

M
Q y

点M

(x,y,z)

z D' C' A' O x A B'

(1)坐标平面内的点 xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0

xoz平面上的点纵坐标为0 C y (2)坐标轴上的点 B x轴上的点纵坐标, 竖坐标均为0

y轴上的点横坐标, 竖坐标均为0 z轴上的点横坐标, 纵坐标均为0

例1、如下图,在长方体OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3, |OC|=4,|OD'|=2,写出D',C,A',B'四点的坐标. z 答 : D ? ( 0 , 0 , 2 ), C ( 0 , 4 , 0 ),
A ? ( 3 , 0 , 2 ), B ? ( 3 , 4 , 2 )
D' A' B' C'

参见书:P135 例1 (略)

A x

O B

C

y

例2、结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶 1 胞示意图(可看成是八个棱长为 2 的小正方体堆 积成的正方体),其中红色点代表钠原子,黑点 代表氯原子,如图:建立空间直角坐标系 O ? xyz 后,试写出全部钠原子所在位置的坐标。
下层五个原子的坐标 ( 0 , 0 , 0 ), (1, 0 , 0 ), (1,1, 0 ), 1 1 ( 0 ,1, 0 ), ( , , 0 ) 2 2 :
z

参见书:P135 例2 (略)
x

y

例3、点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点, 写出满足下列条件的点的坐标
(1)与点M关于x轴对称的点 (x,-y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点 (-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点 (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点 (-x,-y,-z) (5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z) (6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z) (7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)

课堂练习:P136练习1,2,3 练习1、在空间直角坐标系中标出下列各点: A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4) B A z D

5

4 2 C D` 3 y

O
1 x

练习2、如下图,在长方体OABC-D'A'B'C'中, |OA|=3,|OC|=4,|OD'|=3,A'C'于B'D'相交于点P. 分别写出点C,B',P的坐标. z
答 : C (0, 4, 0 ), B ? (3, 4, 3), P( 3 2

D` A`

P
B`

C`

, 2, 3)

A

O

P`
B

C

y

x

练习3、如图,棱长为a的正方体OABC-D'A'B'C'中,对 角线OB'于BD'相交于点Q.顶点O为坐标原点,OA,OC分 别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
a a a 答 :Q( , , ) 2 2 2

z

D`
A` B`

C`

Q
O A x C

Q`
B

y

4.3.2空间中两点的距离公式

1.在空间直角坐标系中,任意一点P(x,y,z)到原点 的距离: OP |? x 2 ? y 2 ? z 2 | z

P(x,y,z)
O
y

P`(x,y,0)
x

z

P(x,y,z)
o

A

y B(x,y,0)

OP ?

x ? y ?z
2 2

2

x

思考1: 若|OP|是定长r,那么x2+y2+z2=r2表示什么图形? 答:表示以(0,0,0)为球心的球面

思考2:类比平面两点间的距离公式的推导,你能猜想 一下空间两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离 公式吗? 因M,N的坐标为M(x1,y1,0), N(x2,y2,0)
| MN |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2 2

z
P2
2

| P1 P2 |?

| P1 H | ? | HP 2 | ?
2 2 2 2

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? ( z 1 ? z 2 )

P1

o
M1 N1 M

M2 H N2

y

x

N

2.在空间直角坐标系中,任意两点P1(x1,y1,z1)和 P2(x2,y2,z2)间的距离:
| P1 P2 |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? ( z 1 ? z 2 )
2 2 2

z

P2(x2,y2,z2) P1(x1,y1,z1) H
O y

M

N

x

课堂练习:P138练习1,2,3,4

课堂练习:P138练习1,2,3,4 练习1、在空间直角坐标系中,求点A、B的中点, 并求出它们之间的距离: (1)A(2,3,5) B(3,1,4) ( 1 ) : 6 (2)A(6,0,1) B(3,5,7) ( 2 ) : 7 0
练习2、在Z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等。 答 : M (0, 0, ? 3 ) 练习3、求证:以A(10,-1,6),B(4,1,9),C(2,4,3)三点 为顶点的三角形是等腰三角形。
由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 : | A B |? 7 , | B C |? 7 , | A C |? 9 8 ,? 7 ? 7 ? 9 8 , 且 | A B |? | B C |

? ?ABC是 等 腰 三 角 形

练习4、如图,正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, |AN|=2|CN|,|BM|=2|MC'|,求MN的长.
答 :可得M ( a 2a N( , , 0) 3 3 ? | M N |? 5a 3 a 3 , a, 2a 3

z
),

D`
A` O

C`
B` M C

A x

N
B

y

小 结 1、空间直角坐标系:
O为坐标原点, x轴, y轴, z轴叫坐标轴, 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面.

2、空间直角坐标系中点和坐标的关系

点M
| P1 P2 |?

(x,y,z)
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? ( z 1 ? z 2 )
2 2 2

3、空间两点间的距离公式

4、思想方法:类比、化归

作业:
必做作业:试卷:
(选择题和填空题也要有说明理由或主要的步骤)


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