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求递推数列的通项公式的九种方法精编版


求递推数列的通项公式的九种方法
求递推数列通项公式是数列这一章节的重难点, 不仅是高考的热点题型, 而且也对培养 学生的逻辑思维能力有很大的帮助, 同时也可以考查学生对知识的探索能力, 求递推数列的 通项公式一般是将递推公式变形, 推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是 一种特殊数列, 把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列, 从而将问 题简化。 一.直接用公式(直接构成等差与等比数列)

(1)a1 ? 5, an?1 ? an ? 3,(2)a1 ? 3, an?1 ? 2an

二. 利用 Sn和n, an的关系求an 1. 已知数列的前 n 项和 Sn ? n ?1, 求?an ?的通项公式
2

2. 已知数列的前 n 项和 Sn ? 3 ? 2an , 求?an ?的通项公式

三迭加法与迭乘法( a n ? a n ?1 ? f (n)或

a n ?1 ? g (n)型 ) an

,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式 1 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1

2 已知数列 {a n } 满足 an?1 ? 5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。
n

四 换元法(将一个部分当作整体,可构成等差或等比数列) 1 已知数列{ an },其中 a1 ? 项公式 an

4 13 1 , a 2 ? ,且当 n≥3 时, a n ? a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ,求通 3 9 3

2 已知数列{ an }, 其中 a1 ? 1, a2 ? 2 , 且当 n≥3 时, 求通项公式 an 。 an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 ,

五、取倒数法( pan an?1 ? an ? an?1 ) 1 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1

六、取对数法( an?1 ? pan r 其中 p,r 为常数) 1 若数列{ an }中, a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数),则它的通项公式是 an =▁▁▁
2

七、平方(开方)法( an ?

r

r p ? an ?1 其中 p,r 为常数,等等其它类似的)

1 若数列{ an }中, a1 =2 且 a n ?

2 3 ? an ?1 (n ? 2 ),求它的通项公式是 a n .

八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列, 可以少走弯 路.其变换的基本形式如下: 1、 an?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型,可化为 an?1 ? ? =A( an ? ? )的形式. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式.

2、 B、 C 为常数, 下同) 型, 可化为 an?1 ? ? ? C n?1 = A(an ? ? ? C n ) an?1 ? Aan ? B ? C (A、
n

的形式. 在数列{ an }中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 , 求通项公式 an 。

3、 an?2 ? A ? an?1 ? B ? an 型,可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( A ? ? ) ? (an?1 ? ?an ) 的形式。 在数列{ an }中, a1 ? ?1, a2 ? 2 ,且 an?2 ? 5an?1 ? 6an ,求通项公式 an .

4、 an?1 ? Aan ? Bn ? C 型,可化为 an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式 在数列{ an }中, a1 ?

3 , 2an ? an?1 =6 n ? 3 ,求通项公式 an . 2

九.猜想法 ( 依据规律,周期性等 ) :若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? ? 2 ?? ,若 1 ?2a ? 1, ( ? a ? 1) n n ? 2 ?

a1 ?

6 ,则 a 20 的值为___________。 7


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